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2014年数学青年教师解题比赛训练题(一)答案


2014 年数学青年教师解题比赛训练题(一) 参考答案
第Ⅰ卷 选择题( 40 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.B 2.C 3.B 4.D 5.D 6. C 7.A 8.B 9.B 10.C

第Ⅱ卷 非选择题( 110 分)
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20

分) 11.1.1 ? 105 12.9 13.①②④⑤ 14. 4? 15. (a ? b)(a ? b ? c)

三、解方程(本大题共 3 个小题,每小题 8 分,共 24 分) 16. x(2 x ? 1) ? 8 x ? 3 解:去括号,得: 2 x ? x ? 8 x ? 3
2

…………………2′

移项,得: 2 x ? x ? 8 x ? 3 ? 0 ′
2

合并同类项,得: 2 x ? 7 x ? 3 ? 0
2

…………………4′

? 2x ? 1 ? 0 1 ? x1 ? 2
∴ AD∥BC



x?3? 0

x2 ? 3

…………………8′

17.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 AD=BC …………………2′ …………………3′

∴ ∠AOF=∠OCE ∵ 点 O 是 AC 的中点 ∴ OC=OA ∴ ? AOF ? ? COE ∴ AF=CE (ASA)

…………………4′ …………………6′ …………………7′ …………………8′
数学试卷第 1 页(共 10 页)

∴ BE=FD

说明:本题还有其它解法,若正确得分。 18.
3 0 2 -8 ? (? -3) ?( 1- 2)

解:原式= - 2 ? 1 ? 1 ? 2 =2+1-1+ 2 =2+ 2 四、 (本大题共 3 个小题,每小题 9 分,共 27 分) 19.解:设 DG=x 米,由题意 EG=x 米,则 FG=(x-15)米 在 Rt ? DFG 中 tan60 ? ?

…………………4′ …………………6′ …………………8′

…………………2′ …………………3′

x x ? 15

x ? 3x ? 15 3
( 3 ? 1) x ? 15 3

x?

15 3 3 ?1
45 ? 15 3 2

…………………5′

?

=35.49 ∴ 塔高 DC=35.49+1.5 =36.99

…………………7′

? 37.0
说明:本题还有其它解法,若正确得分。

…………………9′

20.解:原计划每天抢修 x 米,则实际每天抢修(x+5)米,根据题意,得:………1′

120 120 ?4 x x?5
x 2 ? 5x ? 150 ? 0


…………………5′

x1 ? 10

x2 ? ?15

…………………7′

经检验: x1 ? 10 , x2 ? ?15 都是原方程的解。 但 x2 ? ?15 不符合实际情况(舍去) 答:原计划每天抢修 10 米。
数学试卷第 2 页(共 10 页)

…………………8′ …………………9′

说明:本题还可列其它方程,合理得分。 21.⑴

…………………2′ ⑵ x明星 ?

1 (82+84+94+92+98) 5 1 = ? 450 5
=90(分) …………………3′

x 沱牌 ?

1 (105+95+82+88+80) 5 1 = ? 450 5
=90(分) …………………4′ …………………5′ …………………6′

⑶ 明星队极差: 98-82=16(分) 沱牌队极差:105-80=25(分)

⑷ 从平均分来看,两队的平均分相同;从折线走趋来看,明星队呈上升趋势,沱牌队 呈下降趋势;从获胜场数来看,明星队胜 3 场,沱牌队胜 2 场;从极差来看,明星队极差 16 分,沱牌队极差 25 分。综合以上因素应派明星队参赛,更能取得好的成绩。……9′ 说明:第四问中不阐述理由,直接说明选派队伍,可直接得分。 五、 (本大题共 2 个小题,每小题 9 分,共 18 分) 22. ⑴连结 OC ∴ ∠OAC=∠OCA ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ AC 平分∠BAC ∠DAC=∠OAC ∠OCA=∠DAC AD∥OC AD⊥CD OC⊥CD CD 是⊙的切线 …………………3′ …………………4′ …………………5′ …………………2′ …………………1′

⑵ 连结 BC,延长 AC 交 BE 的延长线于 M
数学试卷第 3 页(共 10 页)

∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∵ ∴ ∴

AD⊥DE AD∥BE ∠M=∠DAC

BE⊥DE

∠DAC=∠BAM ∠BAM=∠M BA=BM AB 是直径 ∠ACB=90 ? AC=MC ∠M=∠DAC ∠D=∠CEM AC=MC …………………6′

?DAC ? ?MCE
DC=EC …………………7′

(若用平行线分线段成比例定理证明,正确得分) ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∠DAC=∠BCE ∠ADC=∠CEB …………………8′

? ADC~ ? CEB AD CD ? CE BE

CE ? CD ? AD ? BE
CD 2 ? AD ? BE
…………………9′

说明:本题还有其它证法,若正确合理得分。 23.解:由题意得 CM∥OB ∴ △AOB∽△AMC ∴ ∴ ∵

AO BO ? AM CM
AM=10 AO=6



6 3 ? AM 5
…………………2′

∴ MO=4 B(0,3) …………………4′

∴点 C(4,5) A(-6,0) 设直线解析式

y1 ? k1 x ? b

∵过点 A(-6,0)和点 B(0,3)

1 b=3 2 1 ∴ y1 ? x ? 3 2
∴k ?

…………………7′

数学试卷第 4 页(共 10 页)

设反比例解析 ∵过点 C(4,5) ∴ y2 ?

y2 ?

k2 x

∴ k 2? 20 …………………9′

20 x
7 部分; 部分;

六、 (本题共 2 个小题,24 题 8 分,25 题 13,共计 21 分) 24.当 n=3 时分成 …………………2′ …………………4′ …………………8′ …………………2′

当 n=4 时分成 11

an

an?1

n 之间的关系是 an?1 ? an ? n ? 1
b ? 4a ??2 2a 2a

25.⑴对称轴是 x=-

∵点 A(1,0)且点 A、B 关于 x=2 对称 ∴点 B(3,0) …………4′ ⑵点 A(1,0) ,B(3,0) ∴ AB=2 ∵ CP⊥对称轴于 P ∴ ∵ ∴ ∴ CP∥AB 对称轴是 x=2 AB∥CP 且 AB=CP 四边形 ABPC 是平行四边形 设点 C(0,x) x<0 在 Rt ? AOC 中,AC= x ?1
2

H

…5′

∴ BP=

x2 ?1
2

在 Rt ? BOC 中,BC= x ? 9

BD BE 1 ? ? BC BO 3 1 x2 ? 9 ∴ BD= 3
∵ ∵ ∠BPD=∠PCB 且∠PBD=∠CBP ∴ ? BPD~ ? BCP ∴ …………………7′

BP2 ? BD ? BC
2 2

即 ( x ? 1) ?

1 2 x ? 9 ? x2 ? 9 3
数学试卷第 5 页(共 10 页)

1 x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 9) 3
∴ x1 ? 3 ∵

x2 ? ? 3
∴ 点 C(0, - 3 )…8′

点 C 在 y 轴的负半轴上

∴ y ? ax2 ? 4ax ? 3 ∵ ∴ 过点(1,0)

a ? 4a ? 3 ? 0 ? 3a ? 3
a?? 3 3
…………………9′

解析式是: y ? ?

3 2 4 3 x ? x? 3 3 3 3 3 3 ) 3

⑶ 当 x=2 时, y ?

顶点坐标 G 是(2,

…………………10′

设 CG 的解析式是: y ? kx ? b (0, ? 3 ) (2,

3 ) 3



?b ? ? 3 ? ? 2 3 ?k ? 3 ?
2 3 x? 3 3
…………………11′

∴y?

设 CG 与 x 轴的交点为 H 令 y=0 则

2 3 x? 3 ?0 3

得 x?

3 2

数学试卷第 6 页(共 10 页)

3 ,0) 2 3 3 ∴ BH= 3 ? = 2 2
即 H(

…………………12′

S

?BCG

? S?BHG ? S?BHC
1 3 3 1 3 ? ? ? ? ? ?? 3 2 2 3 2 2 ? 3 3 3 ? 4 4
…………………13′

? 3
(本题若有其它解法,正确给满分)

数学试卷第 7 页(共 10 页)


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