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8.4 直线、平面平行的判定与性质练习题


§8.4 直线、平面平行的判定与性质
一、选择题 1. 若直线 m?平面 α , 则条件甲: “直线 l∥α ”是条件乙: l∥m”的( “ A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 D 2.若直线 a∥直线 b,且 a∥平面 α ,则 b 与 α 的位置关系是( A.一定平行 C.平行或相交 B.不平行 D.平行或在平面内 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条

件 ).

解析 直线在平面内的情况不能遗漏,所以正确选项为 D. 答案 D 3. m、 表示不同直线, 、 表示不同平面, 设 n α β 则下列结论中正确的是( A.若 m∥α ,m∥n,则 n∥α B.若 m?α ,n?β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β C.若 α ∥β ,m∥α ,m∥n,则 n∥β D.若 α ∥β ,m∥α ,n∥m,n?β ,则 n∥β 解析 A 选项不正确,n 还有可能在平面 α 内,B 选项不正确,平面 α 还有可 能与平面 β 相交,C 选项不正确,n 也有可能在平面 β 内,选项 D 正确. 答案 D 4.下列命题正确的是( ) ).

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

答案 C 5. a、b、c 为三条不重合的直线,α 、β 、γ 为三个不重合的平面,现给出四

个命题 ① α ∥c? ?? α ∥β β ∥c? α ∥c? ?? a∥α a∥c ? ) B.①④ D.①③④ ② α ∥γ ? ?? α ∥β β ∥γ ? ? ?? α ∥a α ∥γ ? a∥γ





其中正确的命题是( A.①②③ C.②

解析 ②正确.①错在 α 与 β 可能相交.③④错在 a 可能在 α 内. 答案 C 6.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线, 则 α ∥β 的一个充分而不必要条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β ). B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2

解析 对于选项 A,不合题意;对于选项 B,由于 l1 与 l2 是相交直线,而且由 l1 ∥m 可得 l1∥α ,同理可得 l2∥α 故可得 α ∥β ,充分性成立,而由 α ∥β 不 一定能得到 l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选 B;对于选项 C,由 于 m,n 不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项 D,由 n∥l2 可转化为 n∥ β ,同选项 C,故不符合题意,综上选 B. 答案 B 7.下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在 棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形是( ).

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

解析 由线面平行的判定定理知图①②可得出 AB∥平面 MNP. 答案 A 二、填空题 8.给出下列命题:

①一条直线平行于一个平面,这条直线就与这个平面内的任何直线不相交; ②过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行; ③过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行; ④平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ⑤a 和 b 是异面直线,则经过 b 存在唯一的平面与 a 平行. 则其中正确命题的序号为________. 解析 ①显然正确,如果直线与平面内的一条直线相交,则直线与平面相交,与 直线与平面平行矛盾;②不正确,过平面外一点有一个平面与平面平行,而在这 个平面内有无数条直线与平面平行;③不正确,过直线外一点有一条直线与已知 直线平行,而过直线外一点与直线平行的平面却有无数个;④不正确,这条直线 可能在该平面内;⑤正确,过 b 上一点作一直线与 a 平行,此时该直线与 b 相交 可确定一平面,且与 a 平行,且唯一. 答案 ①⑤ 9. 过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直 线共有________条. 解析 过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,记 AC,BC,A1C1,B1C1

的中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条. 答案 6 10.已知 a、b、c 为三条不重合的直线,α 、β 、γ 为三个不重合的平面,直 线均不在平面内,给出六个命题: ①

a∥c?

??a∥b;② b∥c? α ∥c? ??a∥α ;⑤ a∥c ?

a∥γ ? ??a∥b;③ b∥γ ?

α ∥c? ??α ∥β ; β ∥c? α ∥γ ? ??a∥α . a∥γ ?



α ∥γ ? ??α ∥β ;⑥ β ∥γ ?

其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上). 解析 ②中 a、b 的位置可能相交、平行、异面;③中 α 、β 的位置可能相交. 答案 ①④⑤⑥ 11.若 m、n 为两条不重合的直线,α 、β 为两个不重合的平面,则下列命题中 真命题的序号是________.

①若 m、n 都平行于平面 α ,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面 α ,则 m、n 一定是平行直线; ③已知 α 、β 互相平行,m、n 互相平行,若 m∥α ,则 n∥β ; ④若 m、n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m、n 互相平行. 解析 ①为假命题,②为真命题,在③中,n 可以平行于 β ,也可以在 β 内, 故是假命题,在④中,m、n 也可能异面,故为假命题. 答案 ② 12.如图所示,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、

D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足
条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1. 解析 由平面 HNF∥平面 B1BDD1 知当 M 点满足在线段 FH 上有 MN∥面 B1BDD1. 答案 M∈线段 FH 三、解答题 13.如图所示,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB,M∈AC,N ∈FB 且 AM=FN,求证:MN∥平面 BCE.

证明 过 M 作 MG∥BC,交 AB 于点 G,如图所示,连接 NG. ∵MG∥BC,BC?平面 BCE,

MG?平面 BCE,
∴MG∥平面 BCE. 又 =

BG CM BN = , GA MA NF

∴GN∥AF∥BE, 同样可证明 GN∥平面 BCE. 又 MG∩NG=G, ∴平面 MNG∥平面 BCE. 又 MN?平面 MNG,∴MN∥平面 BCE. 14.如图,在七面体 ABCDMN 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,MD⊥平面

ABCD,NB⊥平面 ABCD,且 MD=2,NB=1,MB 与 ND 交于 P 点,点 Q 在 AB 上,且 BQ= .
(1)求证:QP∥平面 AMD; (2)求七面体 ABCDMN 的体积. 解析 (1)证明:∵MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD, ∴MD∥NB. 2 3

∴ =

BP NB 1 QB = .又 = PM MD 2 QA

1 QB BP = ,∴ = . 2 2 QA PM 2- 3

2 3

∴在△MAB 中,QP∥AM. 又 QP?平面 AMD,AM?平面 AMD, ∴QP∥平面 AMD. (2)连接 BD,AC 并交于点 O,则 AC⊥BD, 又 MD⊥平面 ABCD, ∴MD⊥AC,又 BD∩MD=D. ∴AC⊥平面 MNBD. ∴AO 为四棱锥 A-MNBD 的高. 1 又 S 四边形 MNBD= ×(1+2)×2 2=3 2, 2 1 ∴VA-MNBD= ×3 2× 2=2. 3 又 VC-MNBD=VA-MNBD=2, ∴V 七面体 ABCDMN=2VA-MNBD=4. 15.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 l 是平面 AB1D1 与下底面 ABCD 所在平面的交线.

求证:l∥平面 A1BD.

证明 ∵平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD, 且平面 A1B1C1D1∩平面 AB1D1=B1D1, 平面 ABCD∩ 平面 AB1D1=l,∴l∥B1D1.又 B1D1∥BD, ∴l∥BD.又 l?平面 A1BD,BD?平面 A1BD, ∴l∥平面 A1BD. 16.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1,底面为正三角形,侧棱 A1A⊥底面 ABC,点 E、F 分别是棱 CC1、BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC=2FB. 当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF?

解析 法一

如图,取 AE 的中点 O,连接 OF,过点 O 作 OM⊥AC 于点 M.

∵侧棱 A1A⊥底面 ABC, ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC, ∴OM⊥底面 ABC. 1 又∵EC=2FB,∴OM∥FB 綉 EC, 2 ∴四边形 OMBF 为矩形, ∴BM∥OF, 又∵OF?面 AEF,BM?面 AEF. 故 BM∥平面 AEF,此时点 M 为 AC 的中点. 法二 如图,取 EC 的中点 P,AC 的中点 Q,连接 PQ、PB、BQ, ∴PQ∥AE.∵EC=2FB, ∴PE 綉 BF,PB∥EF, ∴PQ∥平面 AEF,PB∥平面 AEF. 又 PQ∩PB=P, ∴平面 PBQ∥平面 AEF, 又∵BQ?面 PQB,∴BQ∥平面 AEF.
故点 Q 即为所求的点 M,此时点 M 为 AC 的中点.


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