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高中数学排列组合相关公式


排列组合公式

排列定义 从 n 个不同的元素中,取 r 个不重复的元素,按次序排列,称为从 n 个中取 r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数 用 P(n,r)表示。当 r=n 时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应 记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义 从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素组成一个子

集,而不考虑其元 素的顺序,称为从 n 个中取 r 个的无重组合。 组合的全体组成的集合用 C(n,r)表示,组合的个数用 C(n,r)表示,对应于可重 组合 有记号 C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象 思维能力; (2)限制条件有时比较隐晦, 需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联 词和量词)准确理解; (3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的 思维量较大; (4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、 原理,并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式 3.分类的要求

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务; 两类不同办法中的具体方 法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分 类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1.乘法原理 2.合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务, 必须且只须连续完成这 n 步才能完 成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成 此事的方法也不同 例 1:用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 组成数字不重复的六位数 集合 A 为数字不重复的九位数的集合,S(A)=9! 集合 B 为数字不重复的六位数的集合。 把集合 A 分为子集的集合, 规则为前 6 位数相同的元素构成一个子集。显然各子 集没有共同元素。每个子集元素的个数,等于剩余的 3 个数的全排列,即 3! 这时集合 B 的元素与 A 的子集存在一一对应关系,则 S(A)=S(B)*3! S(B)=9!/3! 这就是我们用以前的方法求出的 P(9,6) 例 2:从编号为 1-9 的队员中选 6 人组成一个队,问有多少种选法? 设不同选法构成的集合为 C,集合 B 为数字不重复的六位数的集合。把集合 B 分 为子集的集合, 规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集,则每个子集都是 某 6 个数的全排列,即每个子集有 6!个元素。这时集合 C 的元素与 B 的子集存 在一一对应关系,则 S(B)=S(C)*6! S(C)=9!/3!/6! 这就是我们用以前的方法求出的 C(9,6) 以上都是简单的例子, 似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公 式的来源,也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到,在我们平时数物品 的数 量时,说 1,2,3,4,5,一共有 5 个,这时我们就是在把物品的集合与 集合(1,2,3,4,5)建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合(1, 2, 3,4,5)的元素个数相等,所以我们才说物品共有 5 个。我写这篇文章的目的 是把这些潜在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题。 例 3:9 个人坐成一圈,问不同坐法有多少种? 9 个人排成一排,不同排法有 9!种,对应集合为前面的集合 A 9 个人坐成一圈的不同之处在于,没有起点和终点之分。设集合 D 为坐成一圈的 坐法的集合。以任何人为起点,把圈展开成直线,在集合 A 中都对应不同元素,

但在集合 D 中相当于同一种坐法, 所以集合 D 中每个元素对应集合 A 中 9 个元素, 所以 S(D)=9!/9 我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人,再排其他人,结果为 8!。这个方 法实际上是找到了一种集合 A 与集合 D 之间的对应关系。 用集合的思路解决问题 的关键就是寻找集合之间的对应关系, 使一个集合的子集与另一个集合的元素形 成一一对应的关系。 例 4:用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 组成数字不重复的九位数,但要求 1 排在 2 前面,求符合要求的九位数的个数。 集合 A 为 9 个数的全排列,把集合 A 分为两个集合 B、C,集合 B 中 1 排在 2 前 面,集合 C 中 1 排在 2 后面。则 S(B)+S(C)=S(A) 在集合 B、C 之间建立以下对应关系:集合 B 中任一元素 1 和 2 位置对调形成的 数字,对应集合 C 中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此 S(B)=S(C) =9!/2 以同样的思路可解出下题: 从 1、2、3…,9 这九个数中选出 3 个不同的数作为函数 y=ax*x+bx+c 的系数, 且要求 a>b>c,问这样的函数共有多少个? 例 5:M 个球装入 N 个盒子的不同装法,盒子按顺序排列。 这题我们已经讨论过了,我再用更形象的方法说说。 假设我们把 M 个球用细线连成一排,再用 N-1 把刀去砍断细线,就可以把 M 个球 按顺序分为 N 组。则 M 个球装入 N 个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。 而 砍线的方法等于 M 个球与 N-1 把刀的排列方式(如两把刀排在一起,就表示 相应的盒子里球数为 0)。所以方法总数为 C(M+N-1,N-1) 例 6:7 人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共 有________排法. 解:甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分,设四部分人数分别为 X1,X2,X3, X4,其中 X1,X4》=0,X2,X3》0 先把其余 4 人看作一样,则不同排法为方程 X1+X2+X3+X4=4 的解的个数,令 X2=Y2+1,X3=Y3+1 化为求 X1+Y2+Y3+X4=2 的非负整数解的个数, 这与把 2 个球装入 4 个盒子的方法 一一对应,个数为 C(5,3)=10 由于其余四人是不同的人,所以以上每种排法都对应 4 个人的全排列 4!,所以 不同排法共有 C(5,3)*4!=240 种。

排列组合是组合学最基本的概念。 所谓排列, 就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元 素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。排列 组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率 论关系密切。

定义及公式
排列的定义及其计算公式:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n,m 与 n 均为自然数, 下同)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个排列;从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 A(n,m)表示。A(n,m)=n(n-1) (n-2)…… (n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定0!=1

组合的定义及其计算公式:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合;从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m)∧2/m!=A(n,m)/m! ;C(n,m)=C(m-n,m) (其中 m≥n) 。 其他排列与组合公式 从 n 个元素中取出 m 个元素的循环排列数 =A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n 个元素被分成 k 类,每类的个数分别是 n1,n2,...nk 这 n 个 元素的全排列数为 n!/(n1!×n2!×...×nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出 m 个元素的组合数为 C(m+k-1,m) 。

符号

C-Combination 组 合 数 N-元素的总个数

A-Arrangement 排 列 数 ( 在 旧 教 材 为 M-参与选择的元素个数

P-Permutation)

!-阶乘

基本计数原理
⑴加法原理和分类计数法 ⒈加法原理:做一件事,完成它可以有 n 类办法, 在第一类办法中有 m1种不同的方法,在第二类办法中有 m2种不同的方法,……,在 第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…+mn 种

不同方法。

⒉第 一 类 办 法 的 方 法 属 于 集 合 A1, 第 二 类 办 法 的 方 法 属 于 集 合 ⒊分类的要求 :每一类中的每一种方法都可以独立地完成此 ⑵乘法原理和分步计数法 ⒈ 乘法

A2 , …… , 第 n 类 办 法 的 方 法 属 于 集 合 An , 那 么 完 成 这 件 事 的 方 法 属 于 集 合 A1UA2U…UAn。 任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重) ;完成此任务的任何一 种方法,都属于某一类(即分类不漏) 。 原理:做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1种不同的方法,做第二 步有 m2种不同的方法,……,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。 ⒉合理分步的要求 任何一步的一种 方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务;各步计数相互 独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同。

例题分析
难点
⑴ 从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力; ⑵ 限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确 理解; ⑶ 计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维 量较大; ⑷ 计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原 理,并具有较强的分析能力。

1.明确任务的意义
例 1. 从 1、2、3、……、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不 同等差数列有多少个? 分析:首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明 确的排列组合问题。 设 a,b,c 成等差,∴ 2b=a+c,可知 b 由 a,c 决定, 又∵ 2b 是 偶数,∴a,c 同奇或同偶,即:分别从 1,3,5,……,19 或 2,4,6,8,……,20 这十个 数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,A(10,2)*2=90*2,因而本题为 180。 例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道,街道之间的间距相同,若规定只能向东或 向北两个方向沿图中路线前进,则从 M 到 N 有多少种不同的走法? 分析:对实际背景 的分析可以逐层深入: (一)从 M 到 N 必须向上走三步,向右走五步,共走八步; (二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法; (三)事实上,当把向上的步骤 决定后,剩下的步骤只能向右; 从而,任务可叙述为:从八个步骤中选出哪三步是向 上走,就可以确定走法数。 ∴ 本题答案为:C(8,3)=56。

2.分析
分析是分类还是分步,是排列还是组合 注意加法原理与乘法原理的特点,分析是 分类还是分步,是排列还是组合。 例 3.在一块并排的 10 垄田地中,选择二垄分别种 植 A,B 两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔不少于 6 垄,不同的选法共有多少种? 分析:条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄” 这个条件不容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法。 第一 类:A 在第一垄,B 有 3 种选择; 第二类:A 在第二垄,B 有 2 种选择; 第三类: A 在第三垄,B 有 1 种选择, 同理 A、B 位置互换 ,共 12 种。 例 4.从 6 双不

同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的取法有多少种? (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析:显然本题应分步解决。 (一)从 6 双中选出一双同色的手套, 有 6 种方法; (二)从剩下的十只手套中任选一只,有 10 种方法。 (三)从除 前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有 8 种方法; (四)由于选取与顺 序无关,因(二) (三)中的选法重复一次,因而共 240 种。 或分步 ⑴ 6 双中 从 选出一双同色的手套, C 有 (6,1) 种方法 =6 ⑵ 从剩下的 5 双手套中任选两双, C 有 (5,2) =10 种方法 ⑶ 从两双中手套中分别拿两只手套, C 有 (2,1) C × (2,1) 种方法。 =4 同 样得出共⑴ ⑵ ⑶ × × =240 种。 例 5.身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列,在第一行 的每一个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为_______。 分析: 每一纵列中的两人只要选定, 则他们只有一种站位方法, 因而每一纵列的排队方法只与人的 选法有关系,共有三纵列,从而有 C(6,2)× C(4,2)× C(2,2)=90 种。 例 6.在 11 名工人中,有 5 人只能当钳工,4 人只能当车工,另外 2 人能当钳工也能当车工。现从 11 人中选出 4 人当钳工,4 人当车工,问共有多少种不同的选法? 分析:采用加法原理首 先要做到分类不重不漏,如何做到这一点?分类的标准必须前后统一。 以两个全能的 工人为分类的对象,考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。 第一类:这两个人 都去当钳工,C(2,2)× C(5,2)× C(4,4)=10 种; 第二类:这两个人都去当车工,C (5,4)× C(2,2)× C(4,2)=30 种; 第三类:这两人都不去当钳工,C(5,4)× C(4,4) =5 种。 第四类:这两个人一个去当钳工、一个去当车工,C(2,1)× C(5,3)× C(4,3) =80 种; 第五类:这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工,C(2,1)× C(5,3)× C (4,4) =20 种; 第六类: 这两个人一个去当车工、 另一个不去当钳工, (5,4) C C × (2,1) × C(4,3)=40 种; 因而共有 185 种。 例 7.现有印着 0,1,3,5,7,9 的六张 卡片, 如果允许 9 可以作 6 用, 那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 分 析:有同学认为只要把 0,1,3,5,7,9 的排法数乘以 2 即为所求,但实际上抽出的三个 数中有 9 的话才可能用 6 替换,因而必须分类。 抽出的三数含 0,含 9,有 32 种方法; 抽出的三数含 0 不含 9, 24 种方法; 有 抽出的三数含 9 不含 0, 72 种方法; 有 抽 出的三数不含 9 也不含 0, 24 种方法。 有 因此共有 32+24+72+24=152 种方法。 例 8.停车场划一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放,要求空车位连在一起,不同的停车 方法有多少种? 分析:把空车位看成一个元素,和 8 辆车共九个元素排列,因而共有 A (9,8)=362880 种停车方法。

3.特殊优先
特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑。 例 9.六人站成一排,求 ⑴ 甲、 乙即不再排头也不在排尾的排法数 ⑵ 甲不在排头,乙不在排尾,且甲乙不相邻的排法 数 分析:⑴ 按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数 第一类:排出首位和末 尾、因为甲乙不再首位和末尾,那么首位和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有 A(4,2)=12 种; 第二类:由于六个元素中已经有两位排在首位和末尾,因此中间四 位是把剩下的四位元素进行顺序排列, 共 A(4,4)=24 种; 根据乘法原理得即不 再排头也不在排尾数共 12× 24=288 种。 ⑵ 第一类:甲在排尾,乙在排头,有 A(4,4) 种方法。 第二类:甲在排尾,乙不在排头,有 3× A(4,4)种方法。 第三类:乙 在排头,甲不在排尾,有 3× A(4,4)种方法。 第四类:甲不在排尾也不再排头,乙不 在排头也不再排尾,有 6× A(4,4)种方法(排除相邻) 。 共 A(4,4)+3× A(4,4)+3× A (4,4)+6× A(4,4)=312 种。 例 10.对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行 一一测试,至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现,则这样的 测试方法有多少种可能? 分析:本题意指第五次测试的产品一定是次品,并且是最后一

个次品,因而第五次测试应算是特殊位置了,分步完成。 第一步:第五次测试的有 C (4,1)种可能; 第二步:前四次有一件正品有 C(6,1)中可能。 第三步:前四 次有 A(4,4)种可能。 ∴ 共有 576 种可能。

4.捆绑与插空
例 11. 8 人排成一队 ⑴ 甲乙必须相邻 ⑵ 甲乙不相邻 ⑶ 甲乙必须相邻且与 丙不相邻 ⑷ 甲乙必须相邻,丙丁必须相邻 ⑸ 甲乙不相邻,丙丁不相邻 分析: ⑴ 甲乙必须相邻,就是把甲乙 捆绑(甲乙可交换) 和 7 人排列 A(7,7)× 2 ⑵ 甲乙不 相邻,A(8,8)-A(7,7)× 2。 ⑶ 甲乙必须相邻且与丙不相邻,先求甲乙必须相邻且与 丙相邻 A(6,6)× 2 2× 甲乙必须相邻且与丙不相邻 A(7,7)× 2-A(6,6)× 2 2× ⑷ 甲 乙必须相邻, 丙丁必须相邻 A (6,6) 2× × 2 ⑸ 甲乙不相邻, 丙丁不相邻, (8,8) (7,7) A -A × 2+A(6,6)× 2 2× 2× 例 12. 某人射击 8 枪,命中 4 枪,恰好有三枪连续命中,有多少 种不同的情况? 分析:∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻,因而这是一个 插空问题。另外没有命中的之间没有区别,不必计数。即在四发空枪之间形成的 5 个空中选 出 2 个的排列,即 A(5,2) 。 例 13. 马路上有编号为 l,2,3,……,10 十个路灯, 为节约用电又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,在 两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法共有多少种? 分析: 即关掉的灯 不能相邻,也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别,因而问题为在 7 盏亮着的灯形成的 不包含两端的 6 个空中选出 3 个空放置熄灭的灯。 ∴ 共 C(6,3)=20 种方法。

5.间接计数法
⑴排除法 例 14. 三行三列共九个点,以这些点为顶点可组成多少个三角形? 分析:有些问题正面求解有一定困难,可以采用间接法。 所求问题的方法数=任意三 个点的组合数-共线三点的方法数, ∴ 共 76 种。 例 15.正方体 8 个顶点中取出 4 个,可组成多少个四面体? 分析:所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点 的方法数, ∴ 共 C(8,4)-12=70-12=58 个。 例 16. 1,2,3,……,9 中取出两 个分别作为对数的底数和真数,可组成多少个不同数值的对数? 分析:由于底数不能 为 1。 ⑴ 1 选上时,1 必为真数,∴ 有一种情况。 当 ⑵ 当不选 1 时,从 2--9 中任 取两个分别作为底数, 真数, A 共 (8,2) =56, 其中 log2 为底 4=log3 为底 9, log4 为底 2=log9 为底 3,log2 为底 3=log4 为底 9,log3 为底 2=log9 为底 4. 因而一共有 56-4+1=53 个。 例 17. 六人排成一排,要求甲在乙的前面, (不一定相邻) ,共有多少种不同的方法? 如果要 求甲乙丙按从左到右依次排列呢? 分析: (一)实际上,甲在乙的前面和甲在乙的后面 两种情况对称,具有相同的排法数。因而有=360 种。 (二)先考虑六人全排列;其次 甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位,因而前面的排法数重复了种, ∴ 共=120 种。 例 18. 男 4 女排成一排, 5 要求男生必须按从高到矮的顺序, 共有多少种不同的方法? 分 析:首先不考虑男生的站位要求,共 A(9,9)种;男生从左至右按从高到矮的顺序,只有 一种站法,因而上述站法重复了次。因而有=9× 7× 8× 6=3024 种。 若男生从右至左按从 高到矮的顺序,只有一种站法, 同理也有 3024 种,综上,有 6048 种。 例 19. 三个相 同的红球和两个不同的白球排成一行, 共有多少种不同的方法? 分析: 先认为三个红球 互不相同,共 A(5,5)=120 种方法。 而由于三个红球所占位置相同的情况下,共 A (3,3)=6 变化,因而共 A(5,5)/A(3,3)=20 种。 公式 P 是指排列,从 N 个元素取 R 个进行排列(即排序)(P 是旧用法,现在教材上多用 A,Arrangement) 。 公式 C 是指 组合,从 N 个元素取 R 个,不进行排列(即不排序) 。

6.挡板的使用
例 20.10 个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方法? 分析:把 10 个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空中,选出七个位置放置 档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共 36 种。

7.区别与联系
所有的排列都可以看作是先取组合,再做全排列;同样,组合如补充一个阶段(排序) 可转化为排列问题。 例 21. 用数字 0, 2, 4, 组成没有重复数字的四位数, 1, 3, 5 ⑴ 可组成多少个不同的四位数? ⑵ 可组成多少个不同的四位偶数 ⑶ 可组成多少个能 被 3 整除的四位数? 分析:⑴ A(6,4)-A(5,3)=300 个。 有 ⑵ 分为两类:0 在 末位,则有 A(5,3)=60 种:0 不在末位,则有 C(2,1)× A(5,3)-C(2,1)× A(4,2)=96 种。 ∴ 共 60+96=156 种。 ⑶ 先把四个相加能被 3 整除的四个数从小到大列 举出来,即先选 0,1,2,3 0,1,3,5 0,2,3,4 0,3,4,5 1, 2,4,5 它们排列出来的数一定可以被 3 整除,再排列,有:4× [A(4,4)-A(3,3)]+A (4,4)=96 种。

8.分组问题
例 22. 5 名学生分配到 4 个不同的科技小组参加活动,每个科技小组至少有一名学生参 加,则分配方法共有多少种? 分析: (一)先把 5 个学生分成二人,一人,一人,一人 各一组。 其中涉及到平均分成四组,有 C(5,3)=10 种分组方法。可以看成 4 个板三 个板不空的隔板法。 (二) 再考虑分配到四个不同的科技小组, A 有 (4,4) 种, =24 由 (一) (二)可知,共 10× 24=240 种。

9.几何问题

例 23.某区有 7 条南北向街道, 条东西向街道 5 (如右图) ⑴ 图中共有多少个矩形? ⑵ A 点到 B 点最近的走法有多少种? 从 分析:⑴ 7 条竖线中任选 2 条,5 条横线中 在 任选 2 条, 这样 4 条线 可组成 1 个矩形, 故可组成矩形 C (7,2)C ·(5,2) =210 个 ⑵ 每条东西向的街道被分成 4 段,每条南北向的街道被分成 6 段,从 A 到 B 最短的走法,无 论怎样走,一定包括 10 段,其中 6 段方向相同,另外 4 段方向相同,每种走法,即是从 10 段中选出 6 段,这 6 段是走东西方向的,共有 C(10,6)=C(10,4)=210 种走法(同样可以 从 10 段中选出 4 段走南北方向,每一种选法即是 1 种走法) 。所以共有 210 种走法。

序号

授课班

课程名称<学分>

教师

志愿

上课时间
(03-18)二

上课地 点

1

000411

概率论与数理统计 3.00

谢怡

1-2,(03-17 单)四 1-2

M215

2

002903

线性代数 2.00

马会礼

(03-13)四 6-8 (11-18)一 3-4,三

M209

3

003101

大学物理 B 2.00

陆雪平 1-2

D108

4

024804

男子足球 1.00

徐明

(01-16)一 6-7 (03-18)三 3-4,五

大学英语(基础Ⅳ)(B 层次) 5 030418 4.00 三 3-4 听力 第 10-15 周双休日 6 143604 工程训练Ⅲ 2.00 庄曙东 (10 六 1-2) 7 248201 电工学基础 2.00 职业生涯设计(12 合班) 8 338701 2.00 田晶华 1-2 (03-14)二 6-7,五 9 340401 基础会计 3.00 陈阵 3-4 (03-10)一 3-4,三 10 347001 商事法律 2.00 程艳 1-2 (03-18)一 11 347903 宏观经济学 3.00 谈晓英 1-2,(04-18 双)四 1-2 14 周周六上午考试 12 507701 课外读书活动 2.00 秦卫明 <22 一 6-7> 程昶,袁 13 513512 公益劳动Ⅱ 0.50 瑞勇 日 1-2) 第 10 周周日全天(10 M215 M304 D108 M306 殷澄 (01-16)四 3-4 (11-18)二 3-4,五 M306 A209 陈春 6-7,其中(05-17)单 B210/M403

毛泽东思想和中国特色社 14 515812 会主义理论体系概论 2.50 毛泽东思想和中国特色社 15 571112 会主义理论体系概论实践 1.50 16 573201 *<论语><老子>导读 2.00 纪玲妹 徐娜 徐娜

(01-10)二 3-4,五 M306 1-2

机动(22 一 1-2)

(05-15)一 10-12

M306


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