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湖北省武汉市蔡甸区第二中学2013-2014学年高二上学期期末考试理科数学试卷


2013-2014 学年度蔡甸区第二中学高二期末考试
数学试卷(理科)
一、选择题(50 分) 1. 投掷红、蓝两个骰子,事件 A=“红骰子出现 4 点” ,事件 B=“蓝骰子出现的点数是 偶数” ,则 P(A|B)=( A. )

1 6

B.

1 3

C.

r />1 12

D.

1 2


2. 已知某一随机变量 x 的概率分布如下,且 E ( x) =5.9,则 a 的值为(

x
p A.5 B. 6

4 0.5 C.7

a
0.2

9 b D. 8 )

3. 某程序的框图如右图所示,若执行该程序,输出的 S 值为(
开始

k=1 S=0 否

k?9

是 S=S+k k=k+2 输出 S
结束

第 3 题图 A. 45 B.36 C.25 D.16 ) D.[-l,2]

第 4 题图

4.执行右边的程序框图,若 t∈[-1,2],则 s∈( A.[-1,1) B.[0,2] C.[0,1)

5.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有 52 名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已 知 7 号、33 号、46 号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是 ( A.13 6. ( x ? 2)(
2

)

B.19

C.20 )

D.51

1 ? 1)5 的展开式的常数项是( 2 x
B.-2 C.2

A.-3

D.3
? ?

7. 连续抛掷两次骰子, 得到的点数分别为 m,n, 记向量 a ? ? m, n ? , b ? ?1, ?1? 的夹角为

? ?? ? ,则 ? ? ? 0, ? 的概率是( ? 2?



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A.

5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

5 6

8. 已知 P(x,y)是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA,PB 是圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,A.B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为 A.3 B. ( )

21 2

C. 2 2

D.2

? 3x-y≤0, 9. 已知 A(3, 3), O 是坐标原点, 点 P(x, y)的坐标满足?x- 3y+2≥0, ?y≥0,
在 OP 上的射影,则 Z 的取值范围是( A.[- 3, 3 ] B.[-3,3] ) C.[- 3,3]

设 Z 为 OA

D.[-3, 3 ]

10. 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为( 1 A. 6 1 B. 3 2 C. 3 ) 4 D. 5

二、填空题(25 分) 11. 5000 辆汽车经过某一雷达测速区, 其速度频率分布直方图如右图所示,则时速超 过 70km/h 的汽车数量为 .

第 11 题图

第 12 题图

12. 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示,则 7 个剩余分数的方差为 13. (ax ?
2

. .

1 5 ) 的展开式中各项系数的和为 243,则该展开式中常数项为 x

14. 10 名运动员中有 2 名老队员和 8 名新队员,现从中选 3 人参加团体比赛,要求老队 员至多 1 人入选且新队员甲不能入选的选法有 种.
2 2 2 15. 若实数 a, b 满足 a + b ≤ 1 ,则关于 x 的方程 x ? 2 x ? a ? b ? 0 有实数根的概率





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三、解答题(75 分) 16.(12 分)已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 和圆 C2 ,直线 l 与圆 C1 相切于点 A(1,1) ,圆 C2 的 圆心在射线 2 x ? y ? 0 ( x ? 0) 上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 . (1)求直线 l 的方程; (2)求圆 C2 的方程. 17. (12 分)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个, 生产一个卫兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产 时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生 产一个伞兵可获利润 3 元. (1)用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 W(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?

18. (12 分)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影 响如下表: 降水量 X 工期延误天数 Y
X ? 300 300 ? X ? 700 700 ? X ? 900 X ? 900

0

2

6

10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3, 0.7,0.9. 求: (Ⅰ )工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ )在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率.

19. (12 分)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.把符 合条件的 1000 名志愿者按年龄分组:第 1 组[20,25)、第 2 组[25,30)、第 3 组[30,35)、 第 4 组[35,40)、第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示:

(1)若从第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 12 名志愿者参加广场的宣传活动,应从 第 3、4、5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该市决定在这 12 名志愿者中随机抽取 3 名志愿者介绍宣传经验,
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求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率; (3)在(2)的条件下,若 ξ 表示抽出的 3 名志愿者中第 3 组的人数,求 ξ 的分布列和数 学期望. 20. (13 分) PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗 粒物,它对空气质量和能见度等有重要的影响。我国从 PM 2.5 的含量对空气质量评定 的标准如表 1 所示.某市环保部门从 2013 年全年每天的 PM 2.5 监测数据中随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值茎叶图如图所示。 (Ⅰ) 从这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数 ? ,求

? 的分布列和数学期望;
(Ⅱ) 以这 15 天的 PM 2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算) 中大约有多少天的空气质量达到一级. 我国空气质量表

PM 2.5 均值(微克/立方米)
2 3 4 6 7 8 9 5 1 4 8 7 3 2 8 7 3 4 5 3 9 6

PM 2.5 均值范
围 (微克/立方米) 空气质量级别

?1,35?

Ⅰ Ⅱ 超标 表1

?35,75?
大于 75



21. (14 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元 的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单 位:枝, n ? N )的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求 量n 频 数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说 明理由。
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2013-2014 学年度蔡甸区第二中学高二期末考试

数学(理科)答题卷
考号________________

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

姓名___________________

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 13. 15. 三、解答题(共 75 分) 16. (12 分) 12. 14.

学校_________________

班级___________________

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17. (12 分)

18. (12 分)

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19. (12 分)

20. (13 分)

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线





线





线





线

21. (14 分)

2013-2014 学年度蔡甸区第二中学高二期末考试

数学试卷(理科)答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 11. 500 1 A 12. 2 B 3 C 13. 10 4 D 14. 77 5 C 15. 6 D 7 C 8 D 9 B 1 0 C

36 7

3? ? 2 4?

16. 解: (1)∵ AO ? l ,∴ kl ? ? 又 ∵ 切点为 A(1,1) ,

1 ? ?1 . kOA

∴ 直线 l 的方程是 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (2)设圆心 C2 (a, 2a)(a ? 0) ,则 r ? 5a , ∵ C2 到直线 l 的距离 d ?

| 3a ? 2 | , 2



(3a ? 2)2 ? 12 ? 5a 2 , 2
化简得 a ? 12a ? 28 ? 0 ,
2

解得 a ? 2 或 a ? ?14 (舍去) . ∴ C2 的方程是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 20 . 17. 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 W=5x+6y+3(100-x-y) =2x+3y+300(x,y∈N). (2)约束条件为 5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? ?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0, x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0, 目标函数为 W=2x+3y+300, 如图所示,作出可行域.
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初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,W 有最大值.
?x+3y=200, ?x=50, ? ? 由? 得? 最优解为 A(50,50), ?x+y=100, ?y=50, ? ?

所以 Wmax=550(元). 答:每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,为 550(元) 18. 解: (Ⅰ )由已知条件和概率的加法公式有:
P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 ,

P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 .
P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 .

所以 Y 的分布列为:

Y
P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

于是, E (Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3 ;

D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3)2 ? 0.1 ? 9.8 . 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 . (Ⅱ )由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1 ? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . 由 条 件 概 率 , P(300 ? X ? 900) 0.6 6 ? ? . P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ? P( X ? 300) 0.7 7
故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 19.



6 . 7

3 (2)从 12 名志愿者中抽取 3 名共有 C12 ? 220 种可能, 3 3 第 4 组至少有一位志愿者被抽中有 C12 ? C8 ? 164 种可能,

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所以第 4 组至少有一位志愿者被抽中的概率为 P ? (3) ? 的可能取值为 0,1, 2,3 , P ?? ? 0 ? ?

164 41 ? . 220 55

???7 分

0 3 1 2 C6 C6 C6 C6 2 9 , ? P ? ? 1 ? ? ? ? 3 3 C12 22 C12 22

20.

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21. 解: (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 ; 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 。 ∴y??

?10n ? 80(n ? 15) (n ? N ) 。 (n ? 16) ?80

X 可取 60 , 70 , 80 , P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7 。 (2) (i) X 的分布列为: X

60
0.1

70
0.2

80
0.7


P

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44 。
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
∵ 76.4 ? 76 ,∴应购进 17 枝。

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