koorio.com
海量文库 文档专家
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

数列难题放缩法的技巧(精华)


数列难题放缩法的技巧 一、基本方法 1.“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例 1. 设 a,b 为不相等的两正数,且 a3-b3=a2-b2,求证 1<a+b< 例 2. 已知 a、b、c 不全为零,求证:

4。 3

a2 ? ab ? b2 ? b2 ? bc ? c2 ? c2 ? ac ? a2 > 3 (a ? b ? c) 2
[变式训练]已知 an ? 2n ?1(n ? N * ). 求证:

a n 1 a1 a2 ? ? ? ? ... ? n (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1

2. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。 例 3. 已知 a、b、c 为三角形的三边,求证: 1< 3. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例 4. 已知 n∈N*,求 1 ?

a + b + c <2 。 b?c a?c a ?b

1 2

?

1 3

???

1 n

<2 n 。

例 5. 已知 n ? N 且 a n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ?? n(n ? 1) ,求证:
*

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2

对所有正整数 n 都成立。 4. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。 例 6. 已知函数 f ( x) ?

n 2x ?1 * ,证明:对于 n ? N 且 n ? 3 都有 f ( n) ? 。 x n ?1 2 ?1

例 7. 已知 f (x) ? 1 ? x 2 ,求证:当 a ? b 时 f(a) ? f(b) ? a ? b 。 5. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目
1

的。 例 8. 已知 a ? b ? c ,求证

1 1 1 ? ? ? 0。 a ?b b?c c?a

例 9. 已知 a,b,c 为△ABC 的三条边,且有 a 2 ? b 2 ? c 2 ,当 n ? N * 且 n ? 3 时,求证:

a n ? bn ? cn 。
6. 单调函数放缩 根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解。

例 10. 已知 a,b∈R,求证 7.放大或缩小“因式”;

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b



n 1 1 2 a ? a , 0 ? a ? , 例 4、已知数列 {an } 满足 n ?1 求证: ?(ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? . n 1 2 32 k ?1

8.固定一部分项,放缩另外的项; 例 6、求证:

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 2 1 2 3 n 4

9.利用基本不等式放缩 例 7、已知 a n ? 5n ? 4 ,证明:不等式 5a mn ? a m a n ? 1 对任何正整数 m, n 都成立. 10.先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩 例 8、.已知 i,m、n 是正整数,且 1<i≤m<n.(1)证明:n A im <m A in ;(2)证明:(1+m)
i i n

>(1+n) 二、放缩法综合问题 (一) 、先求和后放缩 例 1.正数数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ,满足 2 S n ? a n ? 1,试求: (1)数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

m

1 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Bn ,求证: B n ? 。 2 a n a n ?1

(二) 、先放缩再求和(或先求和再放缩) 例、函数 f(x)=
4x 1? 4
x

,求证:f(1)+f(2)+?+f(n)>n+

1 2
n ?1

1 ? (n ? N * ) . 2

1.放缩后成等差数列,再求和
2

2 例 2.已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1) 求证: Sn ?

an 2 ? an ?12 ; 4 ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ? Sn ?1 ? 1 2

(2) 求证:

Sn 2

2.放缩后成等比数列,再求和 例 3. (1)设 a,n∈N*,a≥2,证明: a 2n ? (?a) n ? (a ? 1) ? a n ;

1 (2)等比数列{an}中, a1 ? ? ,前 n 项的和为 An,且 A7,A9,A8 成等差数列.设 2

a 1 bn ? n ,数列{bn}前 n 项的和为 Bn,证明:Bn< . 3 1 ? an
3.放缩后为差比数列,再求和 例 4.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a n ?1 ? (1 ?

2

a n ?1 ? a n ? 3 ?

n ?1 2 n ?1
n

n )a n (n ? 1,2,3?) .求证: 2n

4.放缩后为裂项相消,再求和 例 5、已知 an=n ,求证:∑
k=1

k <3. a2 k

3


推荐相关:

谈谈数列中的放缩法

谈谈数列中的放缩法_数学_高中教育_教育专区。放缩法是不等式证明中一种常用...的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和...


放缩法证明数列不等式问题的方法

放缩法证明数列不等式问题的方法_计算机硬件及网络_IT/计算机_专业资料。放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题...


高考数学构造数列与数列中的放缩技巧(大纲版)

构造数列与数列中的放缩技巧数列问题中的构造新数列与放缩法证明不等式在近几年高考题中经常出现。 这类题目的 难度及区分度往往很大,考生不容易掌握,有时甚至无...


数列放缩技巧

请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,...数列放缩技巧 数列放缩技巧 数列放缩技巧证明数列型...证明: 证明 k +1 a1 ln b 解析:由数学归纳法...


放缩法在数列求和中的基本策略

放缩法”在数列求和中的基本策略放缩法:为放宽或缩小不等式的范围的方法。...以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略,解题的关键在于根据问题的...


放缩法技巧全总结(尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之...

放缩法技巧全总结(尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华)_高考_高中教育_教育...这类问题的求解策略往往是:通 过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征...


高考放缩法技巧全总结

高考放缩法技巧全总结_数学_高中教育_教育专区。高考数学备考之一 放缩技巧 ...这类问题的求解策略往 往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征...


(学)高中数学数列放缩专题:用放缩法处理数列和不等问题

(学)高中数学数列放缩专题:用放缩法处理数列和不等问题_数学_高中教育_教育专区。数列和不等问题(教师版)一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理) 例...


高三数列大题放缩法的应用

(ii)本小题可以采用猜想的方法,得到结论, 再加以证明. 解: (Ⅰ)∵a1a2a3...本题属于 难题. ,n∈N . + >0, 点评: 2. (2015?广东)数列{an}满足:...


数列型不等式的放缩方法与技巧

数列型不等式的放缩方法技巧_高三数学_数学_高中...“分房问题” 概率模型、构造函数等都可以给出非常...三 添减项放缩上述例 4 之法 2 就是利用二项...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com