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几何概型及基本题型


几何概型及基本题型
几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型, 是概率考查中的重点, 下面就几何概型的知识与常见题型 做一梳理。 一 重点知识剖析 1.定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几 何概率模型,简称几何概型。 2.几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积) ; 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

3.几何概型的特点: 1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; 2)每个基本事件出现的可能性相等. 4.几何概型与古典概型的比较: 一方面,古典概型具有有限性,即试验结果是可数的;而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的 区域长度有关,即试验结果具有无限性,另一方面,二者的试验结果都具有等可能性。 二 常见题型梳理 (一). 与长度有关的几何概型 例 1、在半径为 R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,求任意 画的弦的长度不小于 R 的概率。 思考方法:由平面几何知识可知,垂直于弦的直径平分这条弦,所以,题中的等可能参数是平行弦的中点,它等 可能地分布在于平行弦垂直的直径上(如图 1-1) 。也就是说,样本空间所对应的区域 G 是一维空间(即直线) 上的线段 MN,而有利场合所对应的区域 GA 是长度不小于 R 的平行弦的中点 K 所在的区间。 [解法 1].设 EF 与 E1F1 是长度等于 R 的两条弦, 直径 MN 垂直于 EF 和 E1F1, M M E F 与他们分别相交于 K 和 K1(图 1-2)。依题设条件,样本空间所对应的区域 E F K K 是直径 MN,有 L(G)=MN=2R,注意到弦的长度与弦心距之间的关系比, O O 则有利场合所对对应的区域是 KK1,有

?R? L(GK ) ? KK1 ? 2OK ? 2 R ? ? ? ? 3R ?2?
2

2

N
图1-1

E1

K1 N
图1-2

F1

以几何概率公式得 P ?

L(GA ) 3R 3 ? ? 。 L(G ) 2R 2

[解法 2].如图 1-1 所示,设园 O 的半径为 R, EF 为诸平行弦中的任意一条,直径 MN ? 弦 EF,它们的交点为 K, 则点 K 就是弦 EF 的中点。设 OK=x,则 x ? [-R,R], 所以 L(G)=2R 设事件 A 为“任意画的弦的长度不小于 R” ,则 A 的有利场合是 2 R ? X ? R ,
2 2

解不等式,得 x ?

3 R 2

所以 L(GA ) ? 2

3 R ? 3R 2

于是

P( A) ?

3R 3 ? 2R 2

[评注] 本题结构比较简单,题中直接给出了等可能值参数;样本空间和有利场合所对应的区域,从图上都可以 直接看出。两种解法各有特色,解法 1 充分利用平面几何知识,在本题似较简便,解法 2 引进变量 x 把代数知识 和几何知识有机的结合起来,从表面上看解题过程不甚简便,但确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何 概率问题。 例 2 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正方形的面积介于 36cm2 与
1

81cm2 之间的概率. 分析:正方形的面积只与边长有关,因此,此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M,求使得 AM 的 长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解:记“面积介于 36cm2 与 81cm2 之间”为事件 A,事件 A 的概率等价于“长度介于 6cm 与 9cm 之间”的概率, 所以,P(A)=

9?6 1 = 12 4
3 ) 3

小结:解答本例的关键是,将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。 练习 1. 在等腰 Rt△ABC 中,C=900,在直角边 BC 上任取一点 M,求 ?CAM ? 30 的概率(答案:
0

2.已知地铁列车每 10 min 一班,在车站停 1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( 1 A. 10 1 B. 9 1 C. 11 1 D. 8

)

解析:设乘客到达站台立即乘上车为事件 A,试验的所有结果构成的区域长度为 10 min,而构成事件 A 的区域 长度为 1 min,故 P(A)= 1 .答案:A 10

x-2 3. 已知集合 A{x|-1<x<5}, B={x| >0}, 在集合 A 中任取一个元素 x , 则事件“x∈A∩B”的概率是________. 3-x 解析:由题意得 A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},由几何概型知:在集合 A 中任取一个元素 x,则 x∈A∩B 的概 1 1 率为 P= .答案: 6 6 (二) 、圆弧之比类型 例1、 设A为圆周上一定点,在圆周上等可能任取一点与A连接,求弦长超过半径 2 倍的
?

概率。解: | AB |?| AC |?

2R . ∴ P ?

BCD
圆周

?

?R 1 ? 2?R 2

例 2.如图,M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点 N,连结 MN,则 弦 MN 的长度超过 2R 的概率是________. 解析:连结圆心 O 与 M 点,作弦 MN 使∠MON=90°,这样的点有两个,分别记为 N1,N2, 仅当点 N 在不包含点 M 的半圆弧上取值时,满足 MN> 2R,此时∠N1ON2=180°,故所求的概率 180° 1 为 = . 360° 2 例 3、 在单位圆的圆周上随机取三点 A、B、C,求 ?ABC 是锐角三角形的概率。 解法 1:如图 3 所示建立平面直角坐标系,A、B、 C1 、 C2 为单位圆与坐标轴的 交点,当 ?ABC 为锐角三角形,记为事件 A。则当 C 点在劣弧 C1C2 上运动时,
A y B

0 C C2 图3

C1

x

?ABC 即为锐角三角形,即事件 A 发生,所以

1 ? 2? 1 P( A) ? 4 ? 2? 4

? ? ? 2 0 ? 2 ? ?

解法 2:记 ?ABC 的三内角分别为 ? , ? , ? ? ? ? ? ,事件 A 表示 “ ?ABC 是锐角三角形” ,则试验的全部结果组成集合
2

图2

? ? {(? , ? )|0 ? ? , ? ? ? ,0 ? ? ? ? ? ? } 。
因为 ?ABC 是锐角三角形的条件是 0 ? ? , ? ? ? 且 ? ? ? ? ?
2
2

所以事件 A 构成集合 A ? {(? , ? )|? ? ? ? ? ,0 ? ? , ? ? ? } 2 2 由图 2 可知,所求概率为
P( A) ?
1 ? 2 A的面积 ( ) 1。 ? 2 2 ? ?的面积 1 2 4 ? 2

解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率。 (三).面积之比类型 例 1 在三角形 ABC 中任取一点 P,证明:△ABP 与△ABC 的面积之比大于 的概率为

n ?1 n
E P

C

1 。 n2
A

H

F

思考方法 本题的随机点是 ? ABP 的顶点 P,它等可能的分布在 ? ABC 中,因此, 与样本空间对应的平面区域是 ? ABC ,注意到 ? ABP 于 ? ABC 有公共边 AB,所 以的面积决定于顶点 P 离底边 AB 的距离。这样不难确定与有利场合相对应的平 面区域。 解 设 ? ABP 与 ? ABC 的面积之比为
1 ch1 h n ?1 ?2 ? 1? 1 n ch h 2

G D 图2

B

n ?1 ,? ABC 的高 CD 为 h,? ABP 的高 PG 为 h1, 公共底边 AB 的长为 c, n
h1 ? n ?1 h n

(图 2)则 S ?ABP
S ?ABC

过点 P 作 EF//AB,交 CD 于 H,则有立场合所对应的平面区域为 ?CEF .于是所求概率为 P ?
?h? ? ? 1 n ? ? 2? ? 2 h n
2

S? EFC S? ABC

注意到 EF//AB, ? EFC ?? ABC ,且 CH=h -h1 = h-

n ?1 1 h= h ,? p ? s? EFC n n S? ABC

由此,原题得证。 评注 本题的样本空间虽然与平面区域相对应,但因三角形 ABC 于三角形 ABP 有公共底边 AB,所以,实际变 化着的量只有一个(即点 P 于 AB 的距离),问题还比较简单,对于较复杂的平面区域,常常要根据题设选定两个 变量,由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。 [例 2]将长为 L 的木棒随机的折成 3 段,求 3 段构成三角形的概率. 解:设 M ? “3 段构成三角形” x,y 分别表示其中两段的长度,则第三段 .

0 0 的长度为 L ? x ? y . ? ? ( x,y )|0 ? x ? L, ? y ? L, ? x ? y ? L .
由题意,x,y,L ? x ? y 要构成三角形, 须有 x ? y ? L ? x ? y , x ? y ? 即

?

?

1 ; 2

x ? ( L ? x ? y) ? y ,即 y ?

L L ; y ? ( L ? x ? y) ? x ,即 x ? . 2 2
3

故 M ? ?( x,y ) | x ? y ?

? ?

L L L? ,y ? ,x ? ? . 2 2 2?
2

1 ?L? · M 的面积 2 ? 2 ? 1 ? ?2 ? ? . 如图 1 所示,可知所求概率为 P ( M ) ? L ?的面积 4 2
例 3.已知函数 f(x)=-x2+ax-b.若 a、b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则 f(1) >0 成立的概率是________. 解析:f(1)=-1+a-b>0,即 a-b>1,如图: 9 2 S△ABC 9 9 A(1,0),B(4,0),C(4,3),S△ABC= ,P= = = . 2 S矩 4×4 32 9 答案: 32 练习 1.(2009· 辽宁高考)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点.在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的 点到 O 的距离大于 1 的概率为 π A. 4 π B.1- 4 π C. 8 ( ) D.1- π 8

解析:对应长方形的面积为 2×1=2,而取到的点到 O 的距离小于等于 1 时,其是以 O 为圆心,半径为 1 所作 1 π 2 1 1 π 2 的半圆,对应的面积为 ×π×1 = π,那么满足条件的概率为:1- =1- .答案:B 2 2 2 4

2.设-1≤a≤1,-1≤b≤1,则关于 x 的方程 x2+ax+b2=0 有实根的概率是 1 A. 2 1 B. 4 1 C. 8 1 D. 16

(

)

?-1≤a≤1, ? 解析:由题知该方程有实根满足条件?-1≤b≤1, ?a2-4b2≥0, ?

作平面

区域如右图:由图知阴 影面积为 1,总的事件对应面积为正方形的面积, 1 故概率为 .答案:B 4

3、已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域 Ω 上随机投一点 P, 则点 P 落入区域 A 的概率为 1 A. 3 2 B. 3 1 C. 9 ( ) 2 D. 9

解析:作出两集合表示的平面区域如图所示.容易得出 Ω 所表示的平面区域为三角形 AOB 及其边界,A 表示的 区域为三角形 OCD 及其边界.
4

容易求得 D(4,2)恰为直线 x=4,x-2y=0,x+y=6 三线的交点. 1 1 4 2 则可得 S△AOB= ×6×6=18,S△OCD= ×4×2=4.所以点 P 落在区域 A 的概率为 = .答案:D 2 2 18 9

?x+y- 4.在区域?x-y+ ?y≥0
π A. 2

2≤0, 2≥0, 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率( )

π B. 8

π C. 6

π D. 4

解析:区域为△ABC 内部(含边界),则概率为 π 2 S半圆 π P= = = .答案:D 4 S△ABC 1 ×2 2× 2 2 5.(2010· 济南模拟)在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的距离至少有一个小于 1 的概率是________. 解析:以 A、B、C 为圆心,以 1 为半径作圆,与△ABC 相交出 三个扇形(如图所示),当 P 落在阴影部分时符合要求. 1 π 3×( × ×12) 2 3 3π 3 ∴P= = .答案: π 6 6 3 ×22 4 1 6.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x)= x3+ax-b 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为 2 ________. 3 1 解析:f′(x)= x2+a,故 f(x)在 x∈[-1,1]上单调递增,又因为函数 f(x)= x3+ax-b 在[-1,1]上有且仅有一个零 2 2

?0≤b≤1 ?1 1 1 1 1 点,即有 f(-1)· f(1)<0 成立,即(- -a-b)( +a-b)<0,则( +a+b)( +a-b)>0,可化为? +a-b>0 2 2 2 2 2 ?1+a+b>0 ?2
0≤a≤1



?0≤b≤1 ?1 ?2+a-b<0, ?1+a+b<0 ?2
0≤a≤1

由线性规划知识在平面直角坐标系 aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域, 再由几何概

1 型可以知道,函数 f(x)= x3+ax-b 在[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线 a=0,a=1, 2 7 7 b=0,b=1 围成的正方形的面积,计算可得面积之比为 。答案: 8 8 2 2 7.已知函数 f(x)=x -2ax+b ,a,b∈R.
5

(1)若 a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b 从集合{0,1,2}中任取一个元素,求方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概 率; (2)若 a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数,求方程 f(x)=0 没有实根的概率. 解:(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b 取集合{0,1,2}中任一个元素, ∴a,b 的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2). 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值,即基本事件总数为 12. 设“方程 f(x)=0 有两个不相等的实根”为事件 A, 当 a≥0,b≥0 时,方程 f(x)=0 有两个不相等实根的充要条件为 a>b. 当 a>b 时,a,b 取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),即 A 包含的基本事件数为 6, ∴方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率 P(A)= 6 1 = . 12 2

(2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数,则试验的全部结果构成区域 Ω={(a, b)|0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形区域,其面积 SΩ=2×3=6. 设“方程 f(x)=0 没有实根”为事件 B,则事件 B 所构成的区域为 M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b}, 1 即图中阴影部分的梯形,其面积 SM=6- ×2×2=4. 2

SM 4 2 由几何概型的概率计算公式可得方程 f(x)=0 没有实根的概率 P(B)= = = . SΩ 6 3
(四).角度之比型 例 如图所示,在等腰直角 ? ABC 中,过直角顶点 C 在 ?ACB 内部做一条射线 CM ,与线段 AB 交于点 M , C

A M D B 求 AM ? AC 的概率。 分析:当 AM ? AC 时,有 ?ACM ? ?AMC ,故欲使 AM ? AC ,应有 ?ACM ? ?AMC ,即所作的射线应 落在 ?ACM ? ?AMC 时 ?ACM 的内部。

1800 ? 450 ? 67.50 , “在内部作一条射线 CM , 解: AB 上取 AD ? AC ,连接 CD , ?ACD ? 在 则 记 与线段 AB 2 67.50 3 3 ? ,所以,所求概率为 。 交于点 M , AM ? AC ”为事件 A,则 P( A) ? 0 90 4 4 点评:本题所求事件的本质是在 ?ACB 内部做一条射线 CM ,所构成的区域是一个“角”域,故应是角度之比; 2 ?1 2 ? 1? 易犯的错误是用长度的比得出 这一错误结果。 2 2
(五) 、体积之比类型 例 1.在区间 [0, 上任取三个实数 x y,z ,事件 A ? {( x,y,z )| x ? y ? z ? 1} . 1] ,
2 2 2

(1)构造出此随机事件对应的几何图形; (2)利用该图形求事件 A 的概率. 解: (1)如图 2 所示,构造单位正方体为事件空间 ? ,正方体以 O 为球心,以 1 为半径在第一卦限的

1 球即为事件 A . 8
6

1 4 3 ? π1 · π (2) P( A) ? 8 33 ? 1 6
例 2、任取三条不大于 a 的线段,求这三条线段能够成一个三角形的概率。 思考方法 题设的三条线段互不相干,所以可设置三个独立变量。注意到三条线段构成三角形的充要条件,可推 得有立场合的约束条件。由此原题可以解出。 解 设三条线段的长分别为 x、y、z,则样本空间是

?0 ? x ? a ? ?0 ? y ? a (1) ?0 ? z ? a ?
有三条线段构成三角形的条件可知,其中的任意两条之和比大于第三条线段,于是,有利场合的可能情形是

?x ? y ? z ? ? y ? z ? x (2) ?z ? x ? y ?

把条件(1)(2)所限制的区域,在空间直角坐标系中 、
z

表示出来,有如图 2-3 所示。
A2 A4

A3

其中(1)所对应的区域 G 是正方体 OA4 ,(2)所对应的区域 GA 是六面体 OA1A2A3A4,且有

L ?G ? ? a

O A1
x 图2-3

y

3

1 3 a 1 a2 1 3 1 L ? GA ? ? a 3 -3 ? ? ? a= a ? p= 2 3 = 3 2 2 a 2

(六) 、生活中的几何概型 例 1. 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于 10 分钟的概 率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间有无穷多个时刻,不 能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每 小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该 时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因 此由几何概型的概率公式,得 P(A)=

60 ? 50 1 1 = ,即此人等车时间不多于 10 分钟的概率为 . 60 6 6

例 2.平面上画有一组平行线,其间隔交替为 1.5cm 和 10cm,任意地往平面上投一半径为 2cm 的圆,求此圆不与 平行线相交的概率。 [思考方法] 本题的难处,在于题中没有直接指明等可能值参数,为此,需发掘“任意的往平面上投一直径为 2cm 的圆” 之真实含义, 找出具有某种等可能的随机点。 注意到定半径的圆的位置决定于圆心, 可以取圆心作随机点, 由于平行线可以向两端无限延伸,而往平面上投圆又是任意的,所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了; 考虑到题设平行线的间隔交替的为 1.5cm 和 10cm,则研究相邻三条平行线之间情况就可以反映问题的全貌。经 上面的分析,我们可以取圆心为随机点,它等可能地分布在相邻三条平行线的某一垂线上(如图 1-3)由此原题 不难解出。 [解] 设 L1、L2、L3 是三条相邻的平行线,EPF 是它们之间的垂线(图 1-3) ,则样本空 E L1 间所对的区域是线段 EF,有 P L2 O1 L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm) Q 注意到 L1 与 L2 相邻 1.5cm, 所以圆心如果落在线段 EP 上, 那么圆与平行线必定相交。
R

7

O2 F 图1 L3

设半径为 2cm 的⊙O、⊙O1 分别切 L2、L3 于 P、F,则事件的有利场合所对应的区域应是线段 OO1 有 L(GA)=OO1=PF-OP-O1F=10-2-2=6cm。

? p=

6 ? 0.5127 11.5

评注 从本题可以看出,如果题中没有直接指明等可能值参数,则解题的关键,在于斟酌题设条件,发掘等可能 值参数的含义,找出随机点的分布情况。 例 3. 《广告法》对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论,他任意 9 时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率为 ,那么该台每小时约有________分钟的广告. 10 9 解析:60×(1- )=6 分钟.答案:6 10 例4 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一 定要等另一人15分钟, 若另一人仍不到则可以离去, 试求这人能相见的概率。 解:设x为甲到达时间, y 为乙到达时间.建立坐标系,如图 | x ? y |? 15 时可相 见,即阴影部分 P ?

60 2 ? 45 2 7 ? 2 16 60

例5 两对讲机持有者张三、李四,为卡尔货运公司工作,他们对讲机的接收范围是25km, 下午3:00张三在基地正东30km内部处,向基地行驶,李四在基地正北40km内部处, 向基地行驶,试问下午3:00,他们可以交谈的概率。 解:设 x, y 为张三、李四与基地的距离 x ? [0,30] , y ? [0,40] ,以基地为原点建立坐标 系.他们构成实数对 ( x, y ) ,表示区域总面积为1200,可以交谈即 x ? y ? 25
2 2

1 ? 25 2 25? 4 故P ? ? 1200 192
例 6. 某勘探队勘测到, 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油, 在 假设在海域中任意一点钻 探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作构成事件的区域面积, 由几何概型公式可以求得概率。 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=

储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000

答:钻到油层面的概率是 0.004. 例7、一只海豚在水池中游弋,水池为长 30m ,宽 20m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率. 解:由已知可得,海豚的活动范围在 26×16 ㎡的区域外, 所以海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率为

P ? 1?
练习

26 ?16 ? 0.308 30 ? 20

1.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任意平掷在这个平面,则硬币 不与任何一条平行线相碰的概率是 1 A. 4 1 B. 3 1 C. 2
8

(

) 2 D. 3

解析:平面被这一组平行线分割成条状区域,现对两条平行线之间的区域考虑:平行线间的距离为 3 cm,硬币

半径为 1 cm,要想硬币不与两条平行线相碰,硬币中心与两条平行线的距离都应大于 1 cm,如图:

硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时,才能让硬币与两条平行线都不相碰,则硬币中心落在阴影部分的概 1 1 率为 .整个平面由无数个这样的条状区域组成,故所求概率是 .答案:B 3 3 2.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,E 是到原点的距 离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则所投的点落在 E 中的概率是__________. 解析:如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部(含边界), 区域 E 表示单位圆及其内部,因此 P= π×12 π π = .答案: 16 4×4 16

3.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分 别为 4 小时与 2 小时,求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率. 解:甲比乙早到 4 小时内乙需等待,甲比乙晚到 2 小时内甲需等待. 以 x 和 y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一 艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为-2≤x-y≤4,在如 图所示的平面直角坐标系内,(x,y)的所有可能结果是边长为 24 的 正方形, 而事件 A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示. 由几何概型公式 得: 1 1 2 2 2 24 - ×22 - ×20 2 2 67 67 P(A)= = .故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是 . 2 24 288 288

9


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几何概型的五类重要题型

剖析几何概型的五类重要题型 解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义,掌握...思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限多个,但在每一处...


几何概型的五类重要题型.c

剖析几何概型的五类重要题型 解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义,掌握几何概型中事件 A 的概率 计算公式: P(A) ? 构成事件A的区域长度(面积或体 积...


几何概型的常见题型及典例分析

(2)区别:①古典概型的基本事件是有限的,几何概型基本事件是无限的; ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二.常见题型(一)、与长度有关的几何概型 例 1...


高考理科几何概型的五类重要题型

高考理科几何概型的五类重要题型_数学_高中教育_教育专区。高考几何概型精华版剖析几何概型的五类重要题型 解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义,掌握几何概型...

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