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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2第二章 平面直角坐标系中的基本公式


2.1.2
一、基础过关

平面直角坐标系中的基本公式

1. 已知点 A(-3,4)和 B(0,b),且|AB|=5,则 b 等于 A.0 或 8 C.0 或 6 B.0 或-8 D.0 或-6

(

)

2. 已知线段 AB 的中点在坐标原点,且 A(x,2),B(3,y),则 x+y 等于 A.5 B.-1 C.1 D.-5

(

)

3. 以 A(1,5),B(5,1),C(-9,-9)为顶点的三角形是 A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.无法确定

(

)

4. 设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于 A.5 C.2 5 B.4 2 D.2 10

(

)

5.已知点 A(x,5)关于点 C(1, y)的对称点是 B(-2, -3), 则点 P(x, y)到原点的距离是_______. 6. 点 M 到 x 轴和到点 N(-4,2)的距离都等于 10,则点 M 的坐标为______________. 7. 已知 A(6,1)、B(0,-7)、C(-2,-3). (1)求证:△ABC 是直角三角形; (2)求△ABC 的外心的坐标. 8. △ABC 中,AO 是 BC 边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2). 二、能力提升 9. 已知点 A(1,2),B(3,1),则到 A,B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是 A.4x+2y=5 C.x+2y=5 B.4x-2y=5 D.x-2y=5 ) ( )

10. 已知 A(-3,8), B(2,2), x 轴上有一点 M, 在 使得|MA|+|MB|最短, 则点 M 的坐标是( A.(-1,0) 22 C.? 5 ,0? ? ? B.(1,0) 22 D.?0, 5 ? ? ?

11.等腰三角形 ABC 的顶点是 A(3,0),底边长|BC|=4,BC 边的中点是 D(5,4),则此三角形 的腰长为________. 12.求函数 y= x2-8x+20+ x2+1的最小值. 三、探究与拓展 13.在△ABC 所在平面上求一点 P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2 取得最小值.

答案
1.A 5. 17 6.(2,10)或(-10,10) 7.(1)证明 |AB|2=(0-6)2+(-7-1)2=100, 2.D 3.B 4.C

|BC|2=(-2-0)2+(-3+7)2=20, |AC|2=(-2-6)2+(-3-1)2=80, 因为|AB|2=|BC|2+|AC|2, 所以△ABC 为直角三角形,∠C=90° . (2)解 6+0 因为△ABC 为直角三角形, 所以其外心是斜边 AB 的中点, 所以外心坐标为( , 2

1-7 ),即(3,-3). 2 8.证明 以 BC 边所在直线为 x 轴,边 BC 的中点为原点建立直角坐标 系,如图,设 B(-a,0),O(0,0),C(a,0),其中 a>0,A(m,n), 则|AB|2+|AC|2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+n2+a2), |AO|2+|OC|2=m2+n2+a2 ∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2). 9.B 10.B 11.2 6 12.解 原式可化为 y= ?x-4?2+?0-2?2+ ?x-0?2+?0-1?2. 考虑两点间的距离公式,如图所示, 令 A(4,2),B(0,1),P(x,0), 则上述问题可转化为:在 x 轴上求一点 P(x,0), 使得|PA|+|PB|最小. 作点 A(4,2)关于 x 轴的对称点 A′(4,-2), 由图可直观得出 |PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|, 故|PA|+|PB|的最小值为 A′B 的长度. 由两点间的距离公式可得|A′B|= 42+?-2-1?2=5, 所以函数 y= x2-8x+20+ x2+1的最小值为 5. 13.解 设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 |PA|2+|PB|2+|PC|2=(x-x1)2+(y-y1)2+(x-x2)2+(y-y2)2+(x-x3)2+(y-y3)2

=[3x2-2(x1+x2+x3)x+x21+x22+x23]+[3y2-2(y1+y2+y3)y+y21+y22+y23]. 由二次函数的性质,知

?x=x +x3 +x , ? y +y +y ?y= 3 ,
1 2 3 1 2 3

即 P 为△ABC 的重心时,|PA|2+|PB|2+|PC|2 取得最小值.


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