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【专题】第一部分二次函数、函数、函数专题训练


第一部分

专题一

第 3 讲 二次函数、指数函数、对数函数
(限时 60 分钟,满分 100 分)

一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,共 36 分) 1.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(-2)=( A.-1 B.- 11 4 C.1 1

D. 4 )

解析:f(-2)=-f(2)=-(22-3)=-1. 答案:A 2.(精选考题· 天津高考)设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( A.a<c<b C.a<b<c B.b<c<a D.b<a<c )

解析:由于 b=(log53)2=log53· log53<log53<log54=a<1<log45=c,故 b<a<c. 答案:D 3.方程 mx2+2(m+1)x+m+3=0 仅有一个负根,则 m 的取值范围是( A.(-3,0) C.[-3,0] B.[-3,0) D.[-1,0] )

3 解析:当 m=0 时,由原方程得 x=- <0 成立,排除选项 A、B;当 m=-3 时,原 2 4 方程变为-3x2-4x=0,两根为 x1=0,x2=- ,也符合题意,∴选 C. 3 答案:C 1 1 4.(精选考题· 辽宁高考)设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=( a b A. 10 B.10 C.20 D.100 )

解析: a=log2m, b=log5m, 代入已知得 logm2+logm5=2, 即 logm10=2, 所以 m= 10. 答案:A 1 5.方程( )x-|lgx|=0 的实数根的个数为( 2 A.0 解析:如图可知: 1 方程的实根个数即 y=( )x 与 y=|lgx|的交点个数. 2 答案:C 6.已知 f(x)=ax b(a>0 且 a≠1,b 为常数)的图象经过点(1,1),且 0<f(0)<1,


) C.2 D.3

B.1

设 m=

1 -1 - - x1+x2 [f (x1)+f 1(x2)],n=f 1( ),其中 x1,x2 是两个不相等的正实数,则 m 2 2

与 n 的大小关系为( A.m>n C.m=n


) B.m<n D.m=2n

解析:∵f(1)=ab 1=1, 又 a≠1,∴b+1=0,b=-1. 1 1 ∵f(0)= ,0< <1,∴a>1. a a f 1(x)=logax-b=logax+1.


1 -1 - [f (x1)+f 1(x2)] 2 1 = (logax1+1+logax2+1) 2 x1+x2 =loga x1x2+1<loga +1(x1≠x2). 2 x1+x2 - x1+x2 而 loga +1=f 1( ),故 m<n. 2 2 答案:B 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分) 1 7.函数 y=( )x-log2(x+2)在[-1,1]上的最大值为________. 3 1 解析:函数 y=( )x-log2(x+2)在区间[-1,1]上是单调递减函数,所以函数的最大值是 3 f(-1)=3. 答案:3 8.若函数 y=ax2-2ax(a≠0)在区间[0,3]上有最大值 3,则 a 的值是________. 解析:∵函数 y=ax2-2ax=a(x-1)2-a 的对称轴为定直线 x=1,且 1∈[0,3],由抛物 线开口方向分两种情况讨论: 当 a>0 时,抛物线开口方向向上, 由 ymax=f(3)=9a-6a=3a=3,得 a=1; 当 a<0 时,抛物线开口方向向下, 由 ymax=f(1)=-a=3,得 a=-3. 答案:1 或-3 9.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元,并且每生产一单位产品,成本增加 10 1 万元,又知总收入 k 是单位产品数 Q 的函数,k(Q)=40Q- Q2,则总利润 L(Q)的最大值 20 是________. 解析:总利润 L(Q)=40Q- 1 2 Q -10Q-2000 20

=-

1 (Q-300)2+2500. 20

故当 Q=300 时,总利润最大值为 2500 万元. 答案:2500 万元 三、解答题(本大题共 3 个小题,共 46 分) 10.(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=loga(8-2x)(a>0,且 a≠1). (1)若函数 f(x)的反函数是其本身,求 a 的值; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值. 解:(1)函数 f(x)的反函数 f 1(x)=log2(8-ax),


由题意可得 loga(8-2x)=log2(8-ax), ∴a=2. (2)由题意可知 8-2x>0,解得 x<3, 则 y=f(x)+f(-x)的定义域为(-3,3). f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2 x)


=loga[65-8(2x+2 x)].


∵2x+2 x≥2,当 x=0 时,等号成立,


∴0<65-8(2x+2 x)≤49.


∴当 a>1 时,函数 y=f(x)+f(-x)在 x=0 处取得最大值 loga49. 11. (本小题满分 15 分)某市出租车的计价标准是: 3 km 以内(含 3 km)10 元; 超出 3 km 但不超过 18 km 的部分 1 元/km;超出 18 km 的部分 2 元/km. (1)如果某人乘车行驶了 20 km,他要付多少车费?某人乘车行驶了 x km,他要付多少 车费? (2)如果某人付了 22 元的车费,他乘车坐了多远?某人付了 10+x(x>0)元的车费,他乘 车坐了多远? 解:(1)乘车行驶了 20 km,付费分三部分,前 3 km 付费 10(元),3 km 到 18 km 付费 (18-3)×1=15(元),18 km 到 20 km 付费(20-18)×2=4(元), 故总付费 10+15+4=29(元). 设付车费 y 元,当 0<x≤3 时,车费 y=10; 当 3<x≤18 时,车费 y=10+(x-3)=x+7; 当 x>18 时,车费 y=25+2(x-18)=2x-11. 10,0<x≤3, ? ? 故 y=?x+7,3<x≤18, ? ?2x-11,x>18.

(2)付出 22 元的车费, 说明此人乘车行驶的路程大于 3 km,且小于 18 km.前 3 km 付费 10 元,余下的 12 元乘车行驶了 12 km,故此人乘车行驶了 15 km. 设乘车行驶了 y km,当 0<x≤15 时,y=3+x; 当 x>15 时,y=18+ x-15 1 21 = x+ . 2 2 2

x+3?0<x≤15?, ? ? 故 y=?1 21 ? ?2x+ 2 ?x>15?. 12.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab, 当 x∈(-3,2)时,f(x)>0, 当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时, f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,ax2+bx+c≤0 的解集为 R? 解:由题意知 f(x)的图象是开口向下,交 x 轴于两点 A(-3,0) 1 和 B(2,0)的抛物线,对称轴方程为 x=- (如图). 2 那么,当 x=-3 和 x=2 时,有 y=0,代入原式得
2 ? ?0=a?-3? +?b-8?×?-3?-a-ab, ? 2 ?0=a×2 +?b-8?×2-a-ab, ?

?a=0, ?a=-3, ? ? 解得? 或? ?b=8, ? ? ?b=5. ? ?a=0, 经检验知? 不符合题意,舍去. ? ?b=8,

∴f(x)=-3x2-3x+18. (1)由图象知,函数在[0,1]内单调递减, 所以,当 x=0 时,y=18,当 x=1 时,y=12. ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. (2)令 g(x)=-3x2+5x+c, 要使 g(x)≤0 的解集为 R. 则需要方程-3x2+5x+c=0 的根的判别式 Δ≤0, 即 Δ=25+12c≤0,解得 c≤- ∴当 c≤- 25 . 12

25 时,ax2+bx+c≤0 的解集为 R. 12

1.(精选考题· 四川高考)2log510+log50.25=( A.0 C.2 B.1 D.4

)

解析:2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2. 答案:C 2.(精选考题· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|lgx|,若 a≠b,且 f(a)=f(b),则 a+b 的取值范 围 是( ) B.[1,+∞) D.[2,+∞)

A.(1,+∞) C.(2,+∞)

解析:不妨设 0<a<1<b,由 f(a)=f(b)得-lga=lgb,lga+lgb=0,ab=1,因此, 1 a+b=a+ >2. a 答案:C 3.函数 f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1 的定义域被分成了四个不同的单调区间,则实数 a 的取值范围是( A.a> C.a> 2 3 1 2 ) 1 3 B. <a< 2 2 1 D.a< 2

解析:函数 f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1 是由函数 f(x)=-x2+(2a-1)x+1 变化得到,第 一步保留 y 轴右侧的图象, 再作关于 y 轴对称的图象. 又因为其定义域被分成四个单调区间, 所以 f(x)=-x2+(2a-1)x+1 的对称轴在 y 轴的右侧, 使 y 轴右侧有两个单调区间, 对称后 2a-1 1 有四个单调区间.因此 >0,即 a> . 2 2 答案:C 4.已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x2-3x+2)· g(x)+3x-4,其中函数 y=g(x)的图象是 一条连续曲线,则方程 f(x)=0 在下面哪个范围内必有实数根( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) )

解析:f(x)=(x2-3x+2)· g(x)+3x-4=(x-1)(x-2)· g(x)+3x-4,故 f(1)=-1<0,f(2) =2>0,故存在一点 x0∈(1,2)使 f(x0)=0. 答案:B 5.(精选考题· 扬州调研)已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)-m=0 有解,求 m 的取值范围.

解:(1)由函数 f(x)是偶函数,可知 f(x)=f(-x). ∴log4(4x+1)+kx=log4(4 x+1)-kx.


即 log4

4x+1 =-2kx, - 4 x+1

log44x=-2kx, 1 ∴x=-2kx 对一切 x∈R 恒成立.∴k=- . 2 1 (2)由 m=f(x)=log4(4x+1)- x, 2 4x+1 1 ∴m=log4 x =log4(2x+ x). 2 2 1 1 ∵2x+ x≥2,∴m≥ . 2 2 1 故要使方程 f(x)-m=0 有解,m 的取值范围为 m≥ . 2 6.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓 励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场 单价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少? 解:(1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时,p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x.
?60, 0<x≤100, ? ∴p=? ?62-0.02x, 100<x≤600. ?

(2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x; 当 100<x≤600 时, y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x2.
? 0<x≤100, ?20x, ∴y=? 2 ?22x-0.02x , 100<x≤600. ?

当 0<x≤100 时, y=20x 是单调增函数, 当 x=100 时, y 最大, 此时 y=20×100=2000; 当 100<x≤600 时, y=22x-0.02x2=-0.02(x-550)2+6050, ∴当 x=550 时,y 最大,此时 y=6050. 显然 6050>2000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6050 元.


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