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湖北省黄冈中学2010年秋季高二数学期末考试(文)


湖北省黄冈中学 2010 年秋季高二数学期末考试(文)
命题:钟春林 校对:李琳
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.复数

1? i 的模是( 4 ? 3i
B.



A.

2 5

2 5

C.

2 2 5

D.

2 25

2.下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系; ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归分析是对具有函数关系的 两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种 常用方法. A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 3.命题:“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 ( A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x0∈R,x3-x2+1≤0 0 0 C.存在 x0∈R,x3-x2+1>0 0 0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 4.若复数 z 满足 z ? 1 ? z ? i ,则 z 在复平面内对应的点的集合构成的图形是( A.圆 B.椭圆 C.直线 5.若 a>b,m>0,则下列不等式恒成立的是( A. (a ? m) ? (b ? m)
2 2

)



D.双曲线 )

B.

C. (a ? m) ? (b ? m)
3

3

b?m b ? a?m a D. am ? bm

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? n ? 0) 和双曲线 ? ? 1(a ? b ? 0) 有相同的焦点 F1 、 F2 ,P 是 6.若椭圆 m n a b
两曲线的一个公共点,则 | PF | ? | PF2 | 的值是( 1 A. m ? a C. m ? a
2 2



B.

1 (m ? a) 2

D. m ? a

7.若关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2 ? a ? 3? x ? b2 ? 9 ? 0 中,a 、b 分别是两次投掷骰子所得的点数, 则该二次方程有两个正根的概率 p 为( )

高二数学(文)

第 1 页

1 1 D. 18 12 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至多有一 8.已知双曲线 .. 2 2 4 b
A. B. C. 个交点的充要条件是( A. k ? ? ? ) B. k ? ? ??, ? ? 2 D. k ? ? ??, ?

1 3

1 9

? 1 1? , ? 2 2? ?
2 2? , ? 2 2 ?

? ?

1?

? ? , ?? ? ? ? ?2

?1

?

C. k ? ? ?

? ?

? ? ?

? 2? ? 2 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?


9. l : x ? 1 为定直线,F 为不在 l 上的定点,以 F 为焦点, l 为相应的准线的椭圆可画( A.1 个 B. 2 个 C.1 个或 2 个 D.无穷多个

10.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ,右焦点 F (c, 0) ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个 a 2 b2
) B.必在圆 x 2 ? y 2 ? 1上 D.与 x ? y ? 1的位置关系和 e 有关
2 2

实根分别为 x1 、 x2 ,则点 P( x1 , x2 ) ( A.必在圆 x 2 ? y 2 ? 1外 C.必在圆 x ? y ? 1内
2 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.与双曲线 x ?
2

y2 ? 1有共同的渐近线,且经过点(2,2)的双曲线的标准方程为 4
.

.

12.设圆 x ? y ? 2 x ? 0 上有关于直线 2 x ? y ? c ? 0 对称的两点,则 c 的值是
2 2

13. 如图, 半径为 10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1 cm 的小圆. 现 将半径为 1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上,使硬币整体随机落在纸板内,则硬 币落下后与小圆无公共点的概率为 .

14.若直线y=kx+1 与曲线 x= 范围是 .

y 2 ? 1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值

15.已知命题 p:?x∈R,使 sin x=

5 ;命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1>0. 2 给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧非 q”是假命题;③命题“非 p∨q” 是真命题;④命题“非 p∨非 q”是假命题.其中正确的是_______________. (填序号)
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高二数学期末考试答题卷(文)
题号 答案 题号 答案 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)离心率为 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 ,准线方程为 x ? ?8 ; 2

(2)长轴与短轴之和为 20,焦距为 4 5 .

1 17. (本小题满分 12 分)已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数.命题 q:当 x∈[ ,2]时,函数 2 1 1 f(x)=x+ > 恒成立.若“p 或 q”为真命题, 且 q”为假命题,求 c 的取值范围. “p x c

18. (本小题满分 12 分)设 a, b, m, n? (0, ??) ,且 m ? n ? 1 , P ? 求证: P ? Q .

ma ? nb, Q ? m a ? n b ,

19. (本小题满分 12 分)已知动圆与圆 A :x2+y2+6x+4=0 和圆 B :x2+y2—6x—36=0 都外切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 被轨迹 C 所截得的线段 PQ 的中点坐标为(—20,—16) ,求直线 l 的方程.

高二数学(文)

第 3 页

20. (本小题满分 13) 如图,F 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 a 2 b2
1 .点 C 2

一个焦点, A 、 B 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为

在 x 轴上, BC ? BF , B 、 C 、 F 三点确定的圆 M 恰好与直 线 l1 : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切. (1)求椭圆的方程; (2)过点 A 的直线 l2 与圆 M 交于 P 、 Q 两点,且 MP ? MQ ? ?2 ,求直线 l2 的方程.

???? ???? ?

21.(本小题满分 14 分)已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线经过坐标原点,且两条渐近线 与以点 P(0, 2 ) 为圆心,1 为半径的圆相切,又知 C 的一个焦点与 P 关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程; (2)设直线 y=mx+1 与双曲线 C 的左支交于 A,B 两点,另一直线 l 经过 M (?2,0) 及 AB 的中点, 求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围; (3)若 Q 是双曲线 C 上的任一点,F1、F2 为双曲线 C 的左,右两个焦点,从 F1 引 ?F1QF2 的内 角平分线的垂线,垂足为 N,试求点 N 的轨迹方程.

湖北省黄冈中学 2010 年秋季高二数学期末考试(文) 参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1—5 BCCCC 6.A

?? ? 4(a ? 3) 2 ? 4b 2 ? 36 ? 0 ?a ? 6 ?a ? 6 ? 7. 【解析】选 C. 方程有两正根的充要条件是 ? x1 ? x2 ? 2(a ? 3) ? 0 ?? ;? ?b ? 1 ?b ? 2 ? 2 ? x1 x2 ? 9 ? b ? 0 2 1 ?p? ? 6 ? 6 18
高二数学(文) 第 4 页

8.A【解析】易得准线方程是 x ? ? 方程是 9.D 10.A【解析】? x1 ? x2 ? ?

a2 2 ? ? ? ?1 b 2

所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 ,即 b 2 ? 3 ,所以

x2 y 2 ? ? 1 , 联立 y ? kx ? 2 ,可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 ,由 ? ? 0 可解得 A. 4 3

b c , x1 x2 ? ? ,? ( x1 ? x2 )2 ? ( x1x2 )2 ? 1 ,化简得 a a c x12 ? x22 ? 2 ? ( x1x2 ? 1)2 ,又 x1 x2 ? ? ? (?1, 0) ,故选 A. a

11. 【答案】

x2 y 2 ? ?1 3 12

12. 【答案】 ?2 : 13. 【答案】

77 81

提示:几何概型问题, P ?

? ? 92 ? ? (1 ? 1)2 77 ? . ? (9)2 81

14. 【答案】 (? 2, ?1) 15. 【解析】因 p 为假命题,q 为真命题,故非 p 是真命题,非 q 是假命题;所以 p∧q 是假命题, p∧非 q 是假命题,非 p∨q 是真命题.答案 ②③

x2 y 2 ? ?1; 16. 【解析】(1) 32 16
(2)

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 或 ? ? 1. 36 16 36 16

17. 【解析】由命题 p 知:0<c<1. 1 5 由命题 q 知:2≤x+ ≤ , x 2 1 1 要使此式恒成立,则 2> ,即 c> . c 2 又由 p 或 q 为真,p 且 q 为假知, p、q 必有一真一假,
高二数学(文) 第 5 页

1 当 p 为真,q 为假时,c 的取值范围为 0<c≤ . 2 当 p 为假,q 为真时,c≥1. 1 综上,c 的取值范围为{c|0<c≤ ,或 c≥1}. 2 18. 【解析】

? P 2 ? Q 2 ? ma ? nb ? m 2 a ? n 2b) 2mn ab ? ma m) nb n) 2mn ab ( ? (1- ? (1- ? ? mna ? mnb ? 2mn ab ? mn(a ? b ? 2 ab ) ? mn( a ? b ) 2 ? 0
? P ?Q.
19. 【解析】 (1)圆 A : (x+3)2+y2=5 , 圆B : (x—3)2+ y2=45

设动圆半径为 r,圆心为 M,则由已知得: ?

? MA ? r ? 5 ? ? MB ? r ? 3 5 ?

∴ MB ? MA ? 2 5

∴动圆圆心的轨迹 C 是以 A , B 为焦点,实轴长为 2 5 的双曲线的左支

? 所求的方程是

x2 y2 ? ? 1 (x<0). 5 4
x1 ? x 2 ? ?20 , 2

(2)设 l 的方程是 y+16=k(x+20) P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 , 即 x1+x2= —40??①

? y ? kx ? 20k ? 16 ? 由 ? x2 消去 y 得: (4—5k2)x2—10k(20k—16)x—5(20k—16)2—20=0 y2 ?1 ? ? 4 ?5

? ? 100k 2 (20k ?16)2 ? 80(4 ? 5k 2 ) ? 0 ??②
10 k (20 k ? 16 ) ??③ 4 ? 5k 2 10 k (20 k ? 16 ) 由①、③得: = —40 4 ? 5k 2
∴x1+x2= 经检验 k ? 1 满足② ∴所求直线 L 的方程为 y=x+4. 解二:可用点差法 20. 【解析】 (1) F (?c, 0) , B(0, 3a) ,? kBF ? 3 ,? k BC ? ?

解得 k=1

3 ,? C (3c, 0) 3

高二数学(文)

第 6 页

故设圆 M 的方程为 ( x ? c)2 ? y 2 ? 4c2 ,又圆 M 恰好与直线 l1 : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,则

c?3 1? 3

? 2c ,解得 c ? 1 ,? 所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

(2)由(1)知 A(?2, 0) ,圆 M 的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 依题意可知 l2 的斜率存在,设 l2 : y ? k ( x ? 2) ,则

???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? 2? MP ? MQ 1 ? MP ? MQ ? ?2 ,又 MP ? MQ ? 2 ,? cos ? MP, MQ ?? ???? ???? ? ? ,? ?PMQ ? ? 3 2 MP MQ
圆心 M 到直线 l2 的距离 d ?

k ? 2k 1 2 r ? 1 ,? ,故直线 l2 的方程是 ? 1 ,解得 k ? ? 2 4 k 2 ?1

4 y ? 2x ? 2 2 ? 0 .
21. 【解析】 (1)设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,则 kx-y=0 ∵该直线与圆 x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 相切, ∴双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=±x.

x2 y2 故设双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 .又双曲线 C 的一个焦点为 ( 2 ,0) a a 2 2 ∴ 2a ? 2 , a ? 1 .∴双曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . ? y ? mx ? 1 (2)由 ? 2 得 (1 ? m2 ) x 2 ? 2mx ? 2 ? 0 . 2 ?x ? y ? 1 令 f ( x) ? (1 ? m 2 ) x 2 ? 2mx ? 2 直线与双曲线左支交于两点,等价于方程 f(x)=0 在 (??,0) 上有两个不等实根.
? ?? ? 0 ? ? 2m ?0 因此 ? 2 ?1 ? m ? ?2 ?1 ? m 2 ? 0 ?

解得 1 ? m ?

m 1 , ), 2 .又 AB 中点为 ( 2 1 ? m 1 ? m2

1 ( x ? 2) . ? 2m ? m ? 2 2 2 ? 令 x=0,得 b ? .∵ m ? (1, 2 ) , 2 ? 2m ? m ? 2 ? 2(m ? 1 ) 2 ? 17 4 8 1 2 17 ? (?2 ? 2 ,1) ∴ b ? (??,?2 ? 2 ) ? (2,??) . ∴ ? 2(m ? ) ? 4 8 (3)若 Q 在双曲线的右支上,则延长 QF2 到 T,使 | QT |?| QF | , 1 若 Q 在双曲线的左支上,则在 QF2 上取一点 T,使 | QT |?| QF | . 1
∴直线 l 的方程为 y ?
2

根据双曲线的定义 | TF2 |? 2 ,所以点 T 在以 F2 ( 2 ,0) 为圆心,2 为半径的圆上,即点 T 的轨迹
高二数学(文) 第 7 页

方程是 ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 4( x ? 0)



由于点 N 是线段 F1T 的中点,设 N ( x, y) , T ( xT , yT ) .

? xT ? 2 ?x ? ?x ? 2x ? 2 ? 2 则? ,即 ? T . ? yT ? 2 y ? y ? yT ? 2 ?
代入①并整理得点 N 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . ( x ? ?

2 ). 2

高二数学(文)

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