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山东省济宁市鱼台一中2012-2013学年高二9月月考 数学理


鱼台一中 2012-2013 学年高二 9 月月考 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. A,B 为球面上相异两点,则通过 A,B 两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有 ( ). A.一个 B.无穷多个 C.零个 D.一个或无穷多个 2. 如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ).

2 题图

②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 B.①③ C.①④ D.②③ 3. 对于任意的直线 m 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 l ,使 m 与 l ( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 4. 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=6, AD=4, 1=3, AA F1 D1 分别过 BC、 1D1 的两个平行截面将长方体分成三部分, A 其体积分别记为 E1 A1 B1 V1 ? V A E A ? D F D , V 2 ? V E B E A ? F C F D , V 3 ? V B E B ? C F C . 若 D F V1 : V 2 : V 3 ? 1 : 4 : 1 ,则截面 A1 E F D 1 的面积为( ) A B E 4 题图
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

①正方体 A.②④

C1

C

A. 2 1 3 C. 6 1 3

B. 4 1 3 D. 8 1 3 )

5. 在下列关于点 P,直线 l 、 m 与平面 ? 、 ? 的命题中,正确的是 ( A. 若 m ? ? , l ? m ,则 l ∥ ? B. 若 ? ? ? , ? ? ? ? m , P ? ? , P ? l ,且 l ? m ,则 l ? ? C. 若 ? ? ? 且 l ? ? , l ? m ,则 m ? ? D. 若 l 、 m 是异面直线, m
? , m ∥? , l

? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ? .

6. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1 和 B1B 的中点,则 D1F 与 CE 所成角的余弦值为 ( ) A.
1 9

B.

1 3

C.

2 3

D.

2 9

7.l1: a x ? y + b =0, l2: b x ? y + a =0( a ≠0, b ≠0, a ≠ b )的图形可能是( 2 0 0 8 0

)

8.圆 C 1 : x 2 A.0 条

? y ? 6 x ? 6 y ? 48 ? 0
2

与圆 C 2 : x 2

? y ? 4 x ? 8 y ? 44 ? 0
2

公切线的条数是(



B.1 条
? r
2

C.2 条

D.3 条

9. 若圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 取值范围是( A.(4,6) )

上有且只有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离等于 1,则半径 r 的

B. [ 4 , 6 )

C. ( 4, 6 ]

D. [ 4 , 6 ]

10. 有 6 根细木棒,长度分别为 1,2,3,4,5,6(cm),从中任取三根首尾相接,能搭成三 角形的概率是( ) A.
1 4

B.

2 5

C.

3 10

D.

7 20

11. 如图,平面 ? ⊥平面 ? ,A∈ ? ,B∈ ? ,AB 与两平面 ? , ? 所成的角分别 为
π 4



π 6

,过 A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A′,B′,若 AB=12,

则 A′B′ 等于( ). A.4 B.6 C.8 D.9 12. 已知结论: 在正三角形 ABC 中, D 是边 BC 的中点, 是三角形 ABC 的重心, 若 G 11 题图 则 AG:GD=2:1,若把该结论推广到空间中,则有结论:在棱长都相等的四面体 ABCD 中,若三角形 BCD 的中心为 M,四面体内部一点 O 到各面的距离都相等,则 AO:OM= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置 上. 13. 如图,侧棱长为 2 3 的正三棱锥 V-ABC 中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40 , 过 A 作截面 AEF,则截面△AEF 周长的最小值为 14. 设某几何体的三视图如图所示,则该几何体表面积是 4 2 V 2 正视图 4 2 俯视图 14 题图 2 侧视图 E A B C 13 题图 F
0

15. 已知△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120 ,则 AB 与平 面 ADC 所成角的正弦值为 16. 如图,点 P 在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的面对角线 B C 1 上 运动,则下列四个命题: ①三棱锥 A ? D1 P C 的体积不变; ② A1 P ∥面 A C D 1 ; ③ D P ? B C 1 ; ④面 P D B1 ? 面 A C D 1 。 其中正确的命题的序号是_______________ (写出所有你认为正确结论的序号) 16 题图 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)设圆的方程为 x + y - 4 x - 5 = 0 , (1) .求该圆的圆心坐标及半径; (2) .若此圆的一条弦 A B 的中点为 P (3,1) ,求直线 A B 的方程
2

0

2

18. (本小题满分 12 分)如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点。 求证: (1)PA∥平面 BDE; (2)平面 PAC ? 平面 BDE.

19. (本小题满分 12 分) 如图, ? A B C 中,? A B C ? 60 , ? B A C ? 90 , A D 是 B C 上的高, 在 沿 A D 把 ? A B D 折起,使 ? B D C ? 9 0
?

?

?



(1)证明:平面 ADB ⊥平面 BDC; (2)设E为 BC 的中点,求 AE 与 DB 夹角的余弦值。

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 x 2 坐标原点. (1)若 ? ABC 的重心是 G (
5 3 ,2 )

? y

2

? 25

,? ABC 内接于此圆, A 点的坐标 ( 3 , 4 ) ,O 为

,求直线 BC 的方程;

(2)若直线 AB 与直线 AC 的倾斜角互补,求证:直线 BC 的斜率为定值.

21. (本小题满分 12 分)如图所示,已知以点 A ( ? 1, 2 ) 为圆心的圆与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.过点 B ( ? 2, 0 ) 的动直线 l 与圆 A 相交于 M , N 两 点, Q 是 M N 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P . (1)求圆 A 的方程; (2)当 | M N
???? ??? ? | ? 2 19

时,求直线 l 的方程.

(3) B Q ? B P 是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分)某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地, 市规划部门计划利用它建设一个供市民休闲健身的小型绿化广场,如下图所示是步行小道 设计方案示意图,其中,O x , O y 分别表示自西向东,自南向北的两条主干道.设计方案是自 主干道交汇点 O 处修一条步行小道,小道为抛物线
P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), ? , Pn ( x n , y n )( n ? 10, n ? N )
*

y ? x

2

的一段,在小道上依次以点

为圆心, 修一系列圆型小道, 这些圆型小道与主
?1

干道 O x 相切,且任意相邻的两圆彼此外切,若 x1

(单位:百米)且 x n ?1
1 xn }

? xn

.

(1) 记以 Pn 为圆心的圆与主干道 O x 切于 A n 点, 证明: 数列 { 于 n 的表达式; (2) ? 记
Pn

是等差数列, 并求 | O A n | 关

的面积为 S n , 根据以往施工经验可知, 面积为 S 的圆型小道的施工工时为

?S

(单位:周).试问 5 周时间内能否完成前 n 个圆 型小道的修建?请说明你的理由.

参考答案: 1-5 DACBD 6-10 AACAD 11-12 BC 13. 6 14 . 32 15.
7 7

16 . ① ② ④

17.(1)将 x + y -4 x -5=0 配方得.
? 圆心坐标为 C (2.0).

2

2

( x ? 2 ) + y =9
2

2

(2)设直线 A . B 的斜率为 k . ∴ kCP ? k ? ? 1 又 K cp =
1? 0 3?2

半经为 r =3. 由圆的知识可知:

CP ⊥ AB .

=1 ? K ? ? 1 。

? 直线 A B 的方程为 y ? 1 ? ? 1 ( x ? 3 )即: x ? y ? 4 ? 0

18.(1)∵O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点,∴OE∥AP, 又∵OE ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE,∴PA∥平面 BDE (2)∵PO ? 底面 ABCD,∴PO ? BD, 又∵AC ? BD,且 AC ? PO=O ∴BD ? 平面 PAC, 而 BD ? 平面 BDE,∴平面 PAC ? 平面 BDE。 19. 解(1)∵折起前AD是BC边上的高, ∴ 当 Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,又 DB ? DC=D, ∴AD⊥平面BDC,∵AD 平面 平面 BDC.? 平面 ABD ? 平面 BDC。----4 分

(2)由∠ BDC= 9 0 ? 及(Ⅰ)知 DA,DB,DC 两两垂直,不防设 D B =1,以 D 为坐 标原点,以 D B , D C , D A 所在直线 x , y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得 D (0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,3,0) ,A(0,0, 3 ) ,E(
??? ? 1 3 ? ???? ? ? A E = ? , , ? 3 ? , D B =(1,0,0,) , ?2 2 ? ??? ? ???? ? A E 与 D B 夹角的余弦值为

???? ???? ??? ?

1 2



3 2

,0) ,

??? ???? ? ??? ? ???? AE ? DB ? ???? ? co s < A E , D B >= ??? | AE | ? | DB |

1 2 1? 22 4 ? 22 22 .

20.设 B ( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 )

? x1 ? x 2 ? 3 5 ? ? ? 3 3 由题意可得: ? ? y1 ? y 2 ? 4 ? 2 ? 3 ?

? x1 ? x 2 ?1 ? ? 2 即? ? y1 ? y 2 ? 1 ? ? 2

又?

? x12 ? y 12 ? 2 5 ? x2 ? y2 ? 25
2 2

相减得: ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 ∴
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? ?1

∴直线 B C 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (2)设 A B : y ? k ( x ? 3) ? 4 ,代入圆的方程整理得:
(1 ? k ) x ? (8 k ? 6 k ) x ? 9 k ? 24 k ? 9 ? 0
2 2 2 2

∵ 3, x1 是上述方程的两根
3k ? 8k ? 3
2

∴ x1 ?

1? k

2

, y1 ?

?4k ? 6k ? 4
2

1? k

2

同理可得: x 2 ?
y1 ? y 2 x1 ? x 2

3k ? 8k ? 3
2

1? k
? 3 4

2

, y2 ?

?4k ? 6k ? 4
2

1? k

2

∴ k BC ?



21.(1)设圆 A 的半径为 R . ? 圆 A 与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切,
?R ? | ?1 ? 4 ? 7 | 5 ? 2 5

.
? ( y ? 2) ? 20
2

?

圆 A 的方程为 ( x ? 1) 2

.

(2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x ? ? 2 符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,
?| M N |? 2 19 ,?| A Q |? 20 ? 19 ? 1 .
3 4

由 | A Q |?
? 直线 l

|k ?2| k ?1
2

? 1 ,得 k ?

.

的方程为 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 . ? 所求直线 l 的方程为 x ? ? 2 或 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 . (3)
???? ??? ? ? A Q ? B P , ? A Q ?B P ? 0

.
??? ??? ? ? ? B A ?B P

???? ??? ? ??? ???? ??? ? ? ? B Q ?B P ? ( B A ? A Q ) ?B P

= B A ?B P ?A Q ?B P

??? ??? ???? ??? ? ? ?

.

当直线 l 与 x 轴垂直时,得 P ( ? 2, ?
???? ??? ??? ??? ? ? ? ? B Q ?B P ? B A ?B P ? ? 5

5 2

)

,则 B P

??? ?

? (0, ?

5 2

??? ? ), 又 B A ? (1, 2 )

,

.
? k ( x ? 2)

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y 由?
? y ? k ( x ? 2 ), ? x ? 2 y ? 7 ? 0,

.

解得 P ( .
?5

?4k ? 7 1 ? 2k

,

?5k 1 ? 2k

)

.

??? ? ?5 ?5k ? BP ? ( , ) 1 ? 2k 1 ? 2k ???? ??? ? ??? ??? ? ? ? B Q ?B P ? B A ?B P ?
???? ??? ?

1 ? 2k

?

10k 1 ? 2k

? ?5 .

综上所述, B Q ?B P 是定值,且 B Q ?B P 22.(1)依题设 ?
? ? Pn Pn

???? ??? ?

? ?5

.

的半径 rn

? yn ? xn

2

. ,

与?

Pn ?1 彼此相切,?| Pn Pn ?1 |? rn ? rn ?1
2 2

?

( x n ? x n ?1 ) ? ( y n ? y n ?1 )

= yn
2

? y n ?1
2


2

两边平方整理得: ( x n
? x n ? x n ?1 ? 2 x n x n ?1 , ?

? x n ?1 ) ? 4 x n x n ?1 ,又 x n ? x n ?1 ? 0

,

1 x n ?1

?

1 xn

? 2

.

?{

1 xn

}

是等差数列,首项为 1,公差为 2.
1 2n ? 1 ,

?

1 xn

? 1 ? ( n ? 1) ?2 ? 2 n ? 1 , ? x n ?
? ? rn ? ? x n ?
2 4

即 | O An

|?

1 2n ? 1

(n ? N )
*

.

(2)? S n

? ( 2 n ? 1)
4

,

设前几个圆型小道的施工总工时为 T n .
? Tn ? ? S1 ?
1 1? 3 ? 1 3?5

?S 2 ? ? ?
?? ?

?S n
1

= ?[

1 1
2

?

1 3
2

?? ?

1 ( 2 n ? 1)
2

]

< ? [1 ?
? ? [1 ?

( 2 n ? 3)( 2 n ? 1)

]

1 2

(1 ?

1 3

?

1 3

?

1 5

?? ?

1 2n ? 3

?

1 2n ? 1

)] ?

3? 2

? 5.

故 5 周内能完成前 n 个圆型小道的修建工作.

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