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第1节 函数的概念及其表示


玉山二中 2016 届高三数学第一轮复习讲义 数
高二数学备课组 叶如飞

专题 2:函数概念与基本初等函
2015.05.15

第 1 节 函数的概念及其表示

1.函数映射的概念 函数 两集合 A,B 对应 关系 f:A→B 名称 记法 设 A,B 是两个非空数集 如果按照某个对应关系 f, 对

于集合 A 中的任何一个数 x, 在集合 B 中都 存在唯一确定的数 f(x)与之对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数 y=f(x),x∈A 映射 设 A,B 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 称对应 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射 对应 f:A→B 是一个映射

2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两 函数相等的依据. (4)函数的表示法:表示函数的常用方法有:解析法、图像法、列表法. 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

1.解决函数的一些问题时,易忽视“定义域优先”的原则. 2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从 A 到 B 的 一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不是函数. 3.误把分段函数理解为几种函数组成.

[试一试] 1.函数 y= x ln(1-x)的定义域为( B ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

1 ,则 f(x)的定义域为( A ) 1 log2?2x+1? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? A.?-2,0? B.?-2,0? C.?-2,+∞? D.(0,+∞) ? ? ? ? ? ? 3.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域, 以 N={y|0≤y≤1}为值域的 函数的图象是( B ) 2.若 f(x)=

A.

B.

C.
B ) D.0

D.

2 ? ?x +1,x≤1, 4.若函数 f(x)=? 则 f(f(10))=( ?lg x,x>1, ?

A.lg 101

B.2

C.1

? ?2x+3(x≤0), 5.已知函数 f(x)=? 则 f(2)=( B ) ?f(x-1)-f(x-2)(x>0), ? A.1 B.2 C.0 D.-1 2 ?(x+1) ,x<1, 6.设函数 f(x)=? 则使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围为( D ?4- x-1,x≥1, A.(-∞,-2]∪[0,10] B.(-∞,-2]∪[0,1] C.(-∞,-2]∪[1,10] D.(-2,0]∪[1,10]

)

求函数解析式的四种常用方法 (1)配凑法: 由已知条件 f(g(x))=F(x), 可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式, 然后以 x 替代 g(x), 便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 1? (4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f? ?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个 等式组成方程组,通过解方程求出 f(x). [练一练] 1.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于( D ) A.-2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7

2.若 f(2x+1)=x +1,则 f(0)的值为______ 2 3. 已知 f( -1)=2x,则 f(x)=________. x

2

5 ____. 4

考点一

函数与映射的概念 ) B.y= x-1与 y= x-1 x-1 x 100

1.下列四组函数中,表示同一函数的是( D A.y=x-1 与 y= ?x-1?2 C.y=4lg x 与 y=2lg x2

D.y=lg x-2 与 y=lg

2.以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什么? x (1)f1:y= ;f2:y=1. 不同 x 1,x≤1, ? ? (2)f1:y=?2,1<x<2, ? ?3,x≥2; f2: x y x≤1 1

相同

1<x<2 2

x≥2 3

(3)f1:y=2x;f2:如图所示.相同 变式训练: 1.下列各组函数中,表示同一个函数的是( D ) x2-1 1 A.y= 与 y=x+1 B.y=lg x 与 y= lg x2 2 x-1 2 C.y= x -1 与 y=x-1 D.y=x 与 y=logaax(a>0 且 a≠1)

2. 以下四组函数中,表示相等函数的是( A ) A.f(x)=|x|,g(x)= x2 B.f(x)= x2,g(x)=( x)2 x2-4 C.f(x)= ,g(x)=x+2 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1 x-2
[类题通法]:两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有 当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上 用 x 表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1 均表示同 一函数. 考点二 求函数的解析式

[典例]:(1)已知 f(x+1)=x +4x+1,求 f(x)的解析式. 1? 2 1 (2)已知 f? ?x+x?=x +x2,求 f(x)的解析式; 2 ? (3)已知 f? ?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式; (4)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).

2

?1? (5)已知 f(x)满足 2f(x)+f? x?=3x,求 f(x). ? ?
[解] (1)方法一:(换元法)设 x+1=t,则 x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1, 即 f(t)=t2+2t-2. ∴所求函数为 f(x)=x2+2x-2. 方法二:(配凑法)f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+2(x+1)-2 ∴所求函数为 f(x)=x2+2x-2. 1? 2 1 ? 1?2 (2)由于 f? ?x+x?=x +x2=?x+x? -2, 所以 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2). 2 2 2 (3)令 +1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , x t-1 t-1 又 x>0,所以 t>1, 2 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg (x>1). x-1 (4)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=0,知 c=0,f(x)=ax2+bx, 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
?2a+b=b+1, ? 1 所以? 解得 a=b= . 2 ? ?a+b=1,

1 1 所以 f(x)= x2+ x(x∈R). 2 2

1? (5) 2f(x)+f? ?x?=3x①

1? 1 3 将①中 x 换成 ,得 2f? ?x?+f(x)=x ② x 3 1 ①×2-②得 3f(x)=6x- . 所以 f(x)=2x- . x x [类题通法]:求函数解析式常用的方法 (1)待定系数法;(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围); (3)配凑法;(4)解方程组法.(5)赋值法 [针对训练]:1.已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式. 1.已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式.

解:法一:设 t= x+1, 则 x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故 f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1). 2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的解析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c.

又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴Δ=4-4c=0,c=1,故 f(x)=x2+2x+1.

1 ? 1? 3.已知 f?x+x?=x3+x3,求 f(x)的解析式. ; ? ? 1? 3 1 ? 1?3 ? 1? 解:(1)∵f? ?x+x?=x +x3=?x+x? -3?x+x?,
∴f(x)=x3-3x. 1 又当 x>0 时,x+ ≥2; x 1 当 x<0 时,x+ ≤-2, x 故 f(x)=x3-3x(x≤-2 或 x≥2)



4.已知等式 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对一切实数 x、 y 都成立, 且 f(0)=1, 求 f(x)
的解析式. 解:令 x=0,则已知等式化为 f(-y)=f(0)-y(0-y+1). 即 f(-y)=y2-y+1,令 x=-y,则 f(x)=x2+x+1. 故 f(x)=x2+x+1(x∈R). 1? 5.?创新题?具有性质:f? ?x?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: x,0<x<1, ? ? 1 1 0,x=1, ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x 1 ? ?-x,x>1. A.①② B.①③

其中满足“倒负”变换的函数是( B

)

C.②③

D.①

x2-1 6. ?创新题?若函数 f(x)= 2 ,则 x +1

f?2? (1) =________. 1? f? ?2?

1? ?1? ? 1 ? (2)f(3)+f(4)+?+f(2 012)+f? ?3?+f?4?+?+f?2 012?=________.

1? x2-1 1-x2 f?x? f?2? 解析:(1)∵f(x)+f? 1),∴ =-1. ?x?=x2+1+1+x2=0,∴ ?1?=-1(x≠± 1? ? f? x ? f?2? 1? 1? 1 ? 1? (2)又 f(3)+f? f(4)+f? ?f(2 012)+f? ∴f(3)+f(4)+?+f(2 012)+f? ?3?=0, ?4?=0, ?2 012?=0, ?3? 1 ? +?+f? ?2 012?=0. 考点三 函数的定义域问题

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合,它是函数不可缺少的组成部分.归 纳起来常见的命题角度有: ?1?求给定函数解析式的定义域;?2?抽象函数定义域的求法;?3?已知定义域确定参数问题. 角度一:求给定函数解析式的定义域 1.(1)函数 f(x)= A.(-3,0] (2)函数 f(x)= 1-2x+ 1 的定义域为( A ) x+3 C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

B.(-3,1]

ln?2+x-x2? 的定义域为( C ) |x|-x A.(-1,2) B.(-1,0)∪(0,2) C.(-1,0) D.(0,2) 1 2 ? (3)函数 y=ln? ?1+x?+ 1-x 的定义域为___(0,1]_____.
变式训练: lg(x+1) 1.函数 y= 的定义域是( C ) x-1 A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) x2 2.函数 y= +lg(2x+1)的定义域是( B ) 2-x 1 1 1 1 1 A.(- ,+∞) B.(- ,2 ) C.(- , ) D.(-∞,- ) 2 2 2 2 2 角度二:抽象函数定义域的求法

(1) 若已知函数 f(x) 的定义域为 [a , b] ,则复合函数 f[g(x)] 的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出. (2)若已知函数 f[g(x)]的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的 值域. 1.若函数 f(x+1)的定义域为[0,1],求函数 f(2x-2)的定义域.
解析:∵f(x+1)的定义域为[0,1], ∴0≤x≤1,∴1≤x+1≤2. ∴1≤2x-2≤2,∴3≤2x≤4. ∴log23≤x≤2. ∴f(2x-2)的定义域为[log23,2]. 2.已知函数 f(x)的定义域是[-1,1],求 f(log2x)的定义域.

1 ? 1 解: ∵函数 f(x)的定义域是[-1,1], ∴-1≤log2x≤1, ∴ ≤x≤2.故 f(log2x)的定义域为? ?2,2? 2 变式训练: 1.已知函数 f(2 )的定义域为[-1,1],求函数 f(log2x)的定义域. 1 解析:∵函数 f(2x)的定义域为[-1,1],∴-1≤x≤1, ≤2x≤2. 2 1 1 ? ∴函数 f(x)的定义域为? ?2,2?. 由2≤log2x≤2,得 2≤x≤4. 故函数 f(log2x)的定义域为[ 2,4]. 2. 已知 f(x+1)= 1-x2,则 f(2x-1)的定义域为( D ) 1 ? 1 3? 3? 1 3? A.? B.? C.? D.? ?2,1? ?2,2? ?1,2? ?2,2? 角度三:已知定义域确定参数问题 1.若函数 f(x)= 2x +2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为___[-1,0]_____.
2

x

变式训练:函数 f(x)= (1-a2)x2+3(1-a)x+6. (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的定义域为[-2,1],求 实数 a 的值. 5 ? (1)? (2)a=2 ?-11,1? [类题通法]:简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],则函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出; 若 已知函数 f[g(x)]的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值域. 考点四 [典例]:求下列函数的值域: 函数的值域问题

(1)y=

2x+1 ;(2)y=x- 1-2x;(3)y=|x 1-x2|. x-3

2x-6+7 7 解析:(1)将原函数变形为 y= =2+ . x-3 x-3 7 ∵x≠3,∴ ≠0. x-3 ∴y≠2,即函数值域为{y|y∈R,且 y≠2}. 1-t2 (2)方法一:设 1-2x=t(t≥0),得 x= , 2 1-t2 1 1 ∴y= -t=- (t+1)2+1≤ (t≥0), 2 2 2 1 ? ∴y∈? ?-∞,2?. 方法二:∵1-2x≥0, 1? 1 ∴x≤ ,∴定义域为? ?-∞,2?. 2 1? ∵函数 y=x,y=- 1-2x在? ?-∞,2?上均为单调递增,

1 ∴y≤ - 2

1 1 1-2× = , 2 2 1? ∴y∈? ?-∞,2?. (3)方法一:∵函数为偶函数,且定义域为[-1,1]. π? 1 ∴当 x∈[0,1]时,y=x 1-x2,令 x=sinα,α∈? ?0,2?,则 y=sinαcosα=2sin2α. 1? ∵2α∈[0,π],∴sin2α∈[0,1],∴y∈? ?0,2?.∴ymin=0(x=0,x=1 时取到), 1 1 2 0, ?. ymax= ?x= 时?,故值域为? 2? ? 2? 2 ? 方法二:配方法:x∈[0,1]时, 2 1?2 1 ? 1? y=x 1-x2= x2?1-x2?= -x4+x2= -? ?x -2? +4∈?0,2?; 若用基本不等式:x∈[0,1]时, x2+?1-x2? 1 2 2 y= x ?1-x ?≤ = . 2 2 1 2 “=”当且仅当 x2=1-x2,即 x2= ,x= 时取到, 2 2 1? 1 故 ymax= ,在[0,1]上,x=0 或 x=1 时,ymin=0.故值域为? ?0,2?. 2

变式训练:1.求下列函数的值域: x2-x 2 (1)y=-x +2x(x∈[0,3]);(2)y= 2 ;(3)y=x+ 1-x2. x -x+1
解析:(1)∵y=-(x-1)2+1,根据二次函数的性质,可得原函数的值域是[-3,1]. x2-x 1 (2)y= 2 =1- 2 , x -x+1 x -x+1 1?2 3 3 ∵x2-x+1=? ?x-2? +4≥4, 1 1 1 ∴- ≤1- 2 <1,即- ≤y<1. 3 3 x -x+1 1 ? 故值域为? ?-3,1?. (3)先考虑函数定义域,由 1-x2≥0,得-1≤x≤1,设 x=cosθ(θ∈[0,π]),则 y=sinθ π π θ+ ?,易知当 θ= 时,y 最大值为 2, +cosθ= 2sin? ? 4? 4 当 θ=π 时,y 最小值为-1,∴原函数的值域是[-1, 2]. 2x-3 2.函数 y= 的值域是( B ) 2x+3 A.(-∞,-1)∪(-1,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 3.已知 f(x+1)= 1-x2,则 f(2x-1)的定义域为( D ) 1 ? 1 3? 3? 1 3? A.? B.? C.? D.? ?2,1? ?2,2? ?1,2? ?2,2? ?x2,|x|≥1, ? 4.设 f(x)=? 若函数 f[g(x)]的值域是[0,+∞),则函数 y=g(x)的值域是( B ) ? ?x,|x|<1, A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞) 5.函数 f(x)=1+log3x 的定义域是(1,9],则函数 g(x)=f2(x)+f(x2)的值域是( C ) A.(2,14] B.[-2,+∞) C.(2,7] D.[2,7]

3 4? ?7 7? 6. 已知函数 f(x)的值域是? ?8,9?,则函数 y=f(x)+ 1-2f(x)的值域是___?9,8?_____. [类题通法]:求函数值域的常用方法

(1)配方法:若函数为一元二次函数,常采用配方法求函数的值域,其关键在于 正确化成完全平方式. (2)换元法:常用代数或三角代换法,把所给函数代换成值域容易确定的另一函 数,从而求得原函数的值域.形如 y=ax+b± cx-d(a,b,c,d 均为常数且 a, c≠0)的函数常用此法求解.注意换元的等价性. (3)不等式法:借助于基本不等式 a+b≥2 ab(a>0,b>0)求函数的值域.用不 等式法求值域时,要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”. (4)单调性法:首先确定函数的定义域,然后再根据其单调性求函数的值域,常 用到函数 y=x+ (p>0)的单调性:增区间为(-∞,- p]和[ p,+∞),减 区间为(- p,0)和(0, p);(5)分离常数法;(6)有界函数法;(7)导数法.
考点五 分段函数 )

p x

? ?lg x,x>0, [典例]:(1)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值为( D ?x+3,x≤0. ?

A.-3

B.-1 或 3
3

C.1

D.-3 或 1

2x ,x<0, ? ? π?? (2)已知函数 f(x)=? 则 f? f? π 4??=___-2___. ? ? ?-tan x,0≤x<2, ?
2 ?x +1,x≥0, (3)已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取 ?1,x<0, 值范围是__(-1, 2-1)______. x ?2 ,x>0, (4)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( A ) ?x+1,x≤0. A.-3 B.-1 C.1 D.3 2 ? ? ,x≥2, (5)已知函数 f(x)=?x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根, 3 ? ??x-1? ,x<2 则实数 k 的取值范围是__(0,1)________.

[类题通法]:分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 的自变量的取值范围. 提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.

[针对训练]
2 ?x +6x+a,x<0, 1.已知函数 f(x)=? x 若 f(0)+f(-1)=3,则实数 a 的值等于 ?10 ,x≥0, (A ) 29 A.7 B.9 C.10 D.8 x2+1,x≤1, ? ? 2.设函数 f(x)=?2 则 f[f(3)]=( D ) , x > 1 , ? ?x 1 2 13 A.5 B.3 C.3 D. 9 x+2(x≤-1), ? ?2 3.已知 f(x)=?x (-1<x<2), 若 f(x)=3,则 x 的值是( D ) ? ?2x(x≥2).

3 3 B.1 或 C.1, 或± 3 2 2 3 ?x ,0≤x<5 ? 4. 设函数 f(x)=? ,那么 f(2 013)=( A ) ? ?f?x-5?,x≥5 A.1 A.27 B.9 C .3

D. 3

D.1

? tx,x<2, ?2· ? 5.设 f(x)= 且 f(2)=1,则 f[f( 5)]的值为___8_____. 2 ? ?logt(x -1),x≥2,

1 ? ?(2)x-2,x≤0, 6.已知函数 f(x)=? 则 f(2010)=__1004______. ?f(x-2)+1,x>0, ? 7.设函数 f(x)=? ∞)__.
2 ? ?x +2ax,x≥2, ? 8.已知函数 f(x)= x 若 f(f(1))>3a2,则 a 的取值范围是__ (-1,3)___. ?2 +1,x<2, ?

?2 x,x∈?-∞,1?,


?x ,x∈[1,+∞?,

2

若 f(x)>4,则 x 的取值范围是__(-∞,-2)∪(2,+

函数定义域、 值域的综合应用 2 [典例]:已知二次函数 f(x)=ax +bx(a、b 是常数,且 a≠0)满足条件:f(2)=0, 且方程 f(x)=x 有两个相等实根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m<n),使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]? 如存在,求出 m、n 的值;如不存在,说明理由.
解析:(1)方程 f(x)=x,即 ax2+bx=x, 亦即 ax2+(b-1)x=0, 由方程有两个相等的实根,得 Δ=(b-1)2-4a×0=0, ∴b=1. 由 f(2)=0,得 4a+2b=0, 1 1 由①、②得,a=- ,b=1,故 f(x)=- x2+x. 2 2 (2)假设存在实数 m、n 满足条件,由(1)知,

考点六

1 1 1 1 f(x)=- x2+x=- (x-1)2+ ≤ , 2 2 2 2 1 1 则 2n≤ ,即 n≤ . 2 4 1 1 ∵f(x)=- (x-1)2+ 的对称轴为 x=1, 2 2 1 ∴当 n≤ 时,f(x)在[m,n]上为增函数. 4 1 2 ? ?-2m +m=2m, ?f?m?=2m, 于是有? 即? 1 2 ?f?n?=2n ? ?-2n +n=2n, ?m=-2或m=0, ?m=-2, 1 ∴? 又 m<n≤ ,∴? 4 ?n=-2或n=0. ?n=0. 故存在实数 m=-2,n=0, 使 f(x)的定义域为[m,n],值域为[2m,2n].

[类题通法]①对既给出定义域又给出解析式的函数, 可直接在定义域上用相应方法

求函数值域.②若函数解析式中含有参数,要注意参数对函数值域的影响,即要 考虑分类讨论.③可借助函数图象确定函数的值域或最值. 变式训练:已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x+x2. (1)求 x<0 时,f(x)的解析式; (2)问是否存在这样的非负数 a,b,当 x∈[a,b]时,f(x)的值域为[4a-2,6b-6]? 若存在,求出所有 a,b 的值;若不存在,请说明理由.
解析:(1)设 x<0,则-x>0,于是 f(-x)=-x+x2, 又 f(x)为奇函数,即 x<0 时,f(x)=x-x2. (2)假设存在这样的数 a,b. ∵a≥0,且 f(x)=x+x2 在 x≥0 时为增函数, ∴x∈[a,b]时,f(x)∈[f(a),f(b)]=[4a-2,6b-6], ?6b-6=f?b?=b2+b, ?b2-5b+6=0, ? ? ? 2 ∴? ? ? 2 ? ? ?4a-2=f?a?=a +a ?a -3a+2=0
? ? ? ? ?b=2或b=3, ?a=1, ?a=1, ?a=2, ? 即? 或? 或? ?a=1或a=2, ? ?b=3, ?b=2, ? ?b=2, ? ? ?a=2, ? 或? 考虑到 0≤a<b,且 4a-2<6b-6, ? ?b=3, ?a=1, ?a=1, ?a=2, ? ? ? 可得符合条件的 a,b 值分别为? 或? 或? ?b=2, ? ?b=3. ? ?b=3, ?

2.1 函数及其表示

一、选择题 1.设集合 M={x|-2≤x ≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四 个图形,其中能表示以集合 M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( )
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D. 1 2.已知 f:x→-sinx 是集合 A(A?[0,2π])到集合 B={0, }的一个映射,则集合 A 中的元素 2 个数最多有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 ? ?1?-1<x<0?, 3.已知 f(x+1)=-f(x),且 f(x)=? 则 f(3)=( ) ?0?0≤x≤1?, ? A.-1 B.0 C.1 D.1 或 0 4.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( ) A.x-1 B.x+1 C.2x+1 D.3x+3 5.图中的图象所表示的函数的解析式为( ) 3 A.y= |x-1| (0≤x≤2) 2 3 3 B.y= - |x-1| (0≤x≤2) 2 2 3 C.y= -| x-1| (0≤x≤2) 2 D.y=1-|x-1| (0≤x≤2) 6.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表. 那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关 系用 取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( ) x + 3 x + 4 x+5 x A.y=[ ] B.y=[ ] C.y=[ ] D.y=[ ] 10 10 10 10 二、填空题 1 1 x- ?=x2+ 2,则函数 f(3)=________. 7.已知 f? x ? ? x ? lg x , x > 0 , ? 8.设 f(x)=? x 则 f[f(-2)]=__________. ?10 ,x≤0, ?
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A.

B.

C.

? ? x,x≥0, 9.设函数 f(x)=??1?x 则 f[f(-4)]=________. , x < 0 , ? ??2?

三、解答题 10.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式;(2)解不等式 f(x)>2x+5.

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11.函数 f(x)对一切函数 x、y 均有 f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且 f(1)=0, (1)求 f(0)的值;(2)试确定函数 f(x)的解析式.

cx+1, ?0<x<c? ? ? 9 12.已知函数 f(x)=? )满足 f(c2)= . x 8 ?2-c2+1, ?c≤x<1? ? (1)求常数 c 的值;(2)解不等式 f(x)> 2 +1. 8

2.2 函数的定义 域和值域

一、选择题 1.函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为( ) A.(0,8] B.(2,8] C.(-2,8]

D.[8,+∞)

2. 若函数 y=f(x)的定义域为[0,2],则函数 g(x)= A.[0,1]

B.[0,1) 2+x ? x? ?2? 3.设 f(x)=lg ,则 f?2?+f?x?的定义域为( ) ? ? ? ? 2-x A.(-4,0)∪(0,4) B.(-4, -1)∪(1,4) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4) 4.函数 y=log2x+logx(2x)的值域为( ) A.(-∞,-1] B.[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 1 ?1 ? 5.若函数 f(x)的值域是?2,3?,则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( ) ? ? f?x? 10? 10? 5? ?5 10? ? ? ? A.?2, 3 ? B.?0, 3 ? C.?2, 3 ? D.?2,2? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?x ,|x|≥1, 6.设 f(x)=? g(x)是二次函数,若 f[g(x)]的值域是[0,+∞),则 g(x) ?x,|x|<1, 的值域是( ) A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞) 二、填空题 7.已知函数 f(x)=ln(mx2-4mx+m+3)的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是 __________. ?4? 8.已知函数 f(x)= x-1,则函数 y=f[f(x)]+f? x?的定义域是__________. ? ? ?x,x<0, 1 9.已知 f(x)=2(x+|x|),g(x)=? 2 函数 f[g(x)]=__________,值域为 ?x ,x≥0,
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f?2x? 的定义域是( x-1 C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

)

__________. 三、解答题 10.设函数 f(x)=ln(x2+ax+1)的定义域为 A. (1)若 1∈A,-3?A,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 y=f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

11.设 f(x)= ax2+bx,求满足下列条件的实数 a 的值:至少有一个正实数 b, 使函数 f(x)的定义域和值域相同.

12.已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 f(a)=2-a|a+3|的值域.


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