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福建省泉州市南安一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


福建省泉州市南安一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1. (5 分)已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则直线 AB 的斜率为() A.3 B.﹣2 C.2 D.不存在 2. (5 分)圆 x +y ﹣2x=0 和 x +y

+4y=0 的位置关系是() A.相离 B.外切 C.相交
2 2 2 2

D.内切

3. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是() A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 4. (5 分)如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为其上的三个点,则在正 方体盒子中,∠ABC 等于()

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

5. (5 分)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是()

A.2

B.

C.

D.3

6. (5 分)已知 a、b 是两条异面直线,c∥a,那么 c 与 b 的位置关系() A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 直

D.不可能垂

7. (5 分)自点 A(3,5)作圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =1 的切线,则切线的方程为() A.3x+4y﹣29=0 B. 3x﹣4y+11=0 C. x=3 或 3x﹣4y+11=0 D.y=3 或 3x﹣4y+11=0 8. (5 分)如图中 O′A′B′C′为四边形 OABC 的斜二测直观图,则原平面图形 OABC 是()

2

2

A.直角梯形 C. 非直角且非等腰的梯形

B. 等腰梯形 D.不可能是梯形

9. (5 分)k 是直线 l 的斜率,θ 是直线 l 的倾斜角,若 30°<θ<90°,则 k 的取值范围是() A.0<k< B. <k<1 C.k> D.k<

10. (5 分)两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,﹣1) ,两圆的圆心均在直线 x﹣y+c=0 上,则 m+c 的值为() A.﹣1 B .2 C.3 D.0 11. (5 分)在体积为 15 的斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,S 是 C1C 上的一点,S﹣ABC 的体积 为 3,则三棱锥 S﹣A1B1C1 的体积为()

A.1

B.

C.2

D.3

12. (5 分)若动点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移 2 2 动,点 N 在圆 C:x +y =8 上移动,则 AB 中点 M 到点 N 距离|MN|的最小值为() A. B. C. D.

二.填空题:本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分. 13. (4 分)在空间直角坐标系 o﹣xyz 中,已知点 A(1,﹣2,1) ,B(2,1,3) ,点 P 在 z 轴上,且|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为. 14. ( 4 分)已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是.

15. (4 分)过点(3,1)作圆(x﹣2) +(y﹣2) =4 的弦,其中最短的弦长为. 16. (4 分)如图,三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 中点,则下列命题中: ①CC1 与 B1E 是异面直线; ②AC⊥底面 A1B1BA; ③二面角 A﹣B1E﹣B 为钝角; ④A1C∥平面 AB1E. 其中正确命题的序号为. (写出所有正确命题的序号)

2

2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)求经过直线 l1:3x+4y﹣5=0 与直线 l2:2x﹣3y+8=0 的交点 M,且满足下列条件 的直线方程 (1)与直线 2x+y+5=0 平行; (2)与直线 2x+y+5=0 垂直. 18. (12 分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S﹣ABCD 中,∠ABC=90°,SA⊥面 ABCD, SA=AB=BC=2,AD=1. (1)求证:面 SAB⊥面 SBC; (2)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值.

19. (12 分)如图中,图一的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧 视图在如图二画出(单位:cm) ,P 为原长方体上底面 A1B1C1D1 的中心. (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(直尺作图) ; (2)以 D 为原点建立适当的空间直角坐标系(右手系) ,在图中标出坐标轴,并按照给出的 尺寸写出点 E,P 的坐标; (3)连接 AP,证明:AP∥面 EFG.

20. (12 分)已知圆 C:x +y +4x+4y+m=0,直线 l:x+y+2=0. (1)若圆 C 与直线 l 相离,求 m 的取值范围; (2)若圆 D 过点 P(1,1) ,且与圆 C 关于直线 l 对称,求圆 D 的方程. 21. (12 分)如图 1,在长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,E 为 CD 的中点,以 AE 为折痕, 把△ DAE 折起为△ D′AE,且平面 D′AE⊥平面 ABCE(如图 2) . (1)求证:AD′⊥BE (2)求四棱锥 D′﹣ABCE 的体积; (3)在棱 D′E 上是否存在一点 P,使得 D′B∥平面 PAC,若存在,求出点 P 的位置,不存在, 说明理由.

2

2

22. (14 分)已知直线 l:y=kx﹣2,M(﹣2,0) ,N(﹣1,0) ,O 为坐标原点,动点 Q 满足 ,动点 Q 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l 与圆 O:x +y =2 交于不同的两点 A,B,当∠AOB=
2 2

时,求 k 的值;

(3)若 k= ,P 是直线 l 上的动点,过点 P 作曲线 C 的两条切线 PC、PD,切点为 C、D,探 究:直线 CD 是否过定点.

福建省泉州市南安一中 2014-2015 学年高一上学期期末数 学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1. (5 分)已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则直线 AB 的斜率为() A.3 B . ﹣2 C. 2 D.不存在 考点: 斜率的计算公式. 专题: 计算题. 分析: 把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算,求出结果. 解答: 解:由直线的斜率公式得直线 AB 的斜率为 k= 故选 B. 点评: 本题考查直线的斜率公式的应用. 2. (5 分)圆 x +y ﹣2x=0 和 x +y +4y=0 的位置关系是() A.相离 B.外切 C.相交
2 2 2 2

=﹣2,

D.内切

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 分析: 把两圆的方程化为标准方程,分别找出圆心坐标和半径,利用两点间的距离公式, 求出两圆心的距离 d, 然后求出 R﹣r 和 R+r 的值, 判断 d 与 R﹣r 及 R+r 的大小关系即可得到 两圆的位置关系. 2 2 2 2 解答: 解:把圆 x +y ﹣2x=0 与圆 x +y +4y=0 分别化为标准方程得: 2 2 2 2 (x﹣1) +y =1,x +(y+2) =4, 故圆心坐标分别为(1,0)和(0,﹣2) ,半径分别为 R=2 和 r=1, ∵圆心之间的距离 d= ,R+r=3,R﹣r=1,

∴R﹣r<d<R+r, 则两圆的位置关系是相交. 故选 C 点评: 圆与圆的位置关系有五种,分别是:当 0≤d<R﹣r 时,两圆内含;当 d=R﹣r 时,两 圆内切;当 R﹣r<d<R+r 时,两圆相交;当 d=R+r 时,两圆外切;当 d>R+r 时,两圆外离 (其中 d 表示两圆心间的距离,R,r 分别表示两圆的半径) . 3. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是() A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之 间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 证明题;压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行性质定理,结合线面垂直的定义,可得①是真命题;根据面面平行的 性质结合线面垂直的性质,可得②是真命题;在正方体中举出反例,可得平行于同一个平面 的两条直线不一定平行,垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行,可得③④不正确.由 此可得本题的答案. 解答: 解:对于①,因为 n∥α,所以经过 n 作平面 β,使 β∩α=l,可得 n∥l, 又因为 m⊥α,l?α,所以 m⊥l,结合 n∥l 得 m⊥n.由此可得①是真命题; 对于②,因为 α∥β 且 β∥γ,所以 α∥γ,结合 m⊥α,可得 m⊥γ,故②是真命题; 对于③,设直线 m、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线, 而平面 α 是正方体下底面所在的平面, 则有 m∥α 且 n∥α 成立,但不能推出 m∥n,故③不正确; 对于④,设平面 α、β、γ 是位于正方体经过同一个顶点的三个面, 则有 α⊥γ 且 β⊥γ,但是 α⊥β,推不出 α∥β,故④不正确. 综上所述,其中正确命题的序号是①和② 故选:A 点评: 本题给出关于空间线面位置关系的命题,要我们找出其中的真命题,着重考查了线 面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题. 4. (5 分)如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为其上的三个点,则在正 方体盒子中,∠ABC 等于()

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

考点: 棱柱的结构特征. 专题: 图表型. 分析: 根据展开图还原为正方体后,确定 A、B、C 构成以面对角线为边的正三角形,即求 出所求角的度数. 解答: 解:将展开图还原为正方体后,A、B、C 是三个面上的相对顶点,即构成以面对角 线为边的正三角形, 故∠ABC=60°, 故选 B. 点评: 本题考查了正方体的结构特征,关键是根据展开图还原为正方体后,确定 A、B、C 的具体位置,考查了空间想象能力. 5. (5 分)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是()

A.2

B.

C.

D.3

考点: 专题: 分析: 解答: V= 故选 D.

简单空间图形的三视图. 计算题;空间位置关系与距离. 根据三视图判断几何体为四棱锥,再利用体积公式求高 x 即可. 解:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图是: =3?x=3.

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 6. (5 分)已知 a、b 是两条异面直线,c∥a,那么 c 与 b 的位置关系() A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能垂直 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 由平行公理,若 c∥b,因为 c∥a,所以 a∥b,与 a、b 是两条异面直线矛盾.异面和 相交均有可能. 解答: 解:a、b 是两条异面直线,c∥a,那么 c 与 b 异面和相交均有可能,但不会平行. 因为若 c∥b,因为 c∥a,由平行公理得 a∥b,与 a、b 是两条异面直线矛盾. 故选 C 点评: 本题考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识,考查逻辑推理能力. 7. (5 分)自点 A(3,5)作圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =1 的切线,则切线的方程为() A.3x+4y﹣29=0 B. 3x﹣4y+11=0 C. x=3 或 3x﹣4y+11=0 D.y=3 或 3x﹣4y+11=0
2 2

考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线和圆相切的等价条件即可得到结论. 解答: 解:圆心坐标为(2,3) ,半径 R=1, 若切线斜率 k 不存在,则切线方程为 x=3,此时圆心到直线的距离 d=3﹣2=1,满足条件. 若切线斜率 k 存在,则对应的切线方程为 y﹣5=k(x﹣3) ,即 kx﹣y+5﹣3k=0, 则由圆心到直线的距离 d= ,

即|2﹣k|=

,平方得 k= ,

则对应的切线斜率为 x=3 或 y﹣5= k(x﹣3) , 即 x=3 或 3x﹣4y+11=0, 故选:C 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,根据直线和圆相切的等价条件是解决本 题的关键. 8. (5 分)如图中 O′A′B′C′为四边形 OABC 的斜二测直观图,则原平面图形 OABC 是()

A.直角梯形 C. 非直角且非等腰的梯形

B. 等腰梯形 D.不可能是梯形

考点: 平面图形的直观图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据斜二测直观图形的特征,得出原平面图形 OABC 是直角梯形. 解答: 解:根据斜二测直观图,得; OC⊥OA,OA=O′A′,BC=B′C′,OC=2O′C′;

∴原平面图形 OABC 是直角梯形,如图所示: 故选:A.

点评: 本题考查了斜二测画出的平面图形的直观图的应用问题,是基础题目. 9. (5 分)k 是直线 l 的斜率,θ 是直线 l 的倾斜角,若 30°<θ<90°,则 k 的取值范围是() A.0<k< B. <k<1 C . k> D.k<

考点: 正切函数的单调性;直线的倾斜角;直线的斜率. 专题: 三角函数的求值;直线与圆. 分析: 则当 0°≤α<90°时,斜率 k=tanα>0;当 α=90°时,斜率 k=tanα 不存在;当 30°<θ< 90°时,利用正切函数的单调性,可得直线 l 斜率的取值范围. 解答: 解:由于直线 l 的倾斜角为 α,且 30°<θ<90°,由正切函数在(0°,90°)是增函数 可知: 直线的斜率 k=tanα> .

直线 l 斜率的取值范围是 k> 故选:C. 点评: 本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系,正切函数的单调性,属于基础题. 10. (5 分)两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,﹣1) ,两圆的圆心均在直线 x﹣y+c=0 上,则 m+c 的值为() A.﹣1 B. 2 C. 3 D.0 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 综合题. 分析: 根据题意可知,x﹣y+c=0 是线段 AB 的垂直平分线,由垂直得到斜率乘积为﹣1,而 直线 x﹣y+c=0 的斜率为 1,所以得到过 A 和 B 的直线斜率为 1,利用 A 和 B 的坐标表示出直 线 AB 的斜率等于 1,列出关于 m 的方程,求出方程的解即可得到 m 的值,然后利用中点公 式和 m 的值求出线段 AB 的中点坐标,把中点坐标代入 x﹣y+c=0 中即可求出 c 的值,利用 m 和 c 的值求出 m+c 的值即可. 解答: 解:由题意可知:直线 x﹣y+c=0 是线段 AB 的垂直平分线,又直线 x﹣y+c=0 的斜 率为 1, 则 =﹣1①,且 ﹣ +c=0②,

由①解得 m=5,把 m=5 代入②解得 c=﹣2,则 m+c=5﹣2=3. 故选 C 点评: 此题考查学生掌握两圆相交时两圆心所在的直线是公共弦的垂直平分线,掌握两直 线垂直时斜率所满足的关系,灵活运用中点坐标公式化简求值,是一道综合题. 11. (5 分)在体积为 15 的斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,S 是 C1C 上的一点,S﹣ABC 的体积 为 3,则三棱锥 S﹣A1B1C1 的体积为()

A.1

B.

C. 2

D.3

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 由棱柱的体积与棱锥体积的关系,由于三棱锥 S﹣ABC 三棱锥 S﹣A1B1C1 的底面全 等,高之和等于棱柱的高,我们可得棱锥 S﹣ABC 的体积与三棱锥 S﹣A1B1C1 的体积和为 V (其中 V 为斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积) ,进而结合三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=15, 三棱锥 S﹣ABC 的体积为 3,得到答案. 解答: 解:∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=15, 三棱锥 S﹣ABC 的体积与三棱锥 S﹣A1B1C1 的体积和为 V=5 ∵三棱锥 S﹣ABC 的体积为 3, ∴三棱锥 S﹣A1B1C1 的体积 2 故选 C 点评: 本题考查的知识点是棱柱的体积,棱锥的体积,其中分析出棱锥 S﹣ABC 的体积与 三棱锥 S﹣A1B1C1 的体积和为 V(其中 V 为斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积) ,是解答本题 的关键. 12. (5 分)若动点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移 2 2 动,点 N 在圆 C:x +y =8 上移动,则 AB 中点 M 到点 N 距离|MN|的最小值为() A. B. C. D.

考点: 轨迹方程;直线和圆的方程的应用. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出 AB 的中点 M 的轨迹方程,利用圆的圆心到直线的距离,求出最小值减去半径, 即可得到结果. 解答: 解:动点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移 2 2 动,AB 中点 M 的轨迹方程为:x+y﹣6=0.圆 C:x +y =8 的圆心(0,0) ,半径为 2 , 2 2 点 N 在圆 C:x +y =8 上移动,AB 中点 M 到点 N 距离|MN|的最小值为圆心到直线的距离减 去半径, 所以 故选:A. = .

点评: 本题考查点的轨迹方程的求法,仔细与圆的位置关系的应用,考查转化思想以及计 算能力. 二.填空题:本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分. 13. (4 分)在空间直角坐标系 o﹣xyz 中,已知点 A(1,﹣2,1) ,B(2,1,3) ,点 P 在 z 轴上,且|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为(0,0,2) . 考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设出 P 的坐标,利用距离公式列出方程即可求出 P 的坐标. 解答: 解:设 P(0,0,z) , 因为点 A(1,﹣2,1) ,B(2,1,3) ,|PA|=|PB|, 所以(1﹣0) +(﹣2﹣0) +(1﹣z) =(2﹣0) +(1﹣0) +(3﹣z) , 解得:z=2. 故答案为: (0,0,2) . 点评: 本题考查空间两点间的距离公式的应用,设出点的坐标,列出方程是解题的关键. 14. (4 分)已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 4x﹣2y﹣5=0. 考点: 直线的点斜式方程. 专题: 计算题. 分析: 要求线段 AB 的垂直平分线, 即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率, 根据中点坐 标公式求出 AB 的中点 M 的坐标,利用 A 与 B 的坐标求出直线 AB 的斜率,根据两直线垂直 时斜率乘积为﹣1 得到垂直平分线的斜率,根据 M 的坐标和求出的斜率写出 AB 的垂直平分 线的方程即可. 解答: 解:设 M 的坐标为(x,y) ,则 x= 因为直线 AB 的斜率为 =2,y= = ,所以 M(2, )
2 2 2 2 2 2

=﹣ ,所以线段 AB 垂直平分线的斜率 k=2,

则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y﹣ =2(x﹣2)化简得 4x﹣2y﹣5=0 故答案为:4x﹣2y﹣5=0 点评: 此题考查学生会利用中点坐标公式求线段中点的坐标,掌握两直线垂直时斜率的关 系,会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程,是一道中档题. 15. (4 分)过点(3,1)作圆(x﹣2) +(y﹣2) =4 的弦,其中最短的弦长为 2
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程找出圆心与半径,判断得到(3,1)在圆内,过此点最短的弦即为与过 此点直径垂直的弦,利用垂径定理及勾股定理即可求出. 解答: 解:根据题意得:圆心(2,2) ,半径 r=2, ∵ = <2,∴(3,1)在圆内,

∵圆心到此点的距离 d= ∴最短的弦长为 2

,r=2, =2 .

故答案为:2 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点与圆的位置关 系,垂径定理,以及勾股定理,找出最短弦是解本题的关键. 16. (4 分)如图,三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 中点,则下列命题中: ①CC1 与 B1E 是异面直线; ②AC⊥底面 A1B1BA; ③二面角 A﹣B1E﹣B 为钝角; ④A1C∥平面 AB1E. 其中正确命题的序号为④. (写出所有正确命题的序号)

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: ①CC1 与 B1E 在同一个平面,不是异面直线; ②AE⊥底面 A1B1BA,即可判断出; ③由 AE⊥底面 A1B1BA,因此二面角 A﹣B1E﹣B 为直角; ④如图所示,连接 A1B 交 AB1 于点 O,连接 EO,利用三角形的中位线定理可得:EO∥A1C, 利用线面平行的判定定理即可得出:A1C∥平面 AB1E. 解答: 解:①CC1 与 B1E 在同一个平面,不是异面直线,不正确; ②AE⊥底面 A1B1BA,因此不正确; ③由 AE⊥底面 A1B1BA,因此二面角 A﹣B1E﹣B 为直角,因此不正确; ④如图所示,连接 A1B 交 AB1 于点 O,连接 EO,则 EO∥A1C,∵EO?平面 AB1E,A1C? 平面 AB1E.∴A1C∥平面 AB1E. 综上可得:其中正确命题的序号为 ④. 故答案为:④.

点评: 本题考查了空间中线线、线面平行与垂直的位置关系判定,考查了推理能力,考查 了空间想象能力,属于中档题.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)求经过直线 l1:3x+4y﹣5=0 与直线 l2:2x﹣3y+8=0 的交点 M,且满足下列条件 的直线方程 (1)与直线 2x+y+5=0 平行; (2)与直线 2x+y+5=0 垂直. 考点: 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题. 分析: 先求出已知两直线的交点坐标, (1)根据平行关系求出所求直线的斜率,点斜式斜 直线的方程,并化为一般式. (2)根据垂直关系求出求直线的斜率,点斜式斜直线的方程,并化为一般式. 解答: 解:由 ,解得 ,所以,交点 M(﹣1,2) .

(1)∵斜率 k=﹣2,由点斜式求得所求直线方程为 y﹣2=﹣2(x+1) ,即 2x+y=0. (2)∵斜率 ,由点斜式求得所求直线方程为 y﹣2= (x+1) ,即 x﹣2y+5=0.

点评: 本题考查求两直线的交点坐标的方法,两直线平行、垂直的性质,直线的点斜式方 程. 18. (12 分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S﹣ABCD 中,∠ABC=90°,SA⊥面 ABCD, SA=AB=BC=2,AD=1. (1)求证:面 SAB⊥面 SBC; (2)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值.

考点: 直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)证明 SA⊥BC 利用 AB⊥BC,即可证明 BC⊥面 SAB,利用平面与平面垂直的 判定定理证明面 SAB⊥面 SBC. (2)连结 AC,说明∠SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角,在直角三角形 SCA 中,求解即 可. 解答: (1)证明:∵SA⊥面 ABCD,BC?面 ABCD, ∴SA⊥BC 又∵AB⊥BC,SA∩AB=A,∴BC⊥面 SAB, ∵BC?面 SAB, ∴面 SAB⊥面 SBC…(6 分) (2)解:已知 SA⊥面 ABCD,连结 AC,

则∠SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角, 在直角三角形 SCA 中, SA=2, …(12 分)



点评: 本题考查直线与平面所成角的求法,平面与平面垂直的判定定理的应用,考查空间 想象能力以及计算能力. 19. (12 分)如图中,图一的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧 视图在如图二画出(单位:cm) ,P 为原长方体上底面 A1B1C1D1 的中心. (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(直尺作图) ; (2)以 D 为原点建立适当的空间直角坐标系(右手系) ,在图中标出坐标轴,并按照给出的 尺寸写出点 E,P 的坐标; (3)连接 AP,证明:AP∥面 EFG.

考点: 直线与平面平行的判定;简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)通过几何体的结构特征画出在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体 的俯视图(直尺作图) ; (2)以 D 为原点建立适当的空间直角坐标系(右手系) ,在图中标出坐标轴,并按照给出的 尺寸直接写出点 E,P 的坐标; (3)连接 AB1,AD1,B1D1,证明 GF∥面 AB1D1,EF∥面 AB1D1,利用平面与平面平行证 明 AP∥面 EFG. 解答: (1)解:如图二(徒手作图不得分,尺寸不准确酌情给分)…(4 分) (2)解:建立如图一直角坐标系

E(4,0,2)P(2,3,4)…(8 分) (3)证明:连接 AB1,AD1,B1D1,依题意知:E,F,G 分别为原长方体所在棱中点, ∵GF∥B1D1,GF?面 AB1D1 ∴GF∥面 AB1D1 ∵EF∥AB1,EF?面 AB1D1 ∴EF∥面 AB1D1 又 GF∩EF=F ∴面 EFG∥面 AB1D1 又∵AP?面 AB1D1 ∴AP∥面 EFG…(12 分) 点评: 本题考查空间几何体的三视图,以及空间点的坐标的求法,直线与平面平行的判定 定理的应用,空间想象能力以及逻辑推理能力. 20. (12 分)已知圆 C:x +y +4x+4y+m=0,直线 l:x+y+2=0. (1)若圆 C 与直线 l 相离,求 m 的取值范围; (2)若圆 D 过点 P(1,1) ,且与圆 C 关于直线 l 对称,求圆 D 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系;圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)求出圆 C 的圆心与直线 l 相离,通过距离大于半径,即可求 m 的取值范围; (2)通过圆 D 过点 P(1,1) ,以及求出圆 C 关于直线 l 对称的对称点,求出圆的半径即可求 圆 D 的方程. 2 2 2 2 解答: 解: (1)圆 C:x +y +4x+4y+m=0 即 (x+2) +(y+2) =8﹣m 圆心 C(﹣2,﹣2)到直线 l 的距离 ,…(2 分)
2 2

若圆 C 与直线 l 相离,则 d>r, 2 ∴r =8﹣m<2 即 m>6…(4 分) 2 又 r =8﹣m>0 即 m<8, ∴6<m<8…(6 分) (2)设圆 D 的圆心 D 的坐标为(x0,y0) ,由于圆 C 的圆心 C(﹣2,﹣2) , 依题意知:点 D 和点 C 关于直线 l 对称,…(7 分)

则有:

,…(10 分)

∴圆 C 的方程为:x +y =r ,又因为圆 C 过点 P(1,1) , ∴
2

2

2

2


2

∴圆 D 的方程为:x +y =2…(12 分) 点评: 本题考查圆的方程的求法,点到直线的距离以及直线与的位置关系的应用,考查计 算能力. 21. (12 分)如图 1,在长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,E 为 CD 的中点,以 AE 为折痕, 把△ DAE 折起为△ D′AE,且平面 D′AE⊥平面 ABCE(如图 2) . (1)求证:AD′⊥BE (2)求四棱锥 D′﹣ABCE 的体积; (3)在棱 D′E 上是否存在一点 P,使得 D′B∥平面 PAC,若存在,求出点 P 的位置,不存在, 说明理由.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 BE⊥AE,然后 BE⊥平面 D'AE,通过直线与平面垂直的性质定理证明 AD'⊥BE. (2)取 AE 中点 F,连接 D'F,证明 D'F⊥平面 ABCE,得到棱锥的高,然后求解棱锥的体积. (3)连接 AC 交 BE 于 Q,连接 PQ,证明 D'B∥PQ 利用比例关系,即可在棱 D'E 上存在一 点 P,且 ,使得 D'B∥平面 PAC.

解答: 解: (1)证明:在长方形 ABCD 中,△ DAE 和△ CBE 为等腰直角三角形, ∴∠DEA=∠CEB=45°,∴∠AEB=90°,即 BE⊥AE…(2 分) ∵平面 D'AE⊥平面 ABCE,且平面 D'AE∩平面 ABCE=AE, ∴BE⊥平面 D'AE,AD'?平面 D'AE ∴AD'⊥BE…(4 分) (2)取 AE 中点 F,连接 D'F,则 D'F⊥AE ∵平面 D'AE⊥平面 ABCE, 且平面 D'AE∩平面 ABCE=AE,D'F⊥平面 ABCE, ∴ = …(8 分)

(3)解:如图,连接 AC 交 BE 于 Q,连接 PQ, 若 D'B∥平面 PAC ∵D'B?平面 D'BE 平面 D'BE∩平面 PAC=PQ ∴D'B∥PQ…(10 分) ∴在△ EBD'中, ∴ ,即 ,使得 D'B∥平面 PAC…(12 分) ,∵在梯形 ABCE 中

∴在棱 D'E 上存在一点 P,且

点评: 本题考查几何体的体积的求法,直线与平面垂直的性质定理的应用,直线与平面平 行的判断,考查空间想象能力以及计算能力. 22. (14 分)已知直线 l:y=kx﹣2,M(﹣2,0) ,N(﹣1,0) ,O 为坐标原点,动点 Q 满足 ,动点 Q 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l 与圆 O:x +y =2 交于不同的两点 A,B,当∠AOB=
2 2

时,求 k 的值;

(3)若 k= ,P 是直线 l 上的动点,过点 P 作曲线 C 的两条切线 PC、PD,切点为 C、D,探 究:直线 CD 是否过定点. 考点: 轨迹方程;直线与圆的位置关系;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)设点 Q(x,y) ,依题意知 ,整理得曲线 C 的方程;

(2)利用点到直线的距离公式,结合点 O 到 l 的距离

,可求 k 的值;
2 2

(3)由题意可知:O、P、C、D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上,C、D 在圆 O:x +y =2 上可得直线 C,D 的方程,即可求得直线 CD 是否过定点. 解答: 解: (1)设点 Q(x,y) ,依题意知 …(2 分)

整理得 x +y =2,∴曲线 C 的方程为 x +y =2…(4 分) (2)∵点 O 为圆心,∠AOB= ∴ = ? ? ,∴点 O 到 l 的距离 …(6 分)

2

2

2

2

…(8 分)

(3)由题意可知:O、P、C、D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上,…(9 分) 设 ,则圆心 ,半径 得

) 即 又 C、D 在圆 O:x +y =2 上 ∴ 即 …(12 分)
2 2





∴直线 CD 过定点

…(14 分)

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查直线恒过定点,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.


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