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高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 平面向量 2.1 平面向量的线性运算

一、学习任务 理解向量加、减法和数乘运算,理解其几何意义;理解向量共线定理;了解向量的线性运算性质 及其几何意义. 二、知识清单
平面向量的概念与表示 平面向量的加减法 平面向量的数乘与平行

三、知识讲解

1.平面向量的概念与表示 描述: 向量的基本概念 我们把既有方向,又有大小的量叫做向量(vector). 带有方向的线段叫做有向线段.我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为起点、

?→ ? B 为终点的有向线段记做AB ,起点写在终点的前面.

有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

向量可以用有向线段来表示.向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记做 |AB| ,长度为

?→ ?

0 的向量叫做零向量(zero vector),记做 0 ??.零向量的方向不确定.长度等于 1 个单位的向
量,叫做单位向量(unit vector). . a??∥ b ??

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 (parallel vectors),向量 a??、b ?? 平行,通常记做

规定零向量与任一向量平行,即对于任意向量 a ,都有 0 ∥ a . 相等向量与共线向量







??

??

??

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector).向量 a?? 与 b ?? 相等,记做 a??= b ?? .

任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).

例题: 下列四个命题:① 时间、速度、加速度都是向量;② 向量的模是一个正实数;③ 相等向量一定 是平行向量;④ 共线向量一定在同一直线上;⑤ 若 a , b 是单位向量,则 a = b ;⑥ 若 非零向量 AB 与 CD 是共线向量,则四点 A, B, C , D 共线.其中真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 解:B 只有③正确. 下列说法正确的是( ) A.零向量没有大小,没有方向 B.零向量是唯一没有方向的向量 C.零向量的长度为 0 D.任意两个单位向量方向相同 解:C 零向量的长度为 0 ,方向是任意的,故 A,B 错误,C 正确,任意两个单位向量的长度相等,但 方向不一定相同,故 D 错误. 如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心.

?→ ?

?→ ?











(1)与 OA 的模相等的向量有多少个? (2)是否存在与 OA 长度相等、方向相反的向量? (3)与 OA 共线的向量有哪些?

?→ ? ?→ ?

?→ ?

解:(1)因为 OA 的模等于正六边形的边长,而在图中,模等于边长的向量有 12 个,所以共 有 11 个与 OA 的模相等的向量. (2)存在,是 F E . (3)有 F E 、CB 、DO .

?→ ?

?→ ?

? ?→ ?→ ? ?→ ?

?→ ?

2.平面向量的加减法 描述: 向量的加法运算

向量加法的三角形法则

已知非零向量 a 、 b ,在平面内任取一点 A ,作 AB = a ,BC = b ,则向量 AC 叫做





?→ ?



?→ ?



?→ ?

? ?→ ? ?→ ? → → → → → → ?→ a 与 b 的和(或和向量),记作 a + b ,即 a + b = AB + BC = AC .

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

向量加法的平行四边形法则

以同一点 O 为起点的两个已知向量 a 、 b 为邻边作平行四边形 OACB,则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形 法则.









对于零向量和任一向量 a ,我们规定 a + 0 = 0 + a = a .  向量加法的运算律 交换律: a + b = b + a .





















结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) . 向量减法运算













已知向量 a , b (如图),作





→ ?→ ? ?→ ? → OA = a ,作 OB = b ,则 → ?→ ? → b + BA = a ,


向量 BA 叫做向量 a 与 b 的差,并记作 a ? b ,即

?→ ?









?→ ? ? ?→ ? → → ?→ BA = a ? b = OA ? OB. ?→ ?



如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点

?→ ? ?→ ? OA 减去它的始点相对于点 O 的位置向量 OB 或简记“终点向量减去始点向量”. → → → 与 a 方向相反且等长的向量叫做 a 的相反向量,记作 ? a ,任一向量与其相反向量的和是

为终点的向量.由 ② 式还可以推知,一个向量 BA 等于它的终点相对于点 O 的位置向量

零向量,即 a + (? a ) = 0 ,零向量的相反向量仍为零向量.







向量 a 加上 b 的相反向量,叫作 a 与 b 的差,即 a ? b = a + (? b ) .求两个向量 差的运算,叫作向量的减法.作 OA = a ,OB = b ,以 OA ,OB 为邻边作平行四边形

















?→ ?

? → ?→



?→ ? ?→ ?

→ ?→ ? → OACB,连接 BA .观察图形,不难看出,向量 BA 表示向量 a 与 ? b 的和,也就是向量 → → a ? b.

例题: 化简下列各式:

?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ? ? → ?→ ? ? ? → (2)AB + MB + BO + OM . ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? 解:(1)P B + OP + OB = (OP + P B) + OB = OB + OB = 2OB ; ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ? ? → ?→ ? ? ? → ?→ ? ? ? → ? ? → ?→ ? (2)(AB + MB) + BO + OM = (AB + BO) + (OM + MB) = AO + OB = AB .
(1)P B + OP + OB ; 已知下列各式:①AB + BC + CA ;②(AB + MB + BO + OM ;③OA + OC + BO + CO ; ④AB + CA + BD + DC .其中结果为 0 的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 解:B

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ? →

? ? →

?→ ?

? ? →


?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

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?→ ? ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ? ? → ?→ ? ? ? → ?→ ?→ ? (AB + MB + BO + OM = AB ;③OA + OC + BO + CO = BA ;④ → ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? AB + CA + BD + DC = 0 .
化简 (AB ? CD) ? (AC ? BD). 解:

利用向量加法运算律,① AB + BC + CA = AC + CA = 0 ;②

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?



?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? (AB ? CD) ? (AC ? BD = AB ? CD ? AC + BD ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? = (AB ? AC ) ? DC + BD ?→ ? ?→ ? ?→ ? = CB + BD ? CD → = 0
给出下列运算: ① AB ? AC + BC = 0 ;② AB ? CB + CA = 0 ;③ AB ? (AC ? BD) ? CE = ED; ④ (AB ? CD) ? (AC ? BC ) = CD. 其中所有正确的序号是______ 解:①②③

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?



?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?



?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?



①AB ? AC + BC = CB + BC = 0 ,所以 ① 正确;

?→ ? ?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ? →

?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? AB ? (AC ? BD) ? CE = AB ? AC + BD ? CE = CB + BD ? CE = CD ? CE = ED ,
所以 ③ 正确; ④(AB ? CD) ? (AC ? BC ) = (AB + BC ) ? (AC + CD) = AC ? AD = DC ≠ CD,所以 ④ 不正确.

②AB ? CB + CA = CA + AB ? CB = CB ? CB = 0 ,所以 ② 正确; ③

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?



?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

3.平面向量的数乘与平行 描述: 向量的数乘

一般地,我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的 数乘 (multiplication of vector by scalar),记作 λ a ,它的长度规定如下:





∣λ→∣ = |λ| ∣→∣ ∣ ∣ ∣ a∣ ∣ ∣a ∣ ∣

当 λ > 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ < 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反; 当 λ = 0 时,λ a = 0 .

→ →









→ → → → λ a 中的实数 λ ,叫做向量 a 的系数.数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向 → 或 a 的反方向放大或缩小.
数乘运算规律 设 λ,μ 为实数,那么

→ → λ(μ a ) = (λμ) a ; → → → (λ + μ) a = λ a + μ a ; → → → → λ( a + b ) = λ a + λ b . → → → → → → → 特别地,(?λ) a = ?(λ a ) = λ(? a ),λ( a ? b ) = λ a ? λ b .
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算. 平行向量基本定理 如果 a = λ b ,则 a ∥ b ;反之,如果 a ∥ b ,且 b ≠ 0 ,则一定存在唯一一个实数 λ, 使 a =λb . 例题: 化简下列各式: (1)





















(2)(λ ? μ) ( a + b ) ? (λ + μ) ( a ? b ).

→ → 2 → 1→ 1 → [(4 a ? 3 b ) + b ? (6 a ? 7 b )]; 3 3 4 → → → →

解:(1)

原式 =

→ 1→ 3→ 7→ 2 → (4 a ? 3 b + b ? a + b) 3 3 2 4

= =

2 5 → 11 → ( a ? b) 3 2 12 5 → 11 → = a ? b 3 18
(2)

2 3 → 1 7 → [(4 ? ) a + (?3 + + ) b ] 3 2 3 4

原式 = (λ ? μ) a + (λ ? μ) b ? (λ + μ) a + (λ + μ) b









→ → = [(λ ? μ) ? (λ + μ)] a + [(λ ? μ) + (λ + μ)] b → → = ?2μ a + 2λ b .

关于向量 a , b ,有

→ → →



① a = 2 e , b = ?2 e ;

→ → →





② a = e1 ? e2 , b = ?2e1 + 2e2 ; ③ a = 4e1 ?











2→ → → 1 → e2 , b = e1 ? e ; 5 10 2 → → → → → → →→ ④ a = e1 + e2 , b = ?2e1 + 2e2 ;(其中 e1 , e2 不共线) → → 其中 a , b 共线的有______(填上所有正确的序号).
解:①②③ ① 中 a = ? b ,所以 a ∥ b ; ② 中 b = ?2 a ,所以 a ∥ b ; ③ 中 a = 4(e1 ?

→ →













→ 1 → → → e2 ) = 4 b ,所以 a ∥ b ; 10 → → → → ④ 中不存在非零实数 λ,使 a = λ b ,所以 a 与 b 不共线. → →
设两个非零向量 a , b 不共线.





(1)若 AB = a + b ,BC = 2 a + 8 b ,CD = 3( a ? b ) ,求证:A、B、D 三点共线;

?→ ?





?→ ? →





?→ ? →





→ ?→ ?→ ? ? ? → → ?→ → → → (1)证明:因为 AB = a + b ,BC = 2 a + 8 b ,CD = 3( a ? b ) ,所以 → ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? → AD = AB + BC + CD = 6 a + 6 b = 6AB ,所以 AB 与 AD 共线,且有公共起点 A ,所 以 A、B、D 三点共线. → → → → (2)解:因为 k a + b 与 a + k b 共线,所以存在实数 λ 使得 → → → → → → → → k a + b = λ( a + k b ) ,即 (k ? λ) a = (λk ? 1) b ,因为 a , b 是不共线的非零向量, 所以 k ? λ = 0,λk ? 1 = 0,所以 k = ±1 .

(2)试确定实数 k ,使 k a + b



与 a +k b



共线.

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 下列命题:(1 )时间、速度、加速度都是向量;(2 )向量的模是一个非负实数;(3 )所有的单位向 量都相等;(4 )共线向量一定在同一条直线上.其中真命题的个数为 ( A.0 个
答案: B

)
D.3 个.

B.1 个

C.2 个

2. 设 D, E, F 分别为 △ABC 的三边 BC , CA, AB 的中点,则 EB + F C = ( A.BC
解析:

?→ ?

?→ ?

?→ ?

B.

答案: C

? 1 ?→ AD 2

C.AD

?→ ?

D.

? 1 ?→ BC 2

)

?→ ? ?→ ? ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? 1 ?→ (AB + AC ) . EB + F C = EC + F B = 2 → → → → → → → → → → )

3. 已知向量 a , b 不共线, c = k a + b (k ∈ R), d = a ? b ,如果 c ∥ d ,那么 ( A.k = 1 且 c 与 d 同向 C.k = ?1 且 c 与 d 同向
答案: D 解析:









B.k = 1 且 c 与 d 反向 D.k = ?1 且 c 与 d 反向









当 k = ?1 , c = ? d .





4. 已知平面内有一点 P 及一个 △ABC ,若 P A + P B + P C = AB ,则 ( A.点 P 在 △ABC 外部 C.点 P 在线段 BC 上
答案: D 解析:

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

)

B.点 P 在线段 AB 上 D.点 P 在线段 AC 上

?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ∵ P A + P B + P C = AB , ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ∴ P A + P B + P C ? AB = 0 ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? 即 P A + P B + BA + P C = 0 , ?→ ? ?→ ? ?→ ? ∴ P A + P A + P C = 0, ?→ ? ?→ ? 2P A = CP ,∴ 点 P 在线段 AC 上.

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