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【走向高考】2014届高三数学二轮专题复习:专题综合检测二(Word有详解答案)


专题综合检测二
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小 题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 4 1.(文)已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 cosα=-5,则 m 等于( ) 11 B. 4 D.4

11 A.- 4 C.-4 [答案] C

/>[解析] 由题意可知,cosα=

m 4 =-5, m2+9

又 m<0,解得 m=-4,故选 C. (理)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(x,2) 3 13 是角 θ 终边上一点,且 cosθ= 13 ,则 x 的值为( A.± 3 C.3 [答案] C [解析] P 到原点的距离|PO|= x2+4,由三角函数的定义及题 B.-3 D.± 13 )

? 2x =3 13, ? 13 设条件得,? x +4 ?x>0, ?
a· 的值为( b )

解之得 x=3.

2.(2013· 海淀区期中)若向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则

1 A.-2 C.-1 [答案] A

1 B.2 D.1

[解析] ∵|a|=|b|=|a+b|,∴〈a,b〉=120° , 1 ∴a· b=1×1×cos120° =-2. π 3.(2013· 榆林一中模拟)下列函数中,周期为 π,且在区间[4, 3π 4 ]上单调递增的函数是( A.y=sin2x C.y=-sin2x [答案] C x π 4.(文)(2012· 邯郸市模拟)要得到函数 y=cos(2-4)的图象,只需 x 将函数 y=sin2的图象( ) )

B.y=cos2x D.y=-cos2x

π A.向左平移2个单位长度 π B.向右平移2个单位长度 π C.向左平移4个单位长度 π D.向右平移4个单位长度 [答案] A [解析] x π x x π 1 π π ∵y=sin2=cos(2-2)=cos(2-2)=cos[2(x-2)-4]向左

π x π 平移2个单位长度,即得 y=cos(2-4)的图象.

π (理)(2013· 天津六校联考)若把函数 y=sinωx 的图象向左平移3个 单位,则与函数 y=cosωx 的图象重合,则 ω 的值可能是( 1 A.3 2 C.3 3 B.2 1 D.2 )

[答案] B T π 4π [答案] 由条件知,4=3,∴T= 3 , 2π 3 又 T= ω ,∴ω=2. 5 π 5.(文)(2013· 德阳市二诊)若 cosθ+sinθ=- 3 ,则 cos(2-2θ)的 值为( 4 A.9 ) 2 B.9 4 D.-9
[来源:Zxxk.Com]

2 C.-9 [答案] D

5 [解析] 将 cosθ+sinθ=- 3 两边平方得, 4 sin2θ=-9, π 4 ∴cos(2-2θ)=sin2θ=-9. π (理)(2013· 苍南求知中学月考)函数 y=cos2(2x-3)的图象向左平 π 移6个单位,所得的图象对应的函数是( A.值域为[0,2]的奇函数 )

B.值域为[0,1]的奇函数 C.值域为[0,2]的偶函数 D.值域为[0,1]的偶函数 [答案] D 2π 1+cos?4x- 3 ? π π [解析] y=cos2(2x-3)= ,左移6个单位后为 y= 2 1 1 2+2cos4x 为偶函数,值域为[0,1],故选 D. → (AB → 6.(2013· 常德市模拟)在△ABC 中,若AB·→ -2AC)=0,则△ ABC 的形状为( ) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

A.直角三角形 C.等边三角形 [答案] B

→ (AB → → (CB → [解析] ∵AB·→ -2AC)=AB·→ -AC) → (CA → =AB·→ +CB)=0, → → (CB → ∴(CB-CA)·→ +CA)=0, → → ∴|CB|2=|CA|2, → → ∴|CA|=|CB|,故选 B. 7.(2013· 重庆一中月考)已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x-2y+ 2=0 平行,则 tan2α 的值为( 4 A.5 4 C.3 3 B.4 2 D.3 )

[答案] C

1 2tanα 4 [解析] ∵tanα=2,∴tan2α= 2 = . 1-tan α 3 8.(文)(2013· 保定市一模)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0, π |φ|<2)的部分图象如右图所示,则函数 f(x)的表达式为( )

π A.f(x)=sin(2x+4) π B.f(x)=sin(2x-4) 3π C.f(x)=sin(4x+ 4 ) π D.f(x)=sin(4x-4) [答案] A 3π π π [解析] 周期 T=4( 8 -8)=π,故 ω=2,又点(8,1)在图象上, π 代入可得 φ=4,故选 A. π π (理)函数 y=tan(4x-2)(0<x<4)的图象如图所示,A 为图象与 x 轴 → 的交点,过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点,则(OB+ → OA → OC)· 等于( )

A.-8 B.-4 C.4 D.8 [答案] D → [解析] A 点坐标为(2,0),即OA=(2,0), π π 由 y=tan(4x-2)的图象的对称性知 A 是 BC 的中点. → → → ∴OB+OC=2OA, → → OA → → OA → ∴(OB+OC)· =2OA· → =2×|OA|2=8.故选 D. 9.(2013· 新课标Ⅰ文,10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 C.8 B.9 D.5 )

[答案] D [解析] 本题考查了倍角公式、余弦定理.由倍角公式得

1 23cos2A+cos2A=25 cos2A-1=0,cos2A=25,△ABC 为锐角三角形

1 12 cosA=5,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2- 5 b-13=0,即 5b2-12b-65=0,解方程得 b=5. 10.(文)已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点, → (AB → 则AP·→ +AC)( A.最大值为 8 C.最小值为 2 [答案] B [解析] )
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

B.是定值 6 D.与 P 的位置有关

→ → → → 如图,∵AB+AC=AD=2AO,△ABC 为正三角形, → → ∴四边形 ABDC 为菱形,BC⊥AO,∴AP在向量AD上的投影为 → → → (AB → → |AD AO,又|AO|= 3,∴AP·→ +AC)=|AO|·→ |=6,故选 B. (理)(2013· 榆林一中模拟)如图,已知△ABC 中,点 M 在线段 AC AM MP → → 上,点 P 在线段 BM 上且满足MC= PB =2,若|AB|=2,|AC|=3,∠ → BC → BAC=120° ,则AP· 的值为( )

A.-2

B.2

2 C.3

11 D.- 3

[答案] A [解析] =-3, → BC → → BC → 1 → BC → → → ∴AP· =(AB+BP)· =(AB+3BM)· → 1 → 1 → BC → =(AB+3AM-3AB)· 2→ 1 2→ → =(3AB+3·AC)· BC 3 2→ 2→ =(3AB+9AC)·→ -AB) (AC → 4→ → 2 → 2→ =9AB· -3|AB|2+9|AC|2=-2. AC 11.(2013· 湖南理,3)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分 别为 a,b.若 2asinB= 3b,则角 A 等于( π A.12 π C.4 π D.3 π B.6 ) → 2 → → 1 → → AC → 由条件知AM=3AC,BP =3BM,AB · =2×3cos120°

[答案] D [解析] π 形.∴A=3. x2 2 12.(文)设 F1、F2 是椭圆 4 +y =1 的两个焦点,点 P 在椭圆 → PF → 上,当△F1PF2 的面积为 1 时,PF1· 2的值为( A.0 B.1 ) a b 3 由 sinA = sinB ,得 sinA= 2 ,∵△ABC 为锐角三角

1 C.2

D.2

[答案] A [解析] 设 P(x,y),F1(- 3,0),F2( 3,0), → PF → 则PF1· 2=(- 3-x,-y)· 3-x,-y)=x2+y2-3. ( 1 1 ∵△F1PF2 的面积 S=2|F→ 2||y|=2· 3· 2 |y|= 3|y|=1, 1F 1 ∴y2=3.由于点 P 在椭圆上, x2 2 8 ∴ 4 +y =1.∴x2=3. 8 1 → PF → ∴PF1· 2=x2+y2-3=3+3-3=0.故选 A. x2 y2 (理)(2013· 内江市模拟)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),F(c,0)是右焦 → FB → → 点,经过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆交于点 A、B,且FA· =0,|OA → → → -OB|=2|OA-OF|,则该椭圆的离心率为( 2 A. 2 C. 2-1 [答案] D [解析] → → 2|OA-OF|, → FB → ∴AB=2AF,∵FA· =0,∴FA⊥FB, → → → → → → → → ∵|OA -OB |=|AB |,|OA -OF |=|AF |,且|OA -OB |= 3 B. 2 D. 3-1 )

c 3 ∴OF=OA=AF,∴A(2,- 2 c)在椭圆上, c2 3c2 ∴4a2+4b2=1, c2 3c2 1 2 3 ∴4a2+ 2 =1, 2=1,∴ e + 4 4 4a -4c e2-4 ∵0<e<1,∴e= 3-1. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 写在题中横线上.) 13.(2013· 北京西城一模)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长 cosA b 3 分别为 a,b,c,且 cosB = a = 4 .若 c=10,则△ABC 的面积是 ________. [答案] 24 cosA b [解析] 由cosB=a得 acosA=bcosB, 由正弦定理得 sin2A=sin2B, cosA 3 由cosB=4知 A≠B,∴2A=π-2B, π π ∴A+B=2,∴C=2,

b 3 1 又a=4,c=10,∴b=6,a=8,S=2ab=24. π 14.(文)(2013· 北京东城区模拟)函数 f(x)=sin(x-3)的图象为 C, 有如下结论: 5π ①图象 C 关于直线 x= 6 对称; 4π ②图象 C 关于点( 3 ,0)对称; π 5π ③函数 f(x)在区间[3, 6 ]内是增函数. 其中正确的结论序号是________.(写出所有正确结论的序号) [答案] ①②③ (理)(2013· 江西八校联考)已知函数 f(x)=cosxsinx,给出下列四个 结论: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是 2π; π π ③f(x)在区间[-4,4]上是增函数; 3π ④f(x)的图象关于直线 x= 4 对称. 其中正确的结论是________. [答案] ③④ 1 kπ π [解析] f(x)=2sin2x 最小正周期 T=π,对称轴 x= 2 +4,k∈ 3π π π π Z,令 k=1 得 x= 4 ;由 2kπ-2≤2x≤2kπ+2得,kπ-4≤x≤kπ+ π π π ,取 k=0 知,f(x)在区间[-4,4]上为增函数,f(x)为奇函数,当 x1 4 =-x2 时,有 f(x1)=f(-x2)=-f(x2),但 f(x1)=-f(x2)时,由周期性知

不一定有 x1=-x2,故正确选项为③④. 15.(2013· 重庆一中月考)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM= → → → (PB → 1,点 P 在 AM 上且满足AP=2PM,则PA·→ +PC)等于________. 4 [答案] -9 → → → 2 → 1 [解析] AM=1,AP=2PM,∴|PA|=3,|PM|=3, 2 1 4 → (PB → → (2PM ∴PA·→ +PC)=PA· → )=-2×3×3=-9. 16.(文)关于平面向量 a、b、c,有下列四个命题: ①若 a∥b,a≠0,则?λ∈R,使 b=λa; ②若 a· b=0,则 a=0 或 b=0; ③存在不全为零的实数 λ,μ,使得 c=λa+μb; ④若 a· b=a· c,则 a⊥(b-c). 其中正确的命题序号是________. [答案] ①④ [解析] 逐个判断.由向量共线定理知①正确;若 a· b=0,则 a =0 或 b=0 或 a⊥b,所以②错误;在 a,b 能够作为基底时,对平面 上任意向量,存在实数 λ,μ 使得 c=λa+μb,所以③错误;若 a· b= a· c,则 a· (b-c)=0,所以 a⊥(b-c),所以④正确.故正确命题序号 是①④. (理)(2012· 浙江宁波模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分 别为 a、b、c,若 A、B、C 成等差数列,且 b=1,则△ABC 面积的 最大值为________. [答案] 3 4

[解析]

π 本题考查解三角形的相关知识.由题意得 B=3,根据

a2+c2-b2 1 余弦定理 cosB= 2ac =2, ∴a2+c2-1=ac?a2+c2=1+ac≥2ac,∴ac≤1. 1 3 3 S=2acsinB= 4 ac≤ 4 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

17.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 天津六校联考)△ABC 中,已知 4 A=45° ,cosB=5. (1)求 sinC 的值; (2)若 BC=10,D 为 AB 的中点,求 AB、CD 的长. 4 [解析] (1)∵三角形中,cosB=5,所以 B 为锐角, 3 ∴sinB=5 所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 7 2 = 10 . AB BC (2)三角形 ABC 中,由正弦定理得sinC=sinA, ∴AB=14, 又 D 为 AB 中点,所以 BD=7, 在 三 角 形 BCD 中 , 由 余 弦 定 理 得 CD2 = BC2 + BD2 - 2BC· cosB=37,∴CD= 37. BD· (理)设△ABC 的内角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,cosB

4 =5,b=2. π (1)当 A=6时,求 a 的值; (2)当△ABC 面积为 3 时,求 a+c 的值. 4 π [解析] (1)∵B 是△ABC 的内角,且 cosB=5,(0<B<2), ∴sinB= 1-cos2B= 4 3 1-?5?2=5.

a b 由正弦定理得:sinA=sinB, 1 2×2 bsinA 5 ∴a= sinB = 3 =3. 5 1 (2)由题意得:S=2acsinB, 3 ∴10ac=3,ac=10, 又由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB, 8 8 ∴a2+c2-5ac=b2,∴a2+c2=b2+5ac=20, ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=40, ∴a+c=2 10. 18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 )( 文 )(2013· 阳 市 二 诊 ) 函 数 f(x) = 德 π sinωxcosφ-cosωxsinφ(ω>0,0<φ<π)的图象过点(6,0),且相邻两条对 π 称轴间的距离为2. (1)求 f(x)的表达式;

1 1 (2)试求函数 y=f 2(2x)+2的单调增区间. [解析] (1)由题意 y=sin(ωx-φ), π ∵相邻两条对称轴间的距离为2, 2π ∴T=π= ω ,∴ω=2, 故 f(x)=sin(2x-φ), π 又 y=f(x)的图象过点(6,0), π ∴2×6-φ=kπ,k∈Z, π ∴φ=3-kπ, π 又 0<φ<π,∴φ=3, π f(x)=sin(2x-3). 1 1 π 1 (2)y=f 2(2x)+2=sin2(x-3)+2 2π 1-cos?2x- 3 ? 1 1 2π = +2=1-2cos(2x- 3 ), 2 2π 由 2kπ≤2x- 3 ≤2kπ+π, π 5π 解之得 kπ+3≤x≤kπ+ 6 , 1 1 π 5π ∴y=f 2(2x)+2的增区间为[kπ+3,kπ+ 6 ],(k∈Z). π x (理)(2013· 重庆一中月考)已知函数 f(x)=sin(x+6)+2sin22. (1)求 f(x)的单调增区间;

(2)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)= 1,a=1,c= 3,求 b 的值. [解析] π x 3 1 (1)f(x)=sin(x+ 6 )+2sin22= 2 sinx+ 2cosx+1-cosx=

3 1 π sinx-2cosx+1=sin(x-6)+1, 2 π π π π 2π 由 2kπ-2≤x-6≤2kπ+2得,2kπ-3≤x≤2kπ+ 3 , π 2π ∴增区间为[2kπ-3,2kπ+ 3 ](k∈Z). π (2)∵f(A)=sin(A-6)+1=1, π π ∴sin(A-6)=0,∴A=6, 3 由余弦定理得,12=b2+3-2b· 3·2 , ∴b2-3b+2=0,∴b=1 或 b=2. 19.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 西城二模)已知函数 f(x)=sinx 3π +acosx 的一个零点是 4 . (1)求实数 a 的值; (2)设 g(x)=[f(x)]2-2sin2x,求 g(x)的单调递增区间. 3π [解析] (1)依题意,得 f( 4 )=0, 3π 3π 2 2a ∴sin 4 +acos 4 = 2 - 2 =0, ∴a=1. (2)由(1)得 f(x)=sinx+cosx, ∴g(x)=[f(x)]2-2sin2x =(sinx+cosx)2-2sin2x

π =sin2x+cos2x= 2sin(2x+4). π π π 由 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2得, 3π π kπ- 8 ≤x≤kπ+8,k∈Z 3π π ∴g(x)的单调递增区间为[kπ- 8 ,kπ+8](k∈Z). ωx 1 ωx (理)(2013· 保定市一模)已知向量 a=(sin 2 ,2),b=(cos 2 ,- 1 )(ω>0,x≥0),函数 f(x)=a· 的第 n(n∈N*)个零点记作 xn(从左向右 b 2 依次计数),则所有 xn 组成数列{xn}. 1 (1)若 ω=2,求 x2; (2)若函数 f(x)的最小正周期为 π,求数列{xn}的前 100 项和 S100. ωx ωx 1 1 1 [解析] f(x)=a· b=sin 2 cos 2 -4=2sinωx-4. 1 1 1 1 (1)当 ω=2时,f(x)=2sin(2x)-4, π 5π 令 f(x)=0,得 x=4kπ+3或 x=4kπ+ 3 (k∈Z,x≥0),取 k=0, 5π 得 x2= 3 . 1 1 (2)因为 f(x)最小正周期为 π,则 ω=2,故 f(x)=2sin2x-4, π 5π 令 f(x)=0 得 x=kπ+12或 x=kπ+12(k∈Z,x≥0),
49 π 5π 所以 S100= ?[(kπ+12)+(kπ+12)] k=0

π π = ? (2kπ+2)=2π(0+1+2+…+49)+50×2 k=0
49

=50×49π+25π=2475π. 20.(本小题满分 12 分)(2013· 江西八校联考)如图,D 是直角△ ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.

(1)证明:sinα+cos2β=0; (2)若 AC= 3DC,求 β. [解析] (1)证明:∵AB=AD,∠ABC=β,∠CAD=α, π ∴2β=2+α, π ∴sinα+cos2β=sinα+cos(2+α)=sinα-sinα=0. (2)在△ABC 中, ∵AC= 3DC,∴sinβ= 3sinα, ∴sinβ= 3sinα=- 3cos2β=2 3sin2β- 3. π 3 ∵β∈(0,2),∴sinβ= 2 , π ∴β=3. 21.(本小题满分 12 分)(2013· 惠州质检)已知向量 m=(1, cosA),n=(sinAcosB,sinB),m· n=sin2C,且 A、B、C 分别是△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角.

(1)求角 C 的大小; → (AB → (2)设 sinA、sinC、sinB 成等比数列,且CA·→ -AC)=8,求边 c 的值. [解析] (1)由题知,m· n=sinAcosB+sinBcosA =sin(A+B)=sin(π-C)=sinC. 又 m· n=sin2C,∴sin2C=sinC, ∴sinC(2cosC-1)=0,∵0<C<π,∴sinC≠0, 1 π ∴cosC=2,∴C=3. (2)∵sinA,sinC,sinB 成等比数列, ∴sin2C=sinA· sinB. 根据正弦定理得,c2=ab. → (AB → → CB → ∵CA·→ -AC)=CA· =8,∴bacosC=8. ∴ab=1 6,∴c2=16,∴c=4. 22.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 江西师大附中、鹰潭一中联考) π 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<2)图象 π 上的任意两点,若|y1-y2|=2 时,|x1-x2|的最小值为2,且函数 f(x)的 1 图象经过点(0,2). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2sinAsinC+cos2B=1,求 f(B)的取值范围. T π [解析] (1)由题意知2=2,∴T=π, 2π 又 T= ω ,∴ω=2,

1 π π ∵f(0)=sinφ=2且 φ∈(0,2),∴φ=6, π 从而 f(x)=sin(2x+6). (2)∵2sinAsinC+cos2B=1, ∴2sinAsinC=1-cos2B=2sin2B,即 sinAsinC=sin2B, ∴ac=b2, a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 π 由 cosB= 2ac = ≥ 2ac =2,得 B∈(0,3]. 2ac π π 5π π 1 ∴2B+6∈(6, 6 ],从而 f(B)=sin(2B+6)的取值范围为[2,1]. ( 理 )(2013· 西 八 校 联 考 ) 已 知 向 量 a = (sinωx,2cosωx) , b = 江 2 3 (cosωx,- 3 cosωx)(ω>0),函数 f(x)=a· 3b+a)-1,且函数 f(x) ( π 的最小正周期为2. (1)求 ω 的值; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足:b2=ac,且边 b 所对的角为 x,若方程 f(x)=k 有两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)=a· 3b+a)-1 ( =(sinωx,2cosωx)· (sinωx+ 3cosωx,0)-1 3 1 1 = 2 sin2ωx-2cos2ωx-2 π 1 =sin(2ωx-6)-2. 2π π ∵T=2ω=2,∴ω=2. π 1 (2)由(1)知,f(x)=sin(4x-6)-2,

a2+c2-b2 2ac-ac 1 ∵在△ABC 中,cosx= 2ac ≥ 2ac =2, π π π 7π ∴0<x≤3,∴-6<4x-6≤ 6 . π 1 ∴f(x)=sin(4x-6)-2=k 有两个不同的实数解时,k 的取值范围 1 是(-1,2).

一、选择题 5π 1.(文)(2013· 天津十二区县联考)将函数 y=cos(x- 6 )的图象上 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得图象向左 π 平移3个单位,则所得函数图象对应的解析式是( x π A.y=cos(2-4) C.y=sin2x [答案] D [解析] 5π 1 5π π 各点横坐标 y=cos(x- 6 )伸长到原来的2倍y=cos(2x- 6 )向左平移 ――→ ――→ 3个单位 π B.y=cos(2x-6) )

x 2π D.y=cos(2- 3 )

x 2π y=cos(2- 3 ). π (理)(2013· 眉山市二诊)将函数 y=cos(x+3)的图象上各点的横坐 π 标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移6个单位,所得函数 的最小正周期为( )

A.π C.4π

B.2π D.8π

[答案] C [解析] x 5π cos(2+12). 2π ∴最小正周期为 T= 1 =4π. 2 2.(文)已知向量 a=(1,2),b=(x,-4),若 a∥b,则 a· 等于 b ( ) A.-10 C.0 B.-6 D.6 π 各点的横坐标 x π π y=cos(x+3)伸长到原来的2倍y=cos(2+3)向左平移y= ――→ ――→ 6个单位

[答案] A [解析] 由 a∥b 得 2x=-4,x=-2,a· b=(1,2)· (-2,-4)=- 10,故选 A. (理)(2012· 河南豫北六校精英联考)已知向量 a=(1,1-cosθ)且 b= 1 (1+cosθ,2),a∥b,则锐角 θ 等于( A.30° C.60° [答案] B [解析] 本题主要考查向量平行的概念及特殊角的三角函数 B.45° D.75° )
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

1 值.由两向量平行可得2=1-cos2θ, 2 ∴cosθ=± 2 ,

又 θ 为锐角,∴θ=45° ,故选 B. 5 3 3.在△ABC 中,已知 cosA= 13 ,sinB= 5 ,则 cosC 的值为 ( ) 16 A.65 16 56 C.65或65 [答案] A 5 12 3 [ 解析] 由 cosA=13>0 得 A 为锐角,且 sinA=13,sinB=5, 4 sinA>sinB,因此 B 为锐角,于是 cosB=5,cosC=cos[π-(A+B)]= 16 -cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=65,选 A. 1-cos2x 4.(文)(2013· 大兴区模拟)函数 f(x)= cosx ( π π A.在(-2,2)上递增 π π B.在(-2,0]上递增,在(0,2)上递减 π π C.在(-2,2)上递减 π π D.在(-2,0]上递减,在(0,2)上递增 [答案] D
? |sinx| ?tanx, ?sinx>0?, [解析] f(x)= cosx =? ∴选 D. ?-tanx, ?sinx<0?. ?

56 B.65 16 56 D.-65或65

)

π (理)函数 f(x)=tan(4-x)的单调递减区间为(

)

3π π A.(kπ- 4 ,kπ+4),k∈Z π 3π B.(kπ-4,kπ+ 4 ),k∈Z π π C.(kπ-2,kπ+2),k∈Z D.(kπ,(k+1)π),k∈Z [答案] B π π [解析] f(x)=tan(4-x)=-tan(x-4), 所以 f(x)的单调递减区间满足不等式 π π π -2+kπ<x-4<2+kπ,k∈Z,即 π 3π -4+kπ<x< 4 +kπ,k∈Z,故选 B. 5.(2013· 江西八校联考)设 f1(x)=cosx,定义 fn+1(x)为 fn(x)的导 数,即 fn+1(x)=fn′(x),n∈N+,若△ABC 的内角 A 满足 f1(A)+f2(A) +…+f2013(A)=0,则 sinA 的值是( A.1 2 C. 2 3 B. 2 1 D.2 )

[答案] A [解析] f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,f3(x)=f2′(x)=-

cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx,f5(x)=f4′(x)=cosx,…可见 fn(x)关于 n 呈 周期出现,周期为 4.且 f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, ∴f1(A)+f2(A)+…+f2013(A)=503×0+f2013(A)=f1(A)=cosA= 0, ∴sinA=1.故选 A.

6.(2013· 苍南求知中学月考)已知定义在 R 上的函数 f(x)是周期 3 为 3 的奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=sinπx,则函数 f(x)在区间[0,5] 上的零点个数为( A.9 C.7 [答案] D 3 3 [解析] 由条件知,当 x∈(-2,2)时,f(x)=sinπx. ∴f(-1)=f(0)=f(1)=0. 又 f(x)的周期为 3, ∴f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0. ∴f(x)在区间[0,5]上有 6 个零点. 7.函数 y=sinx(3sinx+4cosx)(x∈R)的最大值为 M,最小正周期 为 T,则有序数对(M,T)为( A.(5,π) C.(-1,2π) [答案] B [解析] 依题意得 y=3sin2x+2sin2x= 3?1-cos2x? 5 +2sin2x= 2 2 B.(4,π) D.(4,2π) ) ) B.8 D.6

3 3 2π sin(2x-θ)+2(其中 tanθ=4),所以 M=4,T= 2 =π,结合各选项 知,选 B. 8.(文)若向量 a、b 满足 a+b=(2,-1),a=(1,2),则向量 a 与 b 的夹角等于( A.45° C.120° ) B.60° D.135°

[答案] D [解析] 依题意得 b=(a+b)-a=(1,-3). 设 a、b 的夹角为 θ,则 1-6 a· b 2 cosθ=|a||b|= =- 2 . 5× 10 又 0° ≤θ≤180° ,因此 θ=135° ,选 D. (理)(2012· 新疆维吾尔自治区检测)已知向量|a|=2,|b|=3,a、b 的夹角为 120° ,那么|a-b|等于( A.19 C.7 B. 19 D. 7 )

[答案] B [解析] ∵|a|=2,|b|=3, 〈a,b〉 =120° ,∴a· b=|a|· cos120° |b|· =-3,∴|a-b|2=|a|2+|b|2-2· b=4+9-2×(-3)=19,∴|a-b| a· = 19. → → 9.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中 → → → 点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC=( A.(-6,21) C.(6,-21) [答案] A
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)

B.(-2,7) D.(2,-7)

→ → → → → → → [解析] 由题意得BC=3PC=3(PA+AC)=3(PA+2AQ)=3[PA+ → → → → → 2(PQ-PA)]=-3PA+6PQ,代入已知量有BC=(-6,21),故选 A. 5 10.(文)在△ABC 中,若 tanA=-12,则 cosA=( 12 A.-13 5 B.-13 )

5 C.13

12 D.13

[答案] A sinA 5 [解析] tanA=cosA=-12<0,又因为 A 为△ABC 的内角,所以 π 2<A<π,所以 sinA>0,cosA<0. 12 再根据 sin2A+cos2A=1,可知 cosA=-13,选 A. (理)若△ABC 的角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,且 a=1,∠B =45° △ABC=2,则 b=( ,S A.5 C. 41 B.25 D.5 2 )

[答案] A 1 [解析] 解法 1:由 S△ABC=2acsin45° =2?c=4 2, 再由余弦定理可得 b=5. 解法 2:作三角形 ABC 中 AB 边上的高 CD, 2 在 Rt△BDC 中求得高 CD= 2 ,结合面积求得 7 2 AB=4 2,AD= 2 ,从而 b= AD2+CD2=5. 11.(文)在△ABC 中,若 2cosB· sinA=sinC,则△ABC 的形状一 定是( ) B.直角三角形

A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 [答案] C

D.等边三角形

[解析] 解法 1:∵C=π-(A+B),

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2cosBsinA. ∴sinAcosB-cosAsinB=0,即 sin(A-B)=0. ∵-π<A-B<π,∴A-B=0,即 A=B. a2+c2-b2 a c 解法 2:由正弦定理 sinA=2R,sinC=2R,cosB= 2ac , a2+c2-b2 a c 代入条件式得 2· 2ac · =2R, 2R ∴a2=b2.故 a=b. A ( 理 )(2012· 北 三 省 四 市 第 二 次 联 考 ) 在 △ ABC 中 , cos 2 = 东 1+cosB 2 ,则△ABC 一定是( A.等腰三角形 )

B.直角三角形 D.无法确定

C.等腰直角三角形 [答案] A [解析] A 由 cos 2 =

1+cosB A 及 2cos2 2 -1=cosA 得,cosA= 2

cosB,∴A=B,故选 A. 12.在△ABC 中,∠A=60° ,最大边和最小边恰为方程 x2-7x +11=0 的两根,则第三边的长是( A.3 C.5 [答案] B [解析] 设最大边为 x1,最小边为 x2,且 x1+x2=7,x1x2=11.而 a 边不是最大边和最小边,故 a2 =x 2 +x 2 -2x1x2· cosA=(x1 +x2)2 - 1 2 2x1x2-2x1x2cosA=(x1+x2)2-3x1x2=72-3×11=16,∴a=4. 二、填空题 B.4 D.6 )

13.(2012· 新疆维吾尔自治区检测)角 α 的顶点在坐标原点,始 边为 x 轴正半轴,终边落在直线 x+3y=0 上,则 sin2α 的值等于 ________. 3 [答案] -5 [解析] 在角 α 终边上任取一点 P(-3,1),|OP|= 10,∴sinα= -3 1 3 ,cosα= ,∴sin2α=2sinαcosα=-5. 10 10 14.(文)(2012· 河南新乡、平顶山、许昌三调)设向量 a,b 的夹 角为 θ,且 a=(3,3),2b-a=(-1,1),则 cosθ=________. [答案] [解析] 3 10 10 ∵a=(3,3),2b-a=(-1,1),∴b=(1,2),∴cosθ=

a· b 9 3 10 = = 10 . |a|· 3 2× 5 |b| (理)在正三角形 ABC 中,D 是边 BC 上的点,若 AB=3,BD= → AD → 1,则AB· =________. [答案] 15 2

→ AD → → → → → → BD → [解析] AB· =AB(AB+BD)=AB2+AB· 3 15 =32+3×1×cos120° =9-2= 2 . 15.(2012· 河南豫北六校精英联考)已知 a、b、c 分别是△ABC 的 三个内角 A、B、C 的对边,若 c=2,b= 3,A+C=3B,则 sinC= ________. [答案] 6 3

π [解析] 本题主要考查正弦定理及应用.由 A+C=3B 得 B=4, c 6 由正弦定理知,sinC=bsinB= 3 . π? ? 16.(文)函数 f(x)=3sin?2x-3?的图象为 C,如下结论中正确的
? ?

是________(写出所有正确结论的编号). ..

11 ①图象 C 关于直线 x=12π 对称;
?2π ? ②图象 C 关于点? 3 ,0?对称; ? ? ? π 5π? ③函数 f(x)在区间?-12,12?内是增函数; ? ?

π ④由 y=3sin2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象 C. [答案] ①②③ π? ?11 ? ?11 [解析] ①∵f?12π?=3sin? 6 π-3? ? ? ? ? 3 11 =3sin2π=-3,∴x=12π 为对称轴. π? ?2π? ?4 ②∵f? 3 ?=3sin?3π-3?=3sinπ=0,
? ? ? ?

?2π ? ∴? 3 ,0?为 f(x)的图象的对称中心. ? ?

π 5π π π π ③由-12<x<12?-2<2x-3<2,
? π π? 由于函数 y=3sinx 在?-2,2?内单调递增, ? ? ? π 5π? 故函数 f(x)在?-12,12?内单调递增. ? ?

π ④由 y=3sin2x 的图象向右平移 3 个单位长度得到函数 y= π? 2π? ? ? 3sin2?x-3?=3sin?2x- 3 ?的图象,故答案为①②③.
? ? ? ?

(理)定义一种运算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数 f(x)= ( 3,2sinx)?(cosx,cos2x)的图象向左平移 n(n>0)个单位长度所得图 象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为________. 5π [答案] 12 [解析] f(x)= 3cos2x-2sinxcosx= 3cos2x-sin2x=2cos(2x+

π 6),将 f(x)的图象向左平移 n 个单位长度对应的函数解析式为 f(x)= π π 2cos[2(x+n)+6]=2cos(2x+2n+6),要使它为偶函数,则需要 2n+ π kπ π =kπ(k∈Z),所以 n= 2 -12(k∈Z),因为 n>0,所以当 k=1 时,n 6 5π 有最小值12. 三、解答题 17.(2012· 河南商丘模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 为 a、b、c,且 bcosC=(3a-c)cosB. (1)求 cosB 的值;

→ BC → (2)若BA· =2,且 b=2 2,求 a 和 c 的值. [解析] (1)由正弦定理得,sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB, ∴sin(B+C)=3sinAcosB, 可得 sinA=3sinAcosB. 1 又 sinA≠0,∴cosB=3. → BC → (2)由BA· =2,可得accosB=2. 1 又 cosB=3,∴ac=6. 由 b2=a2+c2-2accosB,及 b=2 2, 可得 a2+c2=12, ∴(a-c)2=0,即 a=c. ∴a=c= 6. 6 18.已知在△ABC 中,cosA= 3 ,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边. (1)求 tan2A 的值; π 2 2 (2)若 sin(2+B)= 3 ,c=2 2,求△ABC 的面积. 6 [解析] (1)因为 cosA= 3 ,A∈(0,π), 3 2 所以 sinA= 3 ,则 tanA= 2 . 所以 tan2A= 2tanA =2 2. 1-tan2A

π 2 2 2 2 (2)由 sin(2+B)= 3 ,得 cosB= 3 , 1 又 B∈(0,π),所以 sinB=3.

6 则 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 3 . csinA 由正弦定理知 a= sinC =2,所以△ABC 的面积为 1 2 2 S=2acsinB= 3 . 19.已知 A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα). π → BC → (1)若AC· =-1,求 sin(α+4)的值; → → → (2)O 为坐标原点,若|OA-OC|= 13,且 α∈(0,π),求OB与 → OC的夹角. → [解析] (1)AC=(cosα-3,sinα), → BC=(cosα,sinα-3), → BC → 所以AC· =(cosα-3)· cosα+sinα(sinα-3)=-1, 得 sin2α+cos2α-3(sinα+cosα)=-1, π 2 所以 sin(α+4)= 3 . → → (2)因为|OA-OC|= 13, 所以(3-cosα)2+sin2α=13, 1 所以 cosα=-2, 2π 3 因为 α∈(0,π),所以 α= 3 ,sinα= 2 , 1 3 → OC 3 3 → 所以 C(-2, 2 ),所以OB· = 2 , → → 设OB与OC的夹角为 θ,

→ OC → OB· 3 则 cosθ= =2, → → |OB||OC| π 因为 θ∈(0,π),所以 θ=6为所求. 20.(文)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 m =(2b-c,cosC),n=(a,cosA),且 m∥n. (1)求角 A 的大小;
?π ? (2)记 B=x,作出函数 y=2sin2x+cos?3-2x?的图象. ? ?

[解析] (1)由 m∥n 得,(2b-c)· cosA-acosC=0, 由正弦定理得:2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0, ∴2sinBcosA-sin(A+C)=0,∴2sinBcosA-sinB=0, 1 π ∵A,B∈(0,π),∴sinB≠0,cosA=2,∴A=3. π 1 3 1 (2)y=2sin2x+cos(3-2x)=2sin2x+2cos2x+ 2 sin2x=1-2cos2x 3 π + 2 sin2x=sin(2x-6)+1, 2π ∵B=x,∴由(1)知 x∈(0, 3 ).

列表: x 0 π 12 π 3 7π 12 2π 3

y

1 2

1

2

1

1 2

π 函数 y=2sin2x+cos(3-2x)的图象如图所示. π?? ? ? π (理)已知向量 m=1,sinωx+3,n=?2,2sin?ωx-6??(其中 ω 为 ? ? ?? 正常数).
?π 2π? (1)若 ω=1,x∈?6, 3 ?,求 m∥n 时 tanx 的值; ? ?

(2)设 f(x)=m· n-2,若函数 f(x)的图象的相邻两个对称中心的距 π? ? π 离为2,求 f(x)在区间?0,2?上的最小值. ? ? π? π? ? ? [解析] (1)m∥n 时,sin?x-6?=sin?x+3?,
? ? ? ?

π π π π sinxcos6-cosxsin6=sinxcos3+cosxsin3, 3 1 1 3 则 2 sinx-2cosx=2sinx+ 2 cosx. ∴ 3-1 3+1 3+1 sinx= 2 cosx,所以 tanx= =2+ 3. 2 3-1
? ? ? ?

π? ? π? ? (2)f(x)=2sin?ωx-6?sin?ωx+3? π? π? π? ?? ? =2sin?ωx-6?cos??ωx+3?-2?
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

π? ? π? π? ? ? =2sin?ωx-6?cos?ωx-6?=sin?2ωx-3?.
?

π? ? π? ? (或 f(x)=2sin?ωx-6?sin?ωx+3?
? ? ? ?

=2? =2?

? 3 ??1 ? 1 3 sinωx-2cosωx??2sinωx+ 2 cosωx? ?2 ?? ? ? 3 2 ? 3 1 sin ωx- 4 cos2ωx+2sinωxcosωx? ?4 ?

π? ? 3 1 =- 2 sin2ωx+2sin2ωx=sin?2ωx-3?.) ? ? π ∵函数 f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为2, ∴f(x)的最小正周期为 π,又 ω 为正常数, π? ? 2π ∴2ω=π,解得 ω=1.故 f(x)=sin?2x-3?.
? ?

π? ? π π 2π 因为 x∈?0,2?,所以-3≤2x-3≤ 3 .
? ?

π 3 故当 x=-3时,f(x)取最小值- 2 . π 21.(文)(2013· 湖南文,16)已知函数 f(x)=cosx· cos(x-3). 2π (1)求 f( 3 )的值; 1 (2)求使 f(x)<4成立的 x 的取值集合. 2π 2π π [解析] (1)f( 3 )=cos 3 · 3 cos π π 1 1 =-cos3· 3=-(2)2=-4. cos π (2)f(x)=cosx· cos(x-3) 1 3 =cosx· cosx+ 2 sinx) (2 1 3 =2cos2x+ 2 sinxcosx 1 3 =4(1+cos2x)+ 4 sin2x 1 π 1 =2cos(2x-3)+4.

1 1 π 1 1 f(x)<4等价于2cos(2x-3)+4<4, π π π 3π 即 cos(2x-3)<0.于是 2kπ+2<2x-3<2kπ+ 2 ,k∈Z,解得 kπ+ 5π 11π 1 5π <x<kπ+ 12 ,k∈Z.故使 f(x)<4 成立的 x 的取值集合为{x|kπ+12 12 11π <x<kπ+ 12 ,k∈Z}. π π (理)(2013· 湖南理,17)已知函数 f(x)=sin(x-6)+cos(x-3),g(x) x =2sin22. 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α)= 5 ,求 g(α)的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. π π [解析] f(x)=sin(x-6)+cos(x-3) 3 1 1 3 = 2 sinx-2cosx+2cosx+ 2 sinx = 3sinx, x g(x)=2sin22=1-cosx. 3 3 3 (1)由 f(α)= 5 得 sinα=5. 又 α 是第一象限角,所以 cosα>0. 4 1 从而 g(α)=1-cosα=1- 1-sin2α=1-5=5. (2)f(x)≥g(x)等价于 3sinx≥1-cosx,即 3sinx+cosx≥1. π 1 于是 sin(x+6)≥2.

π π 5π 从而 2kπ+6≤x+6≤2kπ+ 6 ,k∈Z, 2π 即 2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z. 2π 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈ Z}. 22.(2013· 湖北理,17)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别 是 a,b,c.已知 cos2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sinBsinC 的值. [解析] (1)由 cos2A-3cos(B+C)=1,得 2cos2A+3cosA-2=0. 1 即(2cosA-1)(cosA+2)=0,解得 cosA=2或 cosA=-2(舍去) π 因为 0<A<π,所以 A=3 1 1 3 3 (2)由 S=2bcsinA=2bc·2 = 4 bc=5 3,得 bc=20,又 b=5, 所以 c=4, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21,故 a= 21, b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sinBsinC=asinA·sinA= a2 sin2A=21×4=7. a


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