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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:3-1-3 空间向量的数量积运算


成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

第三章
空间向量与立体几何

第三章

空间向量与立体几何

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第三章
3.1 空间向量及其运算

第三章

空间向量与立体几何

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第三章
第 3 课时 空间向量的数量积运算

第三章

空间向量与立体几何

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课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结

第三章

3.1

第3课时

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课程目标解读

第三章

3.1

第3课时

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掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律.

第三章

3.1

第3课时

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课前自主预习

第三章

3.1

第3课时

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→ 1.已知两个非零向量 a、b,在空间任取一点 O,作OA= → ∠AOB 〈a,b〉 a,OB=b,则角______叫做向量 a 与 b 的夹角,记作______. 通常规定 0° ≤〈a,b〉≤180° ,且〈a,b〉=〈b,a〉

90° 如果〈a,b〉=____,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b.

第三章

3.1

第3课时

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2.空间两个非零向量 a、b,a· b=_______________ |a||b|cos a, 〈 b〉 叫做向量 a、b 的数量积(或内积). 同平面向量一样,空间两个向量的数量积是一个实数,空 间两个向量的数量积也具有如下性质:

a· b=0 (1)a⊥b?__________;

第三章

3.1

第3课时

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(2)|a|2=_____; a· a 空间两个向量的数量积同样满足如下运算律:

b) (1)(λa)· λ(a· b=_________; a (2)a· b· b=_____;(交换律) a· c+b· c (3)(a+b)· c=____________ (分配律).

第三章

3.1

第3课时

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3.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面

一条斜线的射影 的____________________垂直,那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个
这条斜线在平面内的射影 平面的一条斜线垂直,那么它也和______________________垂

直. 即与斜线垂直?与射影垂直.

第三章

3.1

第3课时

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重点难点展示

第三章

3.1

第3课时

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重点:理解掌握两个向量的夹角,两个向量的数量积的概 念,理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用. 难点:两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转 化为向量计算问题.

第三章

3.1

第3课时

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学习要点点拨

第三章

3.1

第3课时

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1.由于空间任意两个向量都可转化为共面向量,所以空 间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和 表示及向量的模的概念和表示等,都与平面向量相同. 2.要准确理解两向量夹角的概念,它和两直线夹角是不 同的,它与向量的方向有关,其取值范围是[0,π]. 记〈a,b〉=θ,a、b 都是非零向量.

第三章

3.1

第3课时

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①a∥b 时,θ=0 或 π,θ=0 时,a 与 b 同向; θ=π 时,a 与 b 反向. π ②a⊥b?θ= ?a· b=0. 2 ③θ 为锐角时,a· b>0,但 a· 时,θ 可能为 0;θ 为钝角 b>0 时,a· b<0,但 a· 时,θ 可能为 π. b<0 ④|a· b|≤|a|· |b|,特别地,当 θ=0 时,a· b=|a|· |b|,当 θ=π 时,a· b=-|a|· |b|.

第三章

3.1

第3课时

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⑤对于实数 a、b、c,若 ab=ac,a≠0,则 b=c;对于向 量 a、b、c,若 a· b=a· c,a≠0,却推不出 b=c,只能得出 a ⊥(b-c). ⑤a· ? a=0 或 b=0,a=0 时,一定有 a· b=0 / b=0. ⑥三个不为零的三个实数 a、b、c,有(ab)c=a(bc)成立, 但对于三个向量 a、b、c,(a· c≠a· c),因为 a· 是一个实 b)· (b· b 数,(a· 是与 c 共线的向量,而 a(b· b)c c)是与 a 共线的向量,a 与 c 却不一定共线.

第三章

3.1

第3课时

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与平面上两个向量的数量积一样,空间两个向量的数量积 也具有如下性质. 1° a⊥b?a· b=0.用于判断两向量是否垂直. 2° 2=a· 用于求向量的模. |a| a 3° b|≤|a||b|用于判断或证明不等式. |a·

第三章

3.1

第3课时

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课堂典例讲练

第三章

3.1

第3课时

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思路方法技巧

命题方向
[例 1]

向量的数量积的概念与运算

如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对

角线长都等于 1,点 E、F 分别是 AB、AD 的中点,计算 → → → → → → → → (1)EF· ;(2)EF· ;(3)EF· ;(4)BF· . BA BD DC CE

第三章

3.1

第3课时

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[分析]

求向量的数量积,关键是把所求向量用已知长度

和夹角的向量线性表示,然后据定义进行计算,特别注意 a 与 → → → b 的夹角是其方向的夹角. 〈BD, 〉 如 DC =120° 易错写成 , 〈BD, → DC〉=60° .

第三章

3.1

第3课时

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[解析]

1 → → 1→ → 1 → → → → (1)EF· = BD· = |BD|· |cos〈BD,BA〉= BA BA |BA 2 2 2

1 ×1×1×cos60° 4. = → → 1→ → → → (2)EF· =2|BD|· |cos〈BD,BD〉 BD |BD 1 1 = ×1×1×cos0° . = 2 2

第三章

3.1

第3课时

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1 → → 1→ → 1 → → → → (3) EF · = BD · = |BD| · DC DC |DC| cos 〈 BD , DC 〉 = 2 2 2 1 ×1×1×cos120° =- . 4 → → 1 → → 1 → → (4)BF· =2(BD+BA)·(CB+CA) CE 2 1 → → → → → → → → = [BD· (-BC)+BA· (-BC)+BD· +BA· ] CA CA 4 1 → → → → → → → → → =4[-BD· -BA· +(CD-CB)· +AB· ] BC BC CA AC 1 1 1 1 1 1 1 = [- - + - + ]=- . 4 2 2 2 2 2 8
第三章 3.1 第3课时

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向量 a、b 之间的夹角为 30° ,且|a|=3,|b|=4,则 a· b= ________,a2 =________,b2 =________,(a+2b)· (a-b)= ________.

[答案]

6 3 9 16 6 3-23

第三章

3.1

第3课时

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[解析]

a· b=|a||b|cos〈a,b〉=3×4×cos30° =6 3;

a2=a· a=|a|2=9; b2=b· b=|b|2=16; (a+2b)· (a-b)=a2+a· b-2b2=9+6 3-32 =6 3-23.

第三章

3.1

第3课时

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命题方向

向量的夹角

[例 2]

如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求异

面直线 A1B 与 AC 所成的角.

第三章

3.1

第3课时

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[分析]

要求 A1B 与 AC 所成的角,可利用平面几何知识

→ → 求解,也可选择向量AC与A1B,利用数量积求两向量的夹角, 然后转化为异面直线所成的角.

第三章

3.1

第3课时

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[解析]

→ → → 不妨设正方体的棱长为 1, 设AB=a,AD=b,AA1

=c,则|a|=|b|=|c|=1,a· b=b· c=c· a=0, → → A1B=a-c,AC=a+b. → → → 2 ∴A1B· =(a-c)· AC (a+b)=|a| +a· b-a· c-b· c=1,而|A1B| → =|AC|= 2. → → ∴cos〈A1B,AC〉= 1 1 → → = ,∴〈A1B,AC〉=60° . 2× 2 2

因此,异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60° .
第三章 第3课时

3.1

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[点评]

空间向量中,求两向量夹角与平面向量求法完全

a· b 相同, 都是应用公式 cos 〈a, = b〉 , 解题的关键就是求 a· b |a|· |b| 和|a|、|b|.求模时主要应用|a|2=a· 解决. a

第三章

3.1

第3课时

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2 已知|a|=2 2,|b|= ,a· b= 2,则 a 与 b 的夹角为 2 ________.
[答案] 45°

第三章

3.1

第3课时

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[解析]

a· b cos〈a,b〉= = |a|· |b|

2 = , 2 2 2 2× 2

2

∵0° ≤〈a,b〉≤180° , ∴〈a,b〉=45° ,∴a 与 b 夹角的大小为 45° .

第三章

3.1

第3课时

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命题方向

建模应用引路 垂直问题

[例 3]

已知三棱锥 O-ABC 中,∠AOB=∠BOC=∠

AOC,且 OA=OB=OC.M、N 分别是 OA、BC 的中点,G 是 MN 的中点,求证:OG⊥BC. [分析] → → → 要证 OG⊥BC, 只要证OG· =0, BC 关键是把OG、

→ → → → BC用一组基向量OA、OB、OC表示出来.

第三章

3.1

第3课时

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[证明] =θ,

如图所示,连结 ON,设∠AOB=∠BOC=∠AOC

→ → → 又设OA=a,OB=b,OC=c,则|a|=|b|=|c|, ∴a· b=b· c=a· c =|a|2cosθ,
第三章 第3课时

3.1

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→ 1 → → 又OG= (OM+ON) 2 1 1→ 1 → → 1 =2[2OA+2(OB+OC)]=4(a+b+c). → BC=c-b, → → 1 ∴OG· =4(a+b+c)(c-b), BC 1 =4(ac-ab-b2+c2)=0. ∴OG⊥BC.

第三章

3.1

第3课时

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[点评]通过证明两个非零向量的数量积为零来证明两个向 量垂直,从而说明两个向量所在的直线垂直,这是利用数量积 证明空间垂直问题的常用方法.

第三章

3.1

第3课时

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已知空间四边形 OABC 中,M、N、P、Q 分别为 BC、AC、 OA、OB 的中点,若 AB=OC,求证:PM⊥QN.

第三章

3.1

第3课时

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[证明]

→ → → 如图,设OA=a,OB=b,OC=c, 又 P、M 分别为 OA,BC 的中点. 1 → → → 1 ∴PM=OM-OP=2(b+c)-2a
第三章 3.1 第3课时

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1 =2[(b-a)+c]. 1 1 → 1 同理,QN= (a+c)- b=- [(b-a)-c]. 2 2 2 1 → → ∴PM· =-4[|b-a|2-|c|2], QN 又 AB=OC,即|b-a|=|c|. → → → → ∴PM· =0.∴PM⊥QN,即 PM⊥QN. QN

第三章

3.1

第3课时

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命题方向

探索延拓创新 距离问题

[例 4]

如图(1),在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,

∠ACD=90° ,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60° 角(如图(2)),求 B、D 间的距离.

第三章

3.1

第3课时

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[分析]

→ → 求 B、 间的距离就是求|BD|, D 关键是如何表示|BD

→ → → → |,由题意可知BD=BA+AC+CD.

第三章

3.1

第3课时

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[解析]

→ → → → ∵∠ACD=90° ,∴AC· =0.同理AC· =0. CD BA

∵AB 与 CD 成 60° 角, → → ∴〈BA,CD〉=60° 120° 或 . → 2 → 2 → 2 → 2 → → → → ∴ | BD | = | BA | + | AC | + | CD | + 2 BA · + 2 BA · + AC CD → → → 2AC· =3+2×1×1×cos〈BA,CD〉 CD ,

第三章

3.1

第3课时

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→ → →2 当〈BA,CD〉=60° 时,|BD| =4, → ∴|BD|=2. → → →2 当〈BA,CD〉=120° 时,|BD| =2, → ∴|BD|= 2. 即 B、D 间的距离为 2 或 2.

第三章

3.1

第3课时

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[点评]

利用数量积求空间距离的基本方法:

利用数量积求空间两点的距离或某条线段的长可以转化 为求向量的模的问题,其基本思路是: (1)选择以两点为端点的向量. 将此向量表示为几个已知向 量的和或差的形式; (2)求出几个已知向量两两之间的夹角与模; (3)利用公式|a|= a· a求出模,即求出空间两点间的距离.

第三章

3.1

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已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的 三条棱长都是 1,且两两夹角为 60° ,求 AC1 的长.

第三章

3.1

第3课时

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→ → → → [解析] AC1=AB+AD+AA1, → → → → ∴|AC1|2=(AB+AD+AA1)2 →2 → 2 → 2 → → → → → → =AB +AD +AA1 +2AB· +2AB· 1+2AD· 1 AD AA AA = 1 + 1 + 1 + 2×1×1×cos60°+ 2×1×1×cos60°+ 2×1×1×cos60° =6. → ∴|AC1|= 6.

第三章

3.1

第3课时

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名师辨误作答

[例 5]

在四面体 OABC 中,各棱长都相等,E、F 分别为

AB,OC 的中点,求异面直线 OE 与 BF 所夹角的余弦值.

第三章

3.1

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[错解]

→ → → 取OA=a,OB=b,OC=c,且|a|=|b|=|c|=1,则

1 a· b=b· c=c· 2. a= 3 → 3 → 1 → 1 → 又∵OE= (a+b),BF= c-b,|OE|= ,|BF|= . 2 2 2 2 1 → → 1 ∴OE· =2(a+b)·2c-b) BF ( 1 1 1 1 2 = a· b· a· |b| c+ c- b- 4 4 2 2

第三章

3.1

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1 =-2. → → OE· BF 2 → → ∴cos〈OE,BF〉= =-3. → → |OE||BF 2 ∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为- . 3

第三章

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[辨析]

错解的原因是对两向量的夹角理解不透彻,事实

上,两向量夹角的取值范围是[0,π],异面直线所成的角的范 π 围是(0,2],异面直线 l1、l2 所成的角为 θ,方向向量为 a,b, π π 当 0<〈a,b〉≤2时,θ=〈a,b〉 ,即 cosθ=cos〈a,b〉 2 ,当 <〈a,b〉<π 时,θ=π-〈a,b〉 ,即 cosθ=|cos〈a,b〉|.

第三章

3.1

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[正解]

→ → → 取OA=a,OB=b,OC=c,

且|a|=|b|=|c|=1, 1 则 a· b=b· c=c· . a= 2 → 1 → 1 又∵OE= (a+b),BF= c-b, 2 2 3 → 3 → |OE|= 2 ,|BF|= 2 .

第三章

3.1

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1 → → 1 ∴OD· = (a+b)· c-b) BF ( 2 2 1 1 1 1 2 1 = a· b· a· |b| =- . c+ c- b- 4 4 2 2 2 → → OE· BF 2 → → ∴cos〈OE,BF〉= =-3. → → |OE||BF| 2 ∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为3.

第三章

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方法规律总结

第三章

3.1

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1.在几何图形中计算两向量的数量积时,关键是弄清两 → → 向量的夹角,特别注意在△ABC 中, 〈AB,BC〉=π-∠ABC. 2.证明两直线垂直,求两直线夹角,其关键环节都是取 两直线的方向向量,将其用一组容易求数量积的不共面向量线 性表示,证明两直线垂直,即证两直线方向向量的数量积为 0; 求两直线夹角利用两向量的夹角公式求解,需注意两向量夹角 π 范围是(0,2];求两点间距离或线段长度,方法是转化为求向 量的模,主要利用公式|a|= a2.

第三章

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3.平面向量数量积的运算律、注意事项、易混易错点在 空间向量中同样适用.

第三章

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课堂巩固训练

第三章

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一、选择题 1.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|等于( A.22 B.48 C. 46 D.32 )

[答案] A

第三章

3.1

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[解析]

∵|a+b|2=a2+b2+2a· b,

|a-b|2=a2+b2-2a· b, ∴|a-b|2=2(a2+b2)-|a+b|2 =2×(132+192)-242=484, ∴|a-b|=22.故选 A.

第三章

3.1

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2.下列式子中正确的是( A.|a|· 2 a=a B.(a· 2=a2·2 b) b C.(a· b)c=a(b· c) D.|a· b|≤|a||b|
[答案] D

)

第三章

3.1

第3课时

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[解析]

|a|· 是与 a 共线的向量,a2 是实数,故 A 不对; a

(a· 2=|a|2· 2· 2〈a,b〉≠a2·2,故 B 错; b) |b| cos b (a· c 与 c 共线,a· c)与 a 共线,故 C 错. b)· (b· |a· b|=||a|· cos〈a,b〉|≤|a|· |b|· |b|.

第三章

3.1

第3课时

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二、填空题 3.已知 e1、e2 是夹角为 60° 的两个单位向量,则 a=e1+ e2,b=e1-2e2 的夹角为________.
[答案] 120°

第三章

3.1

第3课时

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[解析]

由已知得|a|=|b|= 3,

3 a· b=- , 2 3 -2 1 a· b ∴cos<a,b>=|a|· = 3 =-2, |b| ∴<a,b>=120° .

第三章

3.1

第3课时

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→ → → → → → 4.已知空间四边形 ABCD,则AB· +BC· +CA· = CD AD BD ________.
[答案] 0

第三章

3.1

第3课时

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[解析]

→ → → 设AB=a,AC=b,AD=c,

由原式=a· (c-b)+(b-a)· c-b· (c-a) =0.

第三章

3.1

第3课时

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课后强化作业(点此链接)

第三章

3.1

第3课时


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