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福建省漳州市平和县第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


平和一中 2015—2016 学年高二上学期期末考试 数学理科试卷
(时间 120 分钟,总分 150 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 若复数 z 满足 z?1 ? i ? ? 2i ( i 为虚数单位),则| z |=( A.1 B.2 C. )

/>2

D.

3

2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点,公司为了调查产 品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为⑴;在丙地区中 有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为⑵。则完 成⑴、⑵这两项调查宜采用的抽样方法依次是( A.分层抽样法,系统抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 )

B.分层抽样法,简单随机抽样法 D.简单随机抽样法, 分层抽样法 ) .

3.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.10 B.22 C.46 D. 94

4.有 5 件产品,其中 3 件正品,2 件次品,从中任取 2 件,则互斥而不对立的两个事件是( A.至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 C.至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 B.至少有 1 件次品与都是正品 D.恰有 1 件次品与恰有 2 件正品 )



开始

i ? 1, s ? 1
i ? i ?1

5. 下面程序运行时,从键盘输入 4,则输出结果为(

s ? 2( s ? 1)
i ? 4?

输出s



结束

1

A.2 6.已知双曲线

B.4

C.8

D.15 )

x2 y2 5 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则此双曲线的渐近线方程是( 2 2 a b 1 1 1 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 4 3 2

7. 从 (

?1, 2, 3, 4, 5? 中随机选取一个数为 a ,从 ?1, 2, 3? 中随机选取一个数为 b ,则 b ? a 的概率是
)

A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5
) C.充要条件

D.

1 5

8. “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

9.一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 球,然后放回袋中再取出一球,则取出的两个 球同色的概率是( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

2 5

10.设A,B,C,D是空间不共面的四个点 ,且满足 AB ? AC ? 0 , AD ? AC ? 0 , AD ? AB ? 0 ,则 △BCD的形状是 ( A.锐角三角形
2

) B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定

11.已知抛物线 C: y =8x 的焦点为 F , 其准线与 x 交与点 K , 点 A 在抛物线 C 上, 若 AK ? 则 ?AFK 的面积为( A. 4 ) B. 8 C. 12 D. 16

2 AF ,

1 1 ?1 ? ? c x 为减函数.命题 q:当 x ? ? , 2? 时,函数 f ? x ? ? x ? ? x c ?2 ? 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围( ) ? 1? ?1 ? ? 1? A. ? 0, ? B. C. ? 0, D. ? 2, ?? ? ,1? ? ? U?1, ?? ? ? 2? ?2 ? ? 2?
12.已知 c ? 0 ,设命题 p:函数 y 二、填空题: (本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分) 13.命题“ ? x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
3 2

14. 某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数据:由资料显示 y 对 x 呈线性 相关关系。

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70
2

? ? bx ? a 中的 b ? 6.5 ,预测销售额为 115 万元时约需 根据上表提供的数据得到回归方程 y
万元广告费. 15.在区间 ??

1 ? ? ?? , ? 上随机取一个数 x ,则满足 0 ? cos x ? 之间的概率为 2 ? 2 2?

.

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆周长为 ? , A , 16.椭圆 25 16
B 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ? , ?x2 , y2 ?,则| y1 ? y 2 |的值为
.

三、解答题:( 本大题共有 6 个小题,共 74 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 17.(本小题满分 12 分) 某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩 110 分以上的同学中各随机抽取 8 人,将这 16 人的数学 成绩编成如下茎叶图. (1)茎叶图中有一个数据污损不清(用△表示) ,若甲班抽出来的同学平均成绩为 122 分,试推 算这个污损的数据是多少? (2)现要从成绩在 130 分以上的 5 位同学中选 2 位作数学学习方法介绍,请将所有 可能的结果列举出来,并求选出的两位同学不在同一个班的概率.
甲 8 2 2 7 △ 0 11 12 8 0 4 6 8 2 5 1 乙

3 1 13 14

18.(本小题满分 12 分) 某班同学利用国庆节进行社会实践,对 ?25,55? 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符 合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” ,得到如下统 计表和各年龄段人数频率分布直方图:

3

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (Ⅱ)从年龄段在

? 40, 50? 的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动,其 ? 40, 45? 岁的概率。

中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有1 人年龄在

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 菱 形 , PA ? 底 面 A B C D,

P

AC ? 2 2 , PA ? 2, E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC 。
(1)证明: PC ? 平面 BED ; (2)设二面角 A ? PB ? C 为 90 ? ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小。
B C E A D

20.(本小题满分 12 分) 已知过点 A?0,2? 的直线 l 与椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 交于 P, Q 两点, 3

(1) 若直线 l 的斜率为 k ,求 k 的取值范围; (2) 若以 PQ 为直径的圆经过点 E ?1,0? ,求直线 l 的 方程.
4

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 2 2,0 .斜率为 1 的直线 l 与椭圆 2 a b 3

?

?

G 交于 A, B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(?3, 2) 。
(1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ?PAB 的面积。

22.(本小题满分 12 分)

5

平和一中 2015—2016 学年高二上学期期末考试 数学理科参考答案 一. 选择题 CBCDD CDBAA 二.填空题 13. ? BC

x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0

14. 15

15.

1 3

16.

5 3

三.解答题 17.解: (Ⅰ)设污损的数据为 x ,则甲班抽出来的同学的平均成绩为 1 [(110 ? 3 ? 120 ? 3 ? 130 ? 2) ? 2 ? 2 ? 8 ? 0 ? x ? 7 ? 1 ? 3] ? 122 解得 x ? 3 8 所以这个污损的数据是 3 ???????????????6 分 (Ⅱ)依据题意,甲班 130 分以上的有 2 人,编号为 A , B ,乙班 130 分以上的有 3 人,编号为 c 、d 、 e ,从 5 位同学中任选 2 人,所有的情况列举如下: AB , Ac , Ad , Ae , Bc , Bd , Be , cd , ce , de 共 10 种结果 ??????????????????9 分 其中两位同学不在同一班的有 Ac , Ad , Ae , Bc , Bd , Be 共 6 种 6 3 所以所求概率为 ????????????????12 分 ? 10 5

0.3 ? 0.06 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 18.解: (Ⅰ)第二组的频率为 ,所以高为 5 .频
率直方图如下:

---------------------2 分

120 200 ? 200 n? ? 1000 0.2 第一组的人数为 0.6 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 . p? 195 ? 0.65 300 .

由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 ,所以

第 四 组 的 频 率 为 0.03 ? 5 ? 0.15 , 所 以 第 四 组 的 人 数 为 1000 ? 0.15 ? 150 , 所 以

a ? 150 ? 0.4 ? 60 .-------------------------------5 分
(Ⅱ)因为 [40, 45) 岁年龄 段的“低碳族”与 [45,50) 岁 年龄段的“低碳族”的比值为 60 : 30 ? 2 :1 ,

6

所以采用分层抽样法抽取 6 人, [40, 45) 岁中有 4 人, [45,50) 岁中有 2 人.-----------------8 分 设 [40, 45) 岁中的 4 人为 a 、 b 、 c 、 d , [45,50) 岁中的 2 人为 m 、 n ,则选取 2 人作为领队的有

(a, b) 、(a, c) 、(a, d ) 、(a, m) 、(a, n) 、(b, c) 、(b, d ) 、(b, m) 、(b, n) 、(c, d ) 、(c, m) 、(c, n) 、(d , m) 、 (d , n) 、 (m, n) ,共 15 种;其中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的有 (a, m) 、(a, n) 、 (b, m) 、(b, n) 、(c, m) 、 (c, n) 、 (d , m) 、 (d , n) ,共 8 种.----------------10 分

所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的概率为

P?

8 15 .------------12 分

19. ( Ⅰ ) 证 明 : 由 PE ? 2 EC 得 E (

??? ? ??? ? 2 2 2 2 , BE ? ( ? 2) , 0, ) , 所 以 PC ? ( 2 2 , 0, , a, ) , 3 3 3 3

??? ? BD ? (0,2a,0) ,
所以 PC?BE ? (2 2, 0, ?2) ? (

??? ?????

2 2 , a, ) ? 0 , 3 3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PC ? BD ? (2 2,0, ?2) ? (0,2a,0) ? 0 。所以 PC ? BE , PC ? BD ,
所以 PC ? 平面 BED ;......................6 分 (Ⅱ) 设 平 面 PAB 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z, ) 又 A P? ( 0 , 0 , 2 A) B ? ,

?

? ? ??

? ? ??

( ? a 2, , 由, 0 )

? ??? ? ? ??? ? ?? ? 2 , n? A P ? 0 , ?n A ? B0得 n ? (1, ) 又 , 0) , 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 m ? ( x, y, z a ? ? ?? BC ?( ? ? ?? ?? ??? ? ?? ??? ? ?? 2 ,由 2 ,a , 0 C )?,P ? ( 2 2m ,?0 BC ,? 20, ) m? CP ? 0 ,得 m ? (1, ? , 2) ,由于二面角 a

?? ? A ? PB ? C 为 90? ,所以 m ? n ? 0 ,解得 a ? 2 。

??? ? ?? PD ? ( 2, 2, ? 2) m PBC 所以 ,平面 的法向量为 ? (1, ?1, 2) ,所以 PD 与平面 PBC 所成角的 ???? ? ??? | PD ? m | 1 ? ???? ? ??? ?? 2 | PD | ? | m | 正弦值为 ,所以 PD 与平面 PBC 所成角为 6 .......................12 分
20.

7

21. 解: (Ⅰ)由已知得 c ? 2 2,

c 6 ? . 解得 a ? 2 3. 又 b2 ? a2 ? c2 ? 4. a 3

x2 y 2 ? ? 1. ???????3 分 所以椭圆 G 的方程为 12 4

?y ? x ? m ? 2 2 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? m. 由 ? x 2 得 4x ? 6mx ? 3m ? 12 ? 0. ????4 分 y2 ?1 ? ? ? 12 4
设 A 、 B 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ), AB 中 点 为 E ( x0 , y0 ) , 则

8

x0 ?

x1 ? x 2 m 3m ?? , y 0 ? x0 ? m ? ???????6 分 4 2 4

m 4 ? ?1. 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB.所以 PE 的斜率 k ? 3m ?3? 4 2?
解得 m=2。???????8 分 此 时 方 程 ① 为 4x 2 ? 12x ? 0. 解 得 x1 ? ?3, x2 ? 0. 所 以 |AB|= 3 2 .???????10 分 此时,点 P(—3,2)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

y1 ? ?1, y 2 ? 2. 所 以

| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

3 2 , ????11 分 2

所以△PAB 的面积 S= 22.

1 9 | AB | ?d ? . ???????12 分 2 2

9

10 分

12 分 13 分

14 分 预测:平均分 80,及格率 30%,优秀率 4%

10


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