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南充高中2013年素质技能邀请赛数学试题及答案


南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题

南充高中 2013 年素质技能邀请赛

数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分) 一、选择题(每小题 4 分,共计 32 分.下列各题只有一个正确的选项.) 1、一个正方形和一个圆的面积相等,则正方形与圆的周长之比为( A. )

2 :?

B. 2 : ?
0

C.
0

2: ?

D. 2 : ? )

2、在 ?ABC 中, ?A ? 30 , ?C ? ?B ? 60 ,若 BC ? a ,则 AB 的长为(

A.

6? 2 a 4

B.

6? 2 a 2

C.

3? 2 a 2

D.

6? 3 a 4

3、一个容器盛满纯酒精溶液,第一次倒出 5 升后,用水加满,第二次倒出 5 升后,又用水加满,这 时容器内纯酒精与水之比为 A. 10

1 ,则容器的容积为( 3
C. 15

)升 D. 20

B. 12

4、如图、∠BAC=60°,半径长为 1 的圆 O 与∠BAC 的两边相切,P 为圆 O 上一动点,以 P 为圆心, PA 长为半径的圆 P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点,连接 DE,则线段 DE 长度的最大值为( A、3 5..已知 B 、6 C、 )

3 3 2


D、3 3

C E

1 1 ? a ? 1 那么代数式 ? a 的值为( a a
5 B. ? 2
C.

A.

5 2

5

D. ? 5 )

. O P .
A

D

B

6、设 a, b, c 是三个互不相同的正数,已知 A. 3b ? 2c B. 3a ? 2b

a?c c b ? ? ,则( b a?b a
C. 2b ? c

D. 2a ? b

7、 如果关于 x 的不等式组 ? 有( )对 B. 42

?7 x ? m ? 0 的整数解仅为 1,2,3, 那么适合这个不等式组的整数对 (m, n) 共 ?6 x ? n ? 0

A. 49

C. 36

D.1

8、在平面坐标系中,正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A 的坐标为 (1,0),点 D 的坐标为(0,2),延长 CB 交 x 轴于点 A1 ,作正方形

第 1 页 共 11 页

南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题

A1 B1C1C ,延长 C1 B1 交 x 轴于点 A2 ,作正方形 A2 B2C2C1 ………按这样的规律进行下去,第 2013 个正方
形的面积为( A. 5 ? ? )
2010

?3? ? ?2?

B. 5 ? ?

?9? ? ?4?

2011

C. 5 ? ?

?9? ? ?4?

2013

D. 5 ? ?

?3? ? ?2?

4024

二、填空题(每小题 5 分,共计 40 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处) 9、有一个质地均匀的正方体,其六个面上分别画着圆、等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、菱形、 正五边形,投掷该正方体一次,向上的一面的图形既是轴对称又是中心对称的概率是 10、如图 Rt?ABC 中,∠BAC=90° ,AB=3,AC=4,点 P 为 BC 上任意 一点,连接 .. PA,以 PA,PC 为邻边作
C Q

? PAQC,连接 PQ,则 PQ 的最小值为
2 2
P A B

11、已知 (2013 ? a)(2011 ? a) ? 2012 ,那么 (2013 ? a) ? (2011 ? a) ? 12、设抛物线 y ? x ? (2a ? 1) x ? 2a ?
2

5 12 ?12 的图像与 x 轴只有一个交点,则 a ? a 的值为 4 13、将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转到 △A?BC? 使 A、B、C? 在同一直线上,若 ?BCA ? 90° ,

?BAC ? 30° ,AB ? 4cm ,则图中阴影部分图形的周长为
14、已知 5 ? 2 ? 10 ,则
a b 4 3

1 1 ? ? a b

y

D M C

15、若多项式 x ? mx ? nx ? 16 含有因式 ( x ? 1) 和 ( x ? 2) ,则 mn ? 16、如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 顶点 A 的坐标为(0,2) ,B 点在 x 轴上,对角线 AC,BD 交于点 M,OM= 3 2 ,则点 C 的坐标为_
A O

B

x

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 78 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17、(本小题 12 分)钓鱼岛自古就是中国的领土,中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化 监视监测.一日,中国一艘海监船从 A 点沿正北方向巡航,其航线距钓鱼岛(设 M,N 为该岛的东西两端 点)最近距离为 12 海里(即 MC=12 海里) .在 A 点测得岛屿的西端点 M 在点 A 的东北方向;航行 4 海里 后到达 B 点,测得岛屿的东端点 N 在点 B 的北偏东 60° 方向, (其中 N,M, C 在同一条直线上) ,求钓鱼岛东西两端点 MN 之间的距离.

C

M N

60° B A 45°

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南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题 18、(本小题 12 分)已知 x ?

2 10( x ? y ) ? 3 xy 3? 2 3? 2 ,y? ,求 的值 3 x 2 ? 5 xy ? 3 y 2 3? 2 3? 2

19. (本小题 13 分)已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实根
2

(1)是否存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ? (2)求使

3 成立?若存在,求出 k 的值,否则说明理由 2

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值 x2 x1

第 3 页 共 11 页

南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题 20、(本小题 13 分)如图, Rt△ABC 内接于 ⊙O , AC ? BC,?BAC 的平分线 AD 与 ⊙O 交于点

D ,与 BC 交于点 E ,延长 BD ,与 AC 的延长线交于点 F ,连接 CD,G 是 CD 的中点,连结 OG .
(1)判断 OG 与 CD 的位置关系,写出你的结论并证明; (2)求证: AE ? BF ; (3)若 OG ?DE ? 3(2 ? 2) ,求 ⊙O 的面积. A F C G E O B D

第 4 页 共 11 页

南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题 21、(本小题 14 分)已知直线 y=kx+6(k<0)分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,线段 OA 上有一动点 P 由原 点 O 向点 A 运动,速度为每秒 2 个单位长度,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C,设运动时间为 t 秒. (1)当 k=-1 时,线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动,它与点 P 以相同速度同时出发,当 点 P 到达点 A 时两点同时停止运动(如图 1). ①直接写出 t=1 秒时 C、Q 两点的坐标; ②若以 Q、C、A 为顶点的三角形与△AOB 相似,求 t 的值. (2)当 k ? ?

3 2 时,设以 C 为顶点的抛物线 y=(x+m) +n 与直线 AB 的另一交点为 D(如图 2), 4

①求 CD 的长; ②设△COD 的 OC 边上的高为 h,当 t 为何值时,h 的值最大? y

y

B
C

B D
C

P
O
图1
Q

A

x

O

P

A

x

图2

第 5 页 共 11 页

南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题 22、(本小题 14 分)如图,在直角梯形 OABD 中, DB ∥OA , ?OAB ? 90? ,点 O 为坐标原点,点 A 在

x 轴的正半轴上,对角线 OB,AD 相交于点 M . OA ? 2,AB ? 2 3 , BM : MO ? 1: 2 .
(1)求 OB 和 OM 的值; (2)求直线 OD 所对应的函数关系式; (3)已知点 P 在线段 OB 上( P 不与点 O,B 重合),经过点 A 和点 P 的直线交梯形 OABD 的边 于点 E ( E 异于点 A ),设 OP ? t ,梯形 OABD 被夹在 ?OAE 内的部分的面积为 S ,求 S 关于 t 的函 数关系式. y D M B y D M E P B

O

A

x

O

(第 22 题)

A

x

第 6 页 共 11 页

南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题

南充高中 2013 年素质技能邀请赛

数 学 试 题 评 分 标 准
一、选择题答案:(每小题 4 分,共计 32 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 D 5 D 6 A 7 B 8 D

二、填空题答案:(每小题 5 分,共计 40 分) 9.________

1 ____________ 3

10.______

12 _____________ 5

11._______4028__________ 13._______ 4 3 ? 4? _____ 15._______-100_____________

12.________322____________ 14.________1______________ 16._________(6,4)__________

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 78 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)

CM =1,∴AC=CM=12, AC CN ∴BC=AC-AB=12-4=8,在 Rt△BCN 中,tan∠CBN = tan60°= = 3. BC
17.解:在 Rt△ACM 中,tan∠CAM= tan 45°= ∴CN = 3 B C= 8 3 . ∴MN = 8 3 -12.……………12 分 18、解:? x ? y ? 10, xy ? 1 …………………….. 6 分

? 3x 2 ? 5 xy ? 3 y 2 ? 3( x ? y) 2 ? 11xy ? 3 ?102 ? 11 ? 289 。。。。。。。。。。。。12 分
19. 解:(1)?一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 有两个实数根,则有 k ? 0 ,且
2

? ? (?4k )2 ? 4 ? 4k (k ? 1) ? ?16k ? 0,? k ? 0
又 x1 , x2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实根
2

? x1 ? x2 ? 1, x1 x2 ?

k ?1 4k
k ?9 4k

?

(2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? 2( x12 ? x2 2 ) ? 5 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 9 x1 x2 ? ?

3 k ?9 3 9 ,则有 ? ? ? ,? k ? 而 k ? 0 , 2 4k 2 5 3 故不存在实数 k 使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ? 成立。…………………………………6 分 2
若 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ?
第 7 页 共 11 页

南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题 (2)?

x1 x2 x 2 ? x2 2 ( x ? x )2 4k 4 ? ?2? 1 ?2? 1 2 ?4? ?4? ? x2 x1 x1 x2 x1 x2 k ?1 k ?1

要使

x1 x2 ? ? 2 的值为整数,只须 k ? 1 能整除 4,而 k 为整数,故 k ? 1 只能取 ?1, ?2, ?4 x2 x1

? k ? 0,? k ? 1 ? 1 故 k ? 1 只能取 ?1, ?2, ?4
故使

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值为 ?2, ?3, ?5 …………………………………13 分 x2 x1

20、解:(1)猜想: OG ⊥CD . 证明:如图,连结 OC、OD. ∵ OC ? OD ,G 是 CD 的中点, ∴由等腰三角形的性质,有 OG ⊥CD .………………………………….3 分 (2)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90° . 而∠CAE=∠CBF(同弧所对的圆周角相等). 在 Rt△ACE 和 Rt△BCF 中, ∵∠ACE=∠BCF=90° ,AC=BC,∠CAE=∠CBF, ∴Rt△ACE≌Rt△BCF (ASA) ∴ AE ? BF . ……………………………………………………………..7 分 (3)解:如图,过点 O 作 BD 的垂线,垂足为 H. 则 H 为 BD 的中点. ∴OH=

1 AD,即 AD=2OH. 2

又∠CAD=∠BAD ? CD=BD,∴OH=OG. 在 Rt△BDE 和 Rt△ADB 中, ∵∠DBE=∠DAC=∠BAD, ∴Rt△BDE∽Rt△ADB ∴

BD DE 2 ,即 BD ? AD ? · DE AD DB
2

· DE ? 2OG · DE ? 6(2 ? 2) ∴ BD ? AD
又 BD ? FD ,∴ BF ? 2BD . ∴ BF ? 4 BD ? 24(2 ? 2)
2 2

设 AC ? x ,则 BC ? x ,AB= 2 x . ∵AD 是∠BAC 的平分线,
第 8 页 共 11 页

南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题 ∴ ?FAD ? ?BAD . 在 Rt△ABD 和 Rt△AFD 中, ∵∠ADB=∠ADF=90° ,AD=AD,∠FAD=∠BAD, ∴Rt△ABD≌Rt△AFD(ASA). ∴AF=AB= 2 x ,BD=FD. ∴CF=AF-AC= 2 x ? x ? ( 2 ? 1) x 在 Rt△BCF 中,由勾股定理,得

BF 2 ? BC 2 ? CF 2 ? x 2 ? [( 2 ? 1) x]2 ? 2(2 ? 2) x 2
由①、②,得 2(2 ? 2) x ? 24(2 ? 2) .
2

…②

2 ∴ x ? 12 .解得 x ? 2 3 或 ?2 3 (舍去).

∴ AB ?

2x ? 2 ? 2 3 ? 2 6

∴⊙O 的半径长为 6 .

? 6) =6π ∴ S⊙O ? π(
2

…………………………………………………….13 分

21、解:(1)①C(2,4),Q(4,0)…………3 分 ②由题意得:P(2t,0),C(2t,-2t+6),Q(6-2t,0) 分两种情况讨论: 情形一:当△ AQC∽△AOB 时,∠AQC=∠AOB=90° , ∴CQ⊥OA. ∵CP⊥OA,∴点 P 与点 Q 重合,OQ=OP, 即 6-2t=2t,∴t=1.5 情形二:当△ ACQ∽△AOB 时, ∠ACQ=∠AOB=90° ,∵OA=OB=6, ∴△AOB 是等腰直角三角形, ∴△ACQ 也是等腰直角三角形, ∵CP⊥OA,∴AQ=2CP,即 2t=2(-2t+6), ∴t=2,∴满足条件的 t 的值是 1.5 秒或 2 秒.……………7 分 (2)①由题意得: C (2t ,?

3 t ? 6), 2
第 9 页 共 11 页

南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题 ∴以 C 为顶点的抛物线解析式是 y ? ( x ? 2t ) 2 ? 由 ( x ? 2t ) 2 ?

3 t ?6, 2 3 . 4

3 3 t ?6? ? x?6 2 4

解得 x1 ? 2t , x 2 ? 2t ?

过点 D 作 DE⊥CP 于点 E,则∠DEC=∠AOB=90° . ∵DE∥OA,∴∠EDC=∠OAB,

DE CD ,∵AO=8,AB=10, ? AO BA 3 ? 10 3 3 DE ? BA 4 15 DE= 2t ? (2t ? ) ? ,∴CD= ? ? ………10 分 4 4 AO 8 16
∴△DEC∽△AOB,∴ ②∵ CD ?

15 6 ? 8 24 ,CD 边上的高= , ? 16 10 5

∴S△ COD 为定值.要使 OC 边上的高 h 的值最大,只要 OC 最短,当 OC⊥AB 时 OC 最短,此 时 OC 的长为

24 ,∠BCO=90° , 5

∵∠AOB=90° ∴∠COP=90° ﹣∠BOC=∠OBA, 又∵CP⊥OA,∴Rt△ PCO∽Rt△ OAB.

24 ?6 72 OP OC OC ? BO 72 ∴ , ? , OP ? ? 5 ? , 即 2t ? 25 BO BA BA 10 25 36 36 ∴t ? ∴当 t 为 秒时,h 的值最大.………………14 分 25 25
? ? OB ? 4 22、解:(1)? ?OAB ? 90 , OA ? 2,AB ? 2 3,

BM 1 4 ? OM 1 8 ················ 4 分 ? ,? ? ,? OM ? OM 2 OM 2 3 y 8 4 (2)由(1)得: OM ? ,? BM ? . 3 3 DB BM 1 2 3) . ? ? ? DB ? 1 , D(1, ? DB ∥OA ,易证 OA OM 2 ?

D M

B

?过 OD 的直线所对应的函数关系式是 y ? 2 3x .…………………..8 分
8 (3)依题意:当 0 ? t ≤ 时, E 在 OD 边上, 3
分别过 E,P 作 EF ? OA , PN ? OA ,垂足分别为 F 和 N , y D M B O A x (第 22 题)

? tan ?PON ?

2 3 ? 3 ,??PON ? 60? , 2

E O FN A x

1 3 OP ? t, ? ON ? t,PN ? t. 2 2
第 10 页 共 11 页

南充高中 2013 年素质技能邀请赛数学试题

?直线 OD 所对应的函数关系式是 y ? 2 3x ,
2 3n) ?设 E (n,
易证得 △APN ∽△AEF ,?

PN AN , ? EF AF

3 1 t 2? t 2 ? 2 ? 2 3n 2 ? n
整理得:

t 4?t ? 2n 2 ? n 2t 8?t

y D M E P B

?8n ? nt ? 2t , n(8 ? t ) ? 2t ,? n ?
由此, S△ AOE ?

1 1 2t , OA?EF ? ? 2 ? 2 3 ? 2 2 8?t
O A

x

?S ?


4 3t 8 (0 ? t ≤ ) 8?t 3

8 ? t ? 4 时,点 E 在 BD 边上, 3

此时, S ? S梯形OABD ? S△ ABE ,? DB ∥OA , 易证:? △EPB ∽△APO

?

BE BP BE 4 ? t ,? ? ? OA OP 2 t 2(4 ? t ) ···························· 12 分 BE ? t 1 1 2(4 ? t ) 4?t S△ ABE ? BE ?AB ? ? ?2 3 ? ?2 3 2 2 t t

1 (4 ? t ) 4?t 8 3 ? S ? (1 ? 2) ? 2 3 ? ?2 3 ? 3 3 ? ?2 3 ? ? ?5 3 . 2 t t t
? 4 3t ? ? 8?t 综上所述: S ? ? ?? 8 3 ? 5 3 ? ? t 0?t≤ 8 3

8 ?t?4 3

··············· 14 分

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