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2.2 圆内接四边形的性质与判定定理 教学课件(人教A版选修4-1)


第2课时

圆内接四边形的性质与判定定理

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【课标要求】 1.理解圆内接四边形的两条性质定理,能应用定理解决相关的

几何问题.
2.理解圆内接四边形判定定理及推论,能应用定理及推论解决 相关的几何问题. 【核心扫描】 1.用圆内接四边形

的判定定理判断四点共圆.(重点) 2.用圆内接四边形的性质定理解决相关问题.(难点)

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自学导引 1.圆内接多边形 (1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫 做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.

(2)同样,如果四边形的四个顶点都在同一个圆上,则称该四
边形为圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 2.圆内接四边形的两个性质定理 (1)定理1:圆的内接四边形的 对角互补 . (2)定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.

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3.圆内接四边形的判定定理 (1)圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的 对角互补 ,那么这个四边形的四个顶点 共圆.

(2)圆内接四边形的判定定理的推论
如果四边形的一个外角等于 它的内角的对角 ,那么这个四边 形的四个顶点共圆.

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(3)判断四点共圆的常用方法
①如果四个点与一定点的距离相等,那么这四个点共圆; ②如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点 共圆; ③如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形

的四个顶点共圆;
④如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等且在公共边的 同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆.

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试一试:判断下列各命题是否正确. (1)任意三角形都有一个外接圆,但可能不止一个; (2)矩形有唯一的外接圆; (3)菱形有外接圆;

(4)正多边形有外接圆.
提示 (1) 错误,任意三角形有唯一的外接圆; (2) 正确,因为矩

形对角线的交点到各顶点的距离相等;(3)错误,只有当菱形是正 方形时才有外接圆;(4)正确,因为正多边形的中心到各顶点的距 离相等.

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名师点睛
1.(1)要注意圆内接四边形的四个内角都是圆周角这一特点.利 用圆周角定理,把圆周角与相应的圆心角联系起来,从而得 出圆内接四边形性质定理 1,然后在性质定理 1 的基础上,推 出了性质定理2.

(2)圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理
论依据,因而也为论证角边关系提供了一种新方法. 2.掌握圆的内接四边形需注意的问题 (1)在圆内接四边形的判定定理的证明中,利用了穷举法.所 谓的“穷举法”就是当问题的结论存在多种情形时,通过对

每一种情况分别论证,最后获证结论的方法.在每一种情形
的证明中都用到了反证法,要注意这些方法的应用.
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(2)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况,它们的关 系可以用集合形式表示:{圆内接四边形}?{圆内接多边形}. (3)掌握一些常见的结论,例如,正多边形一定存在外接圆; 三角形一定存在外接圆,并且三角形的外接圆的圆心(即外心)

是三条边的垂直平分线的交点;圆内接梯形一定是等腰梯形
等. (4)要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用.

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题型一 用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题

【例 1】 在⊙ O 中, AC = AB , E 是弦 BC 延长线上的一点, AE 交
⊙O于点D.求证:AC2=AD·AE.
[思维启迪] ∠EDC=∠B 等腰三角形 ― ― ― ― → 及等量代换 ∠ACB=∠EDC

相似三角 ― ― → 形的判断

对应边 △ADC∽△ACE ― ― → 结论 成比例

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s 证明 如图,连接 DC,AB. ∵AC=AB,∴∠ACB=∠B. 又∵四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠EDC=∠B, ∴∠ACB=∠EDC. ∴∠ADC=∠ACE. 又∵∠EAC=∠CAD, ∴△ADC∽△ACE, AC AD ∴AE=AC ,∴AC2=AD· AE.
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反思感悟 要证明等积式,因比例式是等积式的一种特殊形式, 故可转化为比例式.只需找到包含AC、AD、AE的两个三角形来 证明.而要证三角形相似,可借助圆内接四边形的性质,得出对 应的角相等.

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【变式1】 如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的角 平分线,AD与三角形的外接圆⊙O交于点D. 求证:DB=DC. 证明 ∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,

又∵∠EAD=∠BCD,∠CAD=∠CBD.
∴ ∠ DBC= ∠ DCB. ∴ DC= BD.

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题型二 利用圆内接四边形的性质定理求角 【例2】 如图所示,已知四边形ABCD

内接于圆,延长AB和DC相交于E,
EG平分∠BEC,且与BC、AD分别 相交于F、G. 求证:∠CFG=∠DGF. [思维启迪] 已知四边形ABCD内接于圆,自然想到圆内接四边

形的性质定理,即 ∠ BCE = ∠ BAD ,又 EG 平分 ∠ BEC ,故
△CFE∽△AGE.下面易证∠CFG=∠DGF.

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证明 因为四边形ABCD是圆内接四边形, 所以∠ECF=∠EAG.

又因为EG平分∠BEC,
即∠CEF=∠AEG,所以△EFC∽△EGA. 所以∠EFC=∠EGA. 而∠EGD=180°-∠EGA, ∠CFG=180°-∠EFC,

所以∠CFG=∠DGF.

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反思感悟 利用圆内接四边形的性质定理求角 (1)观察图形,找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角; (2)利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求出所要求的角. (3)当题目中出现圆内接四边形时,首先利用性质定理,再结合其 他条件进行推理证明.

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【变式2】 如图所示,在圆内接
四边形ABCD中,AC平分BD, 且AC⊥BD.∠BAD=72°, 求四边形其余的各角. 解 ∵四边形ABCD是圆内接四边形,

∴∠BAD+∠BCD=180°.
又∵∠BAD=72°,∴∠BCD=108°. 又∵AC平分BD,并且AC⊥BD, ∴AC是四边形ABCD外接圆的直径. ∴∠ABC=∠ADC=90°.
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题型三 利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题
【例3】 如图所示,在△ABC中,AD=DB,DF⊥AB交AC于F, AE=EC,EG⊥AC交AB于G.求证: (1)D、E、F、G四点共圆; (2)G、B、C、F四点共圆.

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[思维启迪] (1)要证D、E、F、G四点共圆,只需找到过这四点的

外接圆的圆心,证明圆心到四点的距离相等,可取GF的中点H,
证点H即为圆心. (2) 要证 G 、 B 、 C 、 F 四点共圆,只需证 ∠ B = ∠ AFG( 或 ∠ C = ∠AGF),由D、E为中点,可知DE∥BC,∠B=∠ADE,故只需 证∠ADE=∠AFG,由D、E、F、G四点共圆可得.

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证明 (1)如图,连接GF,取GF的中点H.
∵DF⊥AB,EG⊥AC,∴△DGF,△EGF都是直角三角形.又∵ 点H是GF的中点,∴点H到D、E、F、G的距离相等,∴点H是过 D、E、F、G的外接圆的圆心,∴D、E、F、G四点共圆. (2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆.

由四点共圆的性质定理的推论,得∠ADE=∠AFG.
∵AD = DB , AE = EC , ∴ D 是 AB 的 中 点 , E 是 AC 的 中 点 , ∴DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∴∠AFG=∠B, ∴G、B、C、F四点共圆.

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反思感悟 (1)判断四点共圆的步骤: ①观察几何图形,找到一定点、一对对角或一外角与其内对角;

②判断四点与这一定点的关系;
③判断四边形的一对对角的和是否为180°;

④判断四边形一外角与其内对角是否相等;
⑤下结论. (2)注意事项: 在证明一个命题成立时,要根据命题中的条件和结论画出图形, 并且写出已知和求证.

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【变式3】 已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和点B的圆与 AD、BC分别交于E、F,求证:C、D、E、F四点共圆. 证明 连接EF,因为四边形ABCD为平行四边形, 所以∠B+∠C=180°.

因为四边形ABFE内接于圆,
所以∠B+∠AEF=180°. 所以∠AEF=∠C.所以C、D、E、F四点共圆.

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方法技巧 综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决 问题

【示例1】 已知CF是△ABC的AB边上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC.
求证:A、B、P、Q四点共圆. [思维启迪] 首先,连接PQ,要证A、B、P、Q四点共圆,只要

利用判定定理或推论即可.而由题目中的垂直条件易得 Q、F、 P、C四点共圆,再考虑利用圆内接四边形的性质.

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证明 连接PQ, 在四边形QFPC中, 因为PF⊥BC,FQ⊥AC, 所以∠FQA=∠FPC=90°.

所以Q、F、P、C四点共圆.
所以∠QFC=∠QPC.

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又因为CF⊥AB, 所以∠QFC与∠QFA互余. 而∠A与∠QFA也互余, 所以∠A=∠QFC.

所以∠A=∠QPC.
所以A、B、P、Q四点共圆. 反思感悟 熟练掌握圆内接四边形的判定定理及其推论.

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【示例2】 (2011·辽宁高考) 如图,A, B,C, D 四点在同一圆上, AD 的延长线与 BC 的

延长线交于E点,且EC=ED.
(1)证明:CD∥AB; (2) 延长 CD 到 F ,延长 DC 到 G ,使得 EF = EG,证明:A,B,G,F四点共圆. [思维启迪] 利用圆内接四边形的性质与判

定定理证明.

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证明 (1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因 为 A , B , C , D 四 点 在 同 一 圆 上 , 所 以 ∠ EDC = ∠ EBA. 故 ∠ECD=∠EBA.

所以CD∥AB.
(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG, 故∠EFD=∠EGC,从而∠FED= ∠GEC.连接AF,BG,则△EFA≌△EGB, 故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB,

所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A,B,G,F四点共圆.

反思感悟 本题考查了圆内接四边形的性质与判定定理.
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