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福建省宁德市2009届高中数学模块考试(必修2)


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福建省宁德市 2009 届高中数学模块考试(必修 2)
一、选择题 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则直线 AB 的斜率为( B ) A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在

2.过点 (?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A

) A. x ? 2 y ? 7 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

3. 下列说法不正确的是( D ) .... A. 空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 4.已知点 A(1, 2) 、 B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( B ) A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5

5. 在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是( C )

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A. B. C. 6. 已知 a、b 是两条异面直线,c∥a,那么 c 与 b 的位置关系( C A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行

D. ) D.不可能相交

7. 设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m? ? , n / /? ,则 m ? n ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 ( A ) (A)①和② (B)②和③ 8. 圆 ( x ?1) ? y ? 1 与直线 y ?
2 2

②若 ? / / ? , ? / /? , m? ? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

(C)③和④

(D)①和④

3 x 的位置关系是( A ) 3
C.相离 D.直线过圆心 )

A.相交

B. 相切

9. 两圆相交于点 A (1, 、 (m, 3) B -1) 两圆的圆心均在直线 x-y+c=0 上, m+c 的值为 A , 则 (

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A.-1

B.2

C.3

D.0

10. 在空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF、GH 相交于点 P, 那么( A ) A.点 P 必在直线 AC 上 B.点 P 必在直线 BD 上 C.点 P 必在平面 DBC 内 D.点 P 必在平面 ABC 外 11. 若 M、N 分别是△ABC 边 AB、AC 的中点,MN 与过直线 BC 的平面β 的位置关系是(C A.MN∥β C. MN∥β 或 MN ? β B.MN 与β 相交或 MN ? β )

?

?

D. MN∥β 或 MN 与β 相交或 MN ? β

?

12. 已知 A、B、C、D 是空间不共面的四个点,且 AB⊥CD,AD⊥BC,则直线 BD 与 AC( A ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.位置关系不确定 二 填空题 13.已知 A(1,-2,1) ,B(2,2,2) ,点 P 在 z 轴上,且|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为 ; 14.已知正方形 ABCD 的边长为 1,AP⊥平面 ABCD,且 AP=2,则 PC= ; 15. 过点 (1, 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2) ___________; 16.圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ? 4) , B(0, ?2) ,则圆 C 的方程 为 .

一、选择题(5’×12=60’) 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 A 8 A 9 C 10 A 11 C 12 A

二、填空题:(4’×4=16’) 13. (0,0,3) 14.

6

15

y=2x 或 x+y-3=0

16.

(x-2)2+(y+3)2=5

三 解答题 17(12 分) 已知△ABC 三边所在直线方程为 AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,CA:2x+y-2=0 求 AC 边上的高所在的直线方程.
由 ?3x ? 46 ? 12 ? 0 解得交点 B(-4,0) ? BD ? AC,? k ? ? 1 ? 1 . ∴AC 边上的高线 BD 的方程 , ? BD

?4 x ? 36 ? 16 ? 0

k AC

2

为y?

1 ( x ? 4), 即x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2

18(12 分) 如图,已知△ABC 是正三角形,EA、CD 都垂直于平面 ABC,且 EA=AB=2a,DC=a,F 是 BE 的中点,求证: (1) FD∥平面 ABC; (2) AF⊥平面 EDB. (1)取 AB 的中点 M,连 FM,MC,

E D F A C

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B

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∵ F、M 分别是 BE、BA 的中点

∴ FM∥EA, FM=

1 EA 2

∵ EA、CD 都垂直于平面 ABC ∴ CD∥EA∴ CD∥FM 又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形 FMCD 是平行四边形 ∴ FD∥MC FD∥平面 ABC (2) 因 M 是 AB 的中点,△ABC 是正三角形,所以 CM⊥AB 又 CM⊥AE,所以 CM⊥面 EAB, CM⊥AF, FD⊥AF, 因 F 是 BE 的中点, EA=AB 所以 AF⊥EB. 19(12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 CB、CD、CC1 的中点, (1) 求证:平面 A B1D1∥平面 EFG; (2) 求证:平面 AA1C⊥面 EFG.

D1 A1

C1 B1

G

F D A B E

C

20(12 分) 已知圆 C 同时满足下列三个条件:①与 y 轴相切;②在直线 y=x 上截得弦长为 2 7 ;③圆 心在直线 x-3y=0 上. 求圆 C 的方程.
设所求的圆 C 与 y 轴相切,又与直线交于 AB, ∵圆心 C 在直线 x ? 3 y 与 y 轴相切,∴R=3|a|.

? 0 上,∴圆心 C(3a,a) ,又圆
又圆心 C 到直线 y-x=0 的距离

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| CD |?

| 3a ? a | 2

? 2 | a | . ?| AB |? 2 7 , | BD |? 7
2

在 Rt△CBD 中, R

? | CD |2 ? ( 7 ) 2 ,?9a 2 ? 2a 2 ? 7.a 2 ? 1, a ? ?1,3a ? ?3 .

∴圆心的坐标 C 分别为(3,1)和(-3,-1) ,故所求圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 或 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 .

21(12 分) 设有半径为 3 km 的圆形村落,A、B 两人同时从村落中心出发,B 向北直行,A 先向东 直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与 B 相遇.设 A、B 两人速度一定,其速度比为 3:1,问两人在何处相遇?

解:如图建立平面直角坐标系,由题意 可设 A、B 两人速度分别为 3v 千米/小时 , v 千米/小时,再设出发 x0 小时,在点 P 改变 方向,又经过 y0 小时,在点 Q 处与 B 相遇. 则 P、Q 两点坐标为(3vx0, 0)(0,vx0+vy0). , 由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2 知,………………3 分 (3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2, 即 ( x0 ? y0 )(5x0 ? 4 y0 ) ? 0 .

? x0 ? y0 ? 0,
将①代入 k PQ

? 5x0 ? 4 y0 ……①………………6 分 x ? y0 3 ?? 0 , 得k PQ ? ? . ……………8 分 3x0 4

又已知 PQ 与圆 O 相切,直线 PQ 在 y 轴上的截距就是两个相遇的位置.

3 x ? b与圆 O : x 2 ? y 2 ? 9 相切, 4 | 4b | 15 则有 ? 3, ? b ? . ……………………11 分 2 2 4 3 ?4
设直线 y ? ? 答:A、B 相遇点在离村中心正北 3
2

3 千米处………………12 分 4

2 22(14 分)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点.

(1) 当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2) 当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长.
2 (1) 已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直线 l 的斜率为 2, 2

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直线 l 的方程为 y=2(x-1),即

2x-y-20.

(2) 当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC, 直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

1 ( x ? 2) , 即 x+2y-6=0 2

(3) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心 C 到直线 l 的距离为

1 ,圆的半径为 3, 2

弦 AB 的长为 34 .

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