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天津市2013届高三数学总复习 综合专题 概率论与数理统计 理 (学生版)


概率论与数理统计(理)
考查内容:本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、二项分布、随机事件、 互斥事件、相互独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和数学期 望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力。 1、在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中,只有一个是正确的。若对 4 道选择题中的每一道都任意选定 一个答案,求这 4 道题中: (1)恰有两道题答对的概率

; (2)至少答对一道题的概率。

2、为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳。各株 沙柳的成活与否是相互独立的, 成活率为 P , ? 为成活沙柳的株数, 设 数学期望 E? 为 3, 标准差 ?? 为 (1)求 n, P 的值,并写出 ? 的分布列; (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率。

6 。 2

3、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A, B, C , D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者。 (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

4、一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再 放回。 (1)连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率;
-1-

(2)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率。

5、在某次普通话测试中,为测试字发音水平,设置了 10 张卡片,每张卡片上印有一个汉字的拼音,其中 恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“ g ” 。 (1)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这 10 张卡片中随机抽取 1 张,测试后放回,余 下 2 位的测试,也按同样的方法进行,求这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“ g ”的概率; (2)若某位被测试者从这 10 张卡片中一次随机抽取 3 张,求这 3 张卡片上,拼音带有后鼻音“ g ”的卡 片不少于 2 张的概率。

6、某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试。已知每 个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试,科目 A 每次考 试成绩合格的概率均为

2 1 , 科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 。 设各次考试成绩合格与否均互不影响。 3 2

(1)求他不需要补考就可获得证书的概率; (2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的数学期望 E? 。

7、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约。乙、 丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 合格互不影响。求: (1)至少有 1 人面试合格的概率; (2)签约人数 ? 的分布列和数学期望。

1 ,且面试是否 2

8、已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即
-2-

为患病动物,呈阴性即没患病。下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止。 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然 后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验。 (1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (2) ? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望。

9、购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,如果投保人在购买保险的一年度内出险, 那么可以获得 10000 元的赔偿金。假定在一年度内有 10000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互 独立。已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为 1 ? 0.999 (1)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元,为保证盈利的期望不小于 0,求每位投 保人应交纳的最低保费。 (单位:元) 10、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品的概率为 0.6 ,且购买甲种商品 与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。 (1)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (3)记 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求 ? 的分布列及期望。
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11、甲乙两个盒子中装有大小相同的小球,甲盒中有 2 个黑球和 2 个红球,乙盒 中有 2 个黑球和 3 个红球,从甲乙两盒中各任取一球交换。 (1)求交换后甲盒中恰有 2 个黑球的概率; (2)设交换后甲盒中黑球的个数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望。
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12、袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

1 ,现有甲、 7

乙两人从袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取,?,取后不放回, 直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球在第一次被取出的机会是等可能 的,用 ? 表示取球终止时所需要的取球次数。求: (1)袋中原有白球的个数; (2)随机变量 ? 的数学期望; (3)甲取到白球的概率。

13、甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有 m 个球,乙袋中共有 2 m 个球,从甲袋 中摸出 1 个球为红球的概率为

2 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P2 。 5

(1)若 m ? 10 ,求甲袋中红球的个数; (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率是 的值; (3)设 P ? 2

1 ,求 P2 3

1 ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出 1 个球,并且 5

从甲袋中摸 1 次,从乙袋中摸 2 次。设 ? 表示摸出红球的总次数,求 ? 的分布列和数学期望。

14、甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分,答错得零分。 假设甲队中每人答对的概率均为

2 2 2 1 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , ,且各人回答正确与否相互之 3 3 3 2

间没有影响。用 ? 表示甲队的总得分。
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(1)求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (2)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一事件,求 P( AB ) 。

15、随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件。已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元。 设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? 。 (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70 % 。如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

16、在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一巨大汽油罐。已知只有 5 发子弹备 用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射击命中率都是 立。 (1)求油罐被引爆的概率; (2)如果引爆或子弹用尽则停止射击,设射击次数为 ? ,求 ? 的分布列及其数学期望。

2 ,每次命中与否互相独 3

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17、学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖。 (每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中, ①摸出 3 个白球的概率; ②获奖的概率; (2)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) 。

18、某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击结果互不影响。 3

(1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率; (3)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分。在 3 次射击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分。记 ? 为射手射击 3 次后 的总的分数,求 ? 的分布列。

19、在 10 件产品中,有 3 件一等品,4 件二等品,3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件,求: (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

20、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 概率为

1 与 p ,且乙投球 2 次均未命中的 2

1 。 16
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(1)求乙投球的命中率 p ; (2)若甲投球 1 次,乙投球 2 次,两人共命中的次数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

21、已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球。现从甲、 乙两个盒内各任取 2 个球。 (1)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (2)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (3)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望。

22、某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为

3 ,且各次射击的结果互不影响。 5

(1)求射手在 3 次射击中,至少有两次连续击中目标的概率; (2)求射手第 3 次击中目标时,恰好射击了 4 次的概率; (3)设随机变量 ? 表示射手第 3 次击中目标时已射击的次数,求 ? 的分布列。

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