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2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第五章 第2讲 一元二次不等式及其解法


第2讲
考纲要求

一元二次不等式及其解法

考纲研读 1.深刻理解“三个二次”之间的 1.会从实际情境中抽象出一元二 关系,充分借助于图象的直观性 次不等式模型. 解一元二次不等式. 2.通过函数图象了解一元二次 2.会解含参数的简单一元二次 不等式与相应的二次函数、一元 不等式,能将分式不等式转化成 二次方程的联系. 整式不等

式. 3.会解一元二次不等式,对给 3.要明确方程的根、函数的图 定的一元二次不等式,会设计求 象与 x 轴交点的横坐标与不等式 解的程序框图. 之间的关系.

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如 下表

判别式 Δ=b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函数 y=ax2+ bx+c(a>0)的图象

续表

判别式 Δ=b2-4ac 一元二次方程 ax + bx+c=0(a≠0)的 根 一元二 ax2+bx+ 次不等 c>0(a>0)
2

Δ>0 有两相异实根
x1,2= _______________ -b± b -4ac 2a ________________
2

Δ=0 有两相同实
b x1,2=-2a 根_________
? ? ? ? b ? ?x?x≠- ? 2a ? ? ? ? ? ___________

Δ<0

没有实根 _________

{x|x<x1或x>x2} _______________

R ___
? _____

式的解 ax2+bx+ 集 c<0(a>0)

{x|x1<x<x2} _____________

? _____

二次项系数a化成正数 若a<0 时,可以先将____________________,对照上表求解.

1.不等式 x2<1 的解集为( A ) A.{x|-1<x<1} C.{x|x>-1} B.{x|x<1} D.{x|x<-1 或 x>1}

2.不等式(x-1) x+2 的解集是( ≥0 A.{x|x>1} C.{x|x≥1}

B

)

B.{x|x≥1 或 x=-2} D.{x|x≥-2 且 x≠1}

3.(2010 年广东佛山质量检测)下列给出的四组不等式中,同 解的是( C ) A. x-2(x2-4x+3)<0 与 x2-4x+3<0 ?x-1?2?x-2? B. ≥0 与(x-1)(x-2)≥0 x-1 2x-3 C. >0 与(2x-3)(x-5)>0 x-5 x2-2x-6 D. <1 与 x2-2x-6<2x-1 2x-1

x-3 4.不等式 <0 的解集为( A ) x+2
A.{x|-2<x<3}
C.{x|x<-2 或 x>3}

B.{x|x<-2}
D.{x|x>3}

{x|-3≤x≤1} 5.不等式-x2-2x+3≥0 的解集是__________________.

考点1

解一元二次、分式不等式

例 1:①(2011 年广东)不等式 2x2-x-1>0 的解集是( D )
? 1 ? ?- ,1? A. 2 ? ?

B.(1,+∞)
? 1? ?-∞,- ?∪(1,+∞) D. 2? ?

C.(-∞,1)∪(2,+∞)

解析:2x2-x-1>0?(x-1)(2x+1)>0
? 1? 1 ?x<-2或 x>1,所以,不等式的解集为?-∞,-2?∪(1,+∞). ? ?

1 x<0或x>1 ②(2011 年上海)不等式x<1 的解为____________. 1-x x-1 1 1 解析:x<1?x-1<0? x <0? x >0.解得 x<0 或 x>1.
解一元二次不等式的步骤:①先对不等式变形, 使不等式的右边为零,左边的二次项系数为正;②计算相应的判 别式;③求出相应方程的根,或者判定相应的方程无根;④结合 相应二次函数的图象写出不等式的解集.

【互动探究】

1 (-3,2) 1.(2011 年安徽)函数 y= 2的定义域是_________. 6-x-x

考点2 含参数不等式的解法 例2:解关于 x 的一元二次不等式 x2-(3+a)x+3a>0.

解题思路:比较根的大小确定解集.
解析:∵x2-(3+a)x+3a>0, ∴(x-3)(x-a)>0. (1)当a<3时,x<a或x>3,不等式解集为{x|x<a或x>3}. (2)当a=3时,不等式为(x-3)2>0,解集为{x|x∈R且x≠3}.

(3)当a>3时,x<3或x>a,不等式解集为{x|x<3或x>a}.

解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论: ①根据二次项系数讨论(大于0、小于 0、等于0); ②根据根的判别式讨论(Δ>0、Δ=0、Δ<0);

③根据根的大小讨论(x1>x2、x1=x2、x1<x2).

【互动探究】
2.解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0.

解:原不等可化为(ax-1)(x-1)<0. (1)当 a=0 时,x>1. 1 (2)当 a<0 时,x<a或 x>1. (3)当 a>0
? 1? 时,上面不等式可化为?x-a?(x-1)<0. ? ?

1 ①当 0<a<1 时,1<x<a; ②当 a=1 时,解集为?; 1 ③当 a>1 时,a<x<1.

考点3 一元二次不等式的应用 例3:已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-
2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)=0 的两根一个大于-3,另一个小于-3,求 a 的取值范围; (2)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式.

解析:(1)设函数f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.
则f(x)=a(x-1)(x-3)-2x. 若方程f(x)=0的两实根一个大于-3,另一个小于-3, 1 只需 f(-3)>0.∴-4<a<0.

(2)∵f(x)=ax2-(4a+2)x+3a, ∴f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a=0 有两个相等实根. 1 ∴Δ=(4a+2) -36a =0.∴a=1 或 a=-5.
2 2

1 又 a<0,∴a=-5. 1 6 3 故所求解析式为 f(x)=-5x2-5x-5.

【互动探究】

3.一元二次不等式 ax +bx+2>0 的值是( D ) A.10 B.-10
2

2

? 1 1? 的解集是?-2,3?,则 ? ?

a+b

C.14

D.-14

1 1 解析:方程 ax +bx+2=0 的两个根为-2和3, 1 1 1 1 2 b -2+3=-a,-2×3=a,a=-12,b=-2,a+b=-14.

思想与方法

9.利用转化与化归思想求参数的范围

x2+2x+a 例题:(2011届甘肃兰州联考)已知函数f(x)= ,x∈[1, x
+∞).
(1)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范 围; (2)若对任意 a∈[-1,1],f(x)>4 恒成立,求实数 x 的取值范围.

解析:(1)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立, x2+2x+a 即 >0,x∈[1,+∞)恒成立. x 亦即 x2+2x+a>0,x∈[1,+∞)恒成立. 即 a>-x2-2x,x∈[1,+∞)恒成立. 即 a>(-x2-2x)max,x∈[1,+∞), 又∵-x2-2x=-(x+1)2+1. 当 x=1 时,而(-x2-2x)max=-3,x∈[1,+∞),∴a>-3. ∴对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,实数 a 的取值范围为 {a|a>-3}.

(2)要使当 a∈[-1,1]时,f(x)>4 恒成立. x2+2x+a 即 >4,x∈[1,+∞)恒成立. x ∴x2-2x+a>0 对 a∈[-1,1]恒成立. 把 g(a)=a+(x2-2x)看成 a 的一次函数, 则使 g(a)>0 对 a∈[-1,1]恒成立的条件是
?g?1?>0, ? ? ?g?-1?>0. ? ?x2-2x+1>0, ? 即? 2 ?x -2x-1>0. ?

解得 x<1- 2或 x> 2+1. 又 x≥1,∴x> 2+1. 故所求 x 的范围是( 2+1,+∞).

在含有多个变量的数学问题中,选准“主元”往

往是解题的关键.即需要确定合适的变量或参数,能使函数关系
更加清晰明朗.一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围 的量为参数.如(1)中x 为变量(关于x 的二次函数),a 为参数. (2)中a 为变量(关于a 的一次函数),x 为参数.

1.高次不等式(包括分式不等式)解法 尽可能进行因式分解,分解成一次因式后,再利用数轴标根 法求解(注意每个因式的最高次项的系数要求为正数).

2.解决一元二次不等式有关问题的常见数学思想方法
(1)数形结合思想:三个二次的完美结合是数形结合思想的具 体体现.

(2)分类讨论思想:当二项系数含参数 a 时,要对二次项系数
分 a>0、a<0 和 a=0 三种情况讨论;对方程根的情况进行分类讨 论(Δ>0,Δ=0,Δ<0);如果根里含有参数,要注意对两个根的大 小进行讨论. (3)转化与化归思想:解分式、指数、对数、绝对值等类型的

不等式时,一般要把它们转化成一元二次(一次)不等式(组)的形式
进行解决.转化的方法通常是代数化、有理化、整式化、低次化.

1.结合二次函数图象解不等式时,一定要注意不等号的方向

与二次函数图象的开口方向.
2.不等式的解集一定要用集合或区间的形式表示出来. 3.含参数不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函

数增减性为基础,分类讨论是关键.”注意解完之后要写上:“综
上,原不等式的解集是?”.注意:按参数讨论,最后应按参数

取值分别说明其解集.但若按未知数讨论,最后应求并集.解不
等式组求的是各个不等式解集的交集,不要与并集相混淆.


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