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【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习单元评估检测(一)集合与常用逻辑用语


单元评估检测(一) 第一章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.(2015·乌鲁木齐模拟)设 A={x| ( A.a< )

1 <x<5,x∈Z},B={x|x>a}.若 A? B,则实数 a 的取值范围是 2

/>
1 2

B.a≤

1 2

C.a≤1

D.a<1

【解析】选 D.A={1,2,3,4},由 A? B 得 a<1. 【误区警示】本题易误选 A 或 B,出现错误的原因是忽视了集合 A 中“x∈Z”这一条件及对端 点值的验证. 2.(2015·兰州模拟)若集合 A={x∈R|y=lg(2-x)},B={y∈R|y=2 ,x∈A},则
R x-1

(A∩B)=(

) B.(-∞,0]∪[2,+∞) D.(-∞,0]
x-1

A.R C.[2,+∞)

【解析】选 B.由 2-x>0 得 x<2,即 A={x|x<2},当 x∈A 时,0<2 <2,即 B={y|0<y<2},从而 A∩ B={x|0<x<2}, R(A∩B)={x|x≤0 或 x≥2}.

3.已知命题 p:? x0>1,x0 -1>0,那么 p 是( A.? x>1,x -1>0 C.? x0>1,x0 -1≤0
2 2 2

2

)
2

B.? x>1,x -1≤0 D.? x0≤1,x0 -1≤0
2 2

【解析】选 B.“? x0>1,x0 -1>0”的否定为“? x>1,x -1≤0”. 4.(2015·双鸭山模拟)“sinα ≠sinβ ”是“α ≠β ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

【解题提示】只需判断“α=β”是“sinα=sinβ”的什么条件. 【解析】选 A.α=β? sinα=sinβ,但 sinα=sinβ? α=β. 因此α=β是 sinα=sinβ的充分不必要条件,从而“sinα≠sinβ”是“α≠β”的充分不必

-1-

要条件.

1 1 ? 的否命题是( a b 1 1 A.已知 ab≤0,若 a≤b,则 ? a b 1 1 B.已知 ab≤0,若 a>b,则 ? a b 1 1 C.已知 ab>0,若 a≤b,则 ? a b 1 1 D.已知 ab>0,若 a>b,则 ? a b
5.已知 ab>0,若 a>b,则

)

【解析】选 C.条件 ab>0 是大前提,所以其否命题是:已知 ab>0,若 a≤b,则

1 1 ? . a b

【误区警示】解答本题易误选 A,出错的原因是忽视了大前提与条件的关系. 6.(2015·天津模拟)下列命题中错误的是( )

A.命题“若 p,则 q”与命题“若 q,则 p”互为逆否命题 B.命题 p:? x∈[0,1],e ≥1,命题 q:? x0∈R,x0 +x0+1<0,p∨q 为真 C.若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真命题 【解析】选 D.对于 D,逆命题为“若 a<b,则 am <bm ”,当 m=0 时,am =bm ,故逆命题是假命题. 7.已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集 A 具有性质 P:当 a∈A 时,必有 6-a∈A.则具有性质 P 的集 合 A 的个数是( A.8 ) B.7 C.6 D.5
2 2 2 2 2 2 x 2

【解析】 选 B.由题意,知 3∈A 可以,若 1∈A,则 5∈A,若 2∈A,则 4∈A,所以具有性质 P 的集合 A 有{3},{1,5},{1,3,5},{2,4},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共 7 个. 8.设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 ”成立的( a

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 ,当 a<0 时,有 b> .当 b< 时,不妨设 b=-1,a=1, a a a 1 1 则满足 b< ,但 ab=-1,不满足 0<ab<1.所以 0<ab<1 是 b< 成立的既不充分也不必要条件,选 a a
【解析】 选 D.若 0<ab<1,则当 a>0 时,有 b< D. 【加固训练】 “10 >10 ”是“lg a>lg b”的( A.充分不必要条件
a b

)

B.必要不充分条件
-2-

C.充要条件
a b

D.既不充分也不必要条件
a b

【解析】选 B.由 10 >10 得 a>b.由 lg a>lg b 得 a>b>0,所以“10 >10 ”是“lg a> lg b”的必要不充分条件,选 B. 9.(2015·宁德模拟)已知命题 p:“x>2 是 x >4 的充要条件”,命题 q:“若 那么( ) B.“p 且 q”为真 D.p,q 均为假
2

a b ? 2 ,则 a>b”, 2 c c

A.“p 或 q”为真 C.p 真 q 假

【解析】选 A.命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,从而“p 或 q”为真. 10.(2015·荆州模拟)给出下列四个命题: ①命题 :? x0∈ R,sin x0+cos x0= 3 ;②? x0∈(-∞ ,0), 2
2 2

x0

? 3x0 ;③? x∈ R,ex≥x+1;④对?
)

(x,y)∈{(x,y)|4x+3y-10=0},则 x +y ≥4,其中所有真命题是( A.①③ B.②③ C.②④ D.③④

【解析】选 D.sin x+cos x=
x x

2 sin(x+

? x x ) ≤ 2 , 故①错 ; 画 y=2 ,y=3 图可知②错 ; 设 4

f(x)=e -(x+1),f′(x)=e -1,可知 f(x)在(-≦,0)递减,在(0,+≦)递增,f(x)min=f(0)=0,故③正 确;x +y 为原点到 4x+3y-10=0 的距离的平方,为 4,所以④正确. 11.已知函数 f(x)=x +bx+c,则“c<0”是“? x0∈R,使 f(x0)<0”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2 2 2 2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解题提示】把问题转化为方程 x +bx+c=0 有根的情况解答. 【解析】 选 A.若 c<0,则Δ=b -4c>0,所以? x0∈R,使 f(x0)<0,成立.若? x0∈R,使 f(x0)<0,则有 Δ=b -4c>0,即 b -4c>0 即可,所以当 c=1,b=3 时,满足Δ=b -4c>0,所以“c<0”是“? x0∈R,使 f(x0)<0”的充分不必要条件,故选 A. 【误区警示】解答本题易误选 C,出错的原因就是不能进行合理转化,尤其反推时,不知道举反 例,而导致误选 C. 12.(2015 ·嘉兴模拟 ) 对任意的实数 x, 若 [x] 表示不超过 x 的最大整数 , 则“|x-y|<1”是 “[x]=[y]”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 2 2

【解析】 选 B.当 x=0.9,y=1 时,满足|x-y|<1,但[x]=0≠[y]=1,所以|x-y|<1? [x]=[y],反之,
-3-

若[x]=[y]=n,则 n≤x<n+1,n≤y<n+1? -1<x-y<1? |x-y|<1,所以[x]=[y]? |x-y|<1,综上知, “|x-y|<1”是“[x]=[y]”的必要不充分条件. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13. 已 知 p(x):x +2x-m>0, 如 果 p(1) 是 假 命 题 ,p(2) 是 真 命 题 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 .
2

【解析】因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0,解得 m≥3,又因为 p(2)是真命题,所以 4+4-m>0, 解得 m<8,所以实数 m 的取值范围是 3≤m<8. 答案:3≤m<8 14.(2015·青岛模拟)已知 A={x| 【解析】因为 A={x|

1 -x 1 <2 < },B={x|log2(x-2)<1},则 A∪B= 8 2

.

1 -x 1 -3 -x -1 <2 < }={x|2 <2 <2 }={x|1<x<3},B={x|log2(x-2)<1}= 8 2

{x|0<x-2<2}={x|2<x<4},所以 A∪B={x|1<x<4}. 答案:{x|1<x<4} 15.(2015·玉溪模拟)已知命题 p:函数 f(x)=2ax -x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题 q: 函数 y=x 在(0,+∞)上是减函数.若 p 且 q 为真命题,则实数 a 的取值范围是 【解题提示】先分别按 p,q 为真确定 a 的取值范围,再由题意确定 a 的取值范围. 【解析】若 p 为真,则 f(0)·f(1)=-1·(2a-2)<0,即 a>1,若 q 为真,则 2-a<0,即 a>2,所以 q 为真时,a≤2, 故 p∧ q 为真时,1<a≤2. 答案:(1,2] 16.(2015·北京模拟)设集合 A={x|x +2x-3>0},集合 B={x|x -2ax-1≤0,a>0}.若 A∩B 中恰含 有一个整数,则实数 a 的取值范围是
2 2 2 2-a 2

.

.
2

【 解 析 】 A={x|x +2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3}, 因 为 函 数 y=f(x)=x -2ax-1 的 对 称 轴 为 x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使 A∩B 中恰含有一个整数,则这个整数为 2,所以有 f(2)

? a? ? 4 ? 4a ? 1 ? 0, ? ? ≤0 且 f(3)>0,即 ? 所以 ? ?9 ? 6a ? 1 ? 0, ?a ? ? ?
答案: [

3 , 3 4 4 即 ?a? . 4 4 3 . 3

3 4 , ) 4 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

-4-

17.(10 分)(2015·孝感模拟)已知集合 A={x|x -5x+6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A,求实数 m 的值组成的集合. 【解析】A={x|x -5x+6=0}={2,3}, 因为 A∪B=A,所以 B? A. ①当 m=0 时,B=?,B? A,故 m=0; ②当 m≠0 时,由 mx+1=0,得 x=因为 B? A,所以得 m=2

2

1 . m

1 1 =2 或- =3, m m

1 1 或 m=- . 2 3 1 1 ,- }. 2 3
2

所以实数 m 的值组成的集合为{0,2

18.(12 分)已知集合 A={x|x -5x+4≤0},集合 B={x|2x -9x+k≤0}. (1)求集合 A. (2)若 B? A,求实数 k 的取值范围. 【解析】(1)A=[1,4]. (2)由 B? A,当 B=?时,Δ=81-8k<0,解得 k>
2

81 . 8
2

当 B≠?时,B? A 等价于 2x -9x+k=0 的两根均在[1,4]内,设 f(x)=2x -9x+k.由实根分布可得

? ? ? 0, ? 9 ? 81 ?1 ? 4 ? 4, 解得 7≤k≤ . ? 8 ?f ?1? ? 0, ? ? ?f ? 4 ? ? 0,
综上,实数 k 的范围为[7,+≦). 19.(12 分)已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不相等的负实根,命题 q:不等式 4x +4(m-2)x+1>0 的解集为 R.若 p∨q 为真命题、p∧q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 【解析】命题 p 为真时,实数 m 满足Δ1=m -4>0 且-m<0,解得 m>2;命题 q 为真时,实数 m 满足Δ
2 2 2 2

=16(m-2) -16<0,解得 1<m<3.

2

p∨q 为真命题、p∧q 为假命题,等价于 p 真且 q 假或者 p 假且 q 真. 若 p 真且 q 假,则实数 m 满足 m>2 且 m≤1 或 m≥3,解得 m≥3; 若 p 假且 q 真,则实数 m 满足 m≤2 且 1<m<3, 解得 1<m≤2.

-5-

综上可知,所求 m 的取值范围是(1,2]∪[3,+≦).

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 20.(12 分)设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a≠0,q:实数 x 满足 ? 2 ? ? x ? 2x ? 8 ? 0.
2 2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)由 ?
2

2 ? ? x ? x ? 6 ? 0, 得 q:2<x≤3. 2 x ? 2x ? 8 ? 0. ? ?

当 a=1 时,由 x -4x+3<0,得 p:1<x<3, 因为 p∧q 为真,所以 p 真,q 真. 由?

?2 ? x ? 3, 得 2<x<3, ?1 ? x ? 3,

所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2)由 x -4ax+3a <0, 得(x-a)(x-3a)<0. ①当 a>0 时,p:a<x<3a, 由题意,得(2,3] 所以 ? (a,3a),
2 2

?a ? 2, 即 1<a≤2; ?3a ? 3,

②当 a<0 时,p:3a<x<a, 由题意,得(2,3] 所以 ? (3a,a),

?3a ? 2, 无解. ?a ? 3

综上,可得 a∈(1,2]. 21.(12 分)已知 p:-x +8x+20≥0,q:x -2x+1-m ≤0(m>0). (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. (2)若“ p”是“ q”的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m, (1)因为 p 是 q 的充分不必要条件,
2 2 2

-6-

? m ? 0, ? 所以 ?1 ? m ? ?2, 所以 m≥9. ?1 ? m ? 10, ?
所以实数 m 的取值范围为 m≥9. (2)因为“ p”是“ q”的充分不必要条件, 所以 q 是 p 的充分不必要条件.

? m ? 0, ? 所以 ?1 ? m ? ?2, 所以 0<m≤3. ?1 ? m ? 10, ?
所以实数 m 的取值范围为 0<m≤3. 22.(12 分)求证:方程 ax +2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为 a≤0 或 a=1. 【解题提示】 充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0 或 a=1 作为条件→必要性:ax +2x+1=0 有且只有一个负数根作为条件. 【证明】充分性:当 a=0 时,方程为 2x+1=0, 其根为 x=2 2

1 ,方程只有一负根. 2
2

当 a=1 时,方程为 x +2x+1=0,其根为 x=-1,方程只有一负根. 当 a<0 时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根, 且

1 <0,方程有一正一负两个根. a
2

必要性:若方程 ax +2x+1=0 有且只有一负根. 当 a=0 时,符合条件. 当 a≠0 时,方程 ax +2x+1=0 有实根, 则Δ=4-4a≥0,所以 a≤1, 当 a=1 时,方程有一负根 x=-1. 当 a<1 时,若方程有且只有一负根,
2

?a ? 1, ? 则 ?1 所以 a<0. ? 0, ? ?a
综上,方程 ax +2x+1=0 有且只有一个负根的充要条件为 a≤0 或 a=1.
2

-7-


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