koorio.com
海量文库 文档专家
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学必修一课件2.1.1 指数与指数幂的运算


新课导入
回顾旧知
n个数(a)的连乘积,用数学式子表示? (n 取整数) 初中的知识, 可以写出来吗?

正整数指数幂:一个数a的n次幂等于n个a

的连乘积,即

an=a· · · a·· a ·
n个

正整数指数幂的运算法则?

1.am

·n=am+n; a 2.am÷an=am-n; 3.(am)n=amn; 4.(ab)n=an·n; b
a? an ? 5. ? ? = n (b ? 0). b ?b?
n

还记得吗?

前面我们讲的都是正整数指数幂,即 n只取正整数,那么n能否取有理数呢?

n ∈Z

n ∈N*

教学目标
知识与能力
1.在熟练掌握正整数指数幂运算的基础上,理 解并掌握分数指数幂、有理数指数幂、无理数指数 幂的运算方法与性质. 2.在学习中注意对于不同情况指数幂的运算采 取不同的措施,注意偶次方根的两种不同情况.

过程与方法
1.通过幂运算律的推广,培养在数学学习过

程中能够进行数学推广的能力;
2.培养并体会数形结合的思想,在以后的学

习过程中研究函数的能力.

情感态度与价值观
1.经历和体验数学活动的过程以及数学在现
实生活中的应用,能够体会一些重要的数学思 想. 2.通过课堂学习培养敢于联系实际,勇于发 现,大胆探索,合作创新的精神.

教学重难点
重点
掌握并理解分数指数幂、有理数指数幂、无理 数指数幂的运算方法与性质.

难点
非整数指数幂意义的了解,特别是对无理数指 数幂意义的了解.

想一想

(±4)2 = 16

±4 是16的平方根. 5就是125的立方根.

53 = 125

Xn = a

X就是a的n次方根.

可以吗?

知识要 点 根式:
一般地,如xn=a,那么x叫做a的n次方 根,其中n>1,且n∈ N* .

根指数

n

根式

a

被开方数

小练习
求下列根式值:
3

27 = 3
25 =±5

3

? 27 = -3
16 =±2
4

5

a5 =a

5

0 =0
0

4

? 64 不存在

6

=0

结论?

能得出什么结论吗?

x ?a
n

x=na

(当n是奇数)

x = ? n a (当n是偶数,且a>0)

说明
当n是奇数,根式的值是唯一的; 当n是偶数且a>0,根式的值有两个,同时互为 相反数; 负数没有偶次方根; 0的任何次方根都是0.

探究
n

a

n

表示an的n次方根,等式

n

a

n

= a.
n 等于什么?

一定成立吗?如果不成立,那么 n

a

想一想

探究
3

53
2

=5
= 25
2

5

?? 9?

5

= -9

25

?? 25? = 25 4 4 ?a ? b ? ?a ? b ? 4 4 ?a ? b ? ?a ? b ?

得出什么结论?
= a-b = b-a

结论

n

?a, (当n为奇数) ? n a ?? ?a, a ? 0, | a |? ? (当n为偶数) ? ?? a, a ? 0. ?

想一想
3

a6 = a12 =

3

?a

2 3

?

= a 2 = a (a > 0) = a 3 = a (a > 0)
12 4

6 3

4

4

?a

3 4

?

可以这样算吗?

探究
3

a 2 = a (a > 0), b = b (b > 0),
1 2

2 3

4

c5 = c (c > 0).

5 4

正确吗?

知识要 点

正分数指数幂的意义:
a = a (a > 0,m,n ? N*, 且n > 1)
n m m n

探究
a
m n

=

(a>0, m、n∈N*,n>1)

想一想

a =

-

1 2

1
1 2

a 1 -n a = n (a > 0,n ? N*,n > 1). a

1 = (a > 0); a

a

-

m n

=

1 a
m n

1 = n (a > 0,m,n ? N*,n > 1) m

注意
0的正分数指数幂是0, 0的负分数指数幂
没有意义。 整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也 同样适用,即对于任意有理数r,s,均有下面的 运算性质:
(1)a a ? a
r s r?s

(a ? 0, r , s ? Q )

(2)(a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q ) (3)(ab) r ? a r b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q )

小练习
? ? 求值:? a b ? (a,b都是正数) ? ?
1 10 2 5 5

1 ? ? ? ? a 2 -2 = ?a ? ?b ? = a b = 2 b ? ? ? ? 1 10 2 5

5

5

想一想

在前面的学习中,我们已经把指数由 正整数推广到了有理数,那么能不能继续 推广到无理数范围(即实数范围)呢?

推 理
52 = 25 51/2 =

5

5

2

=

说明
以上结果无需算出,只需了解结果也是一确 定实数.

探究


2 的不足近似

5

2

的近似值



2 的过剩近似

5

2

的近似值

1.4 9.518 269 694 1.5 11.180 339 89 1.41 9.672 669973 1.42 9.829 635 328 由上表发现: 1.414 9.735 171 039 1.415 9.750 851 808 2 方向逼近 9.739 872 62 2 时, 1.414 2 的不足近似值从小于 1.414 3 2 9.738 305 174 5 2 的近似值从小于 5 2 的方向逼近 5 2 . …… …… …… …… 同理,当 2 的过剩近似值从大于 2 的方向逼 近时, 5 2的近似值从大于 5 2的方向逼近 .
5 2 常数

知识要 点
无理数指数幂:
1.无理数指数幂ax(a>0,x是无理数) 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂的运算性质同样适用 于无理数指数幂.

课堂小结
整数指数幂 根式 xn=a

x ? a ; (当n是奇数)
n

负数没有偶次方根; 0的任何次方根都是0.

x ? ?n a . (当n是偶数,
且a>0)
无理数指数幂 有理数指数幂 分数指数幂

a = a

m n

n

m

(a > 0,m,n ? N*, 且n > 1)

实数指数幂的运算法则

(1)a a ? a (a ? 0, r , s ? R)
r s

r?s rs

(2)(a ) ? a (a ? 0, r , s ? R)
r s r

(3)(ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
r r

随堂练习
1.用根式的形式表示下列各式(a>0)

a1/3 , a3/2 , a-1/2 , a-2/5
3 解:

1 1 a, a = a a, , a 5 a2
3

2.求下列各式:
(1)3 ?m ? n ? ( m ? n ? 0);
2

( 2)

a2
3

a a

3

2

;

( 3)

4

?m ? n?

4

( m ? n);

( 4)

4

?m ? n?

4

( m ? n);

解:(1) ? m + n ? ;

2 3

(2)a ? a
2

1 2 + 3 3

= a = a;

1

(3)n - m; (4)m - n.

3.化简下列各式:

1 (1)(1- a) 4 ; 3 (a -1)
1 1

(2) 3 xy 2 ? xy -1 ? xy;

(3) 解:

(1-a)[(a-1)-2(-a) 2 ] 2 .
3

(1)原式=(1-a)(a-1)- 4
1 1

=-(a-1)(a-1)- 4
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2

3

4 =-(a-1) =- a-1 .
1 1

1 4

(2)原式=[xy2(xy-1) 2 ] 3 (xy)2
3 2 3 1 2 3 1 1 2 2
1 2

=(xy2x 2 y- 2) 3 x 2y 2
=xy.

1 1

=(x y ) x y =x y x y
1

(3)由(-a) 知 -a≥0, ∴a-1<0. ∴原式=(1-a)(1-a)-1(-a) 4 =(-a) .
1 4

4.计算下列各式:

(1)a a a ; ;

1 2

3 10

?

4 5

3 ? ? ? 1 (2) x ? x 2 ? 2 x 2 ? ; ? ? ? 1 2

(3)a a ? a ;
2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (4)4 x ? ?3x 4 y 3 ? ? ? ?6 x 2 y 3 ?. ? ? ? ? 1 4

1 3

3 2

5 6

解: 原式 = a (1)

1 3 4 + 2 10 5 1 2 1 2

= a 0 = 1;
1 2 3 2 0 -2

2 (2)原式 = x x - 2x x = x - 2x = 1 - 2 ; x (3)原式 = a
11 5 6 6

= a;
1 2 1 3 1 2 2 3

(4)原式 = -12x y ? -6x y

= 2xy.

5.比较

5, 3 11, 6 123 的大小.

解: ∵ 5 = 6 53 = 6 125, 又 3 11 = 6 112 = 6 121,

又∵121 < 123 < 125 ∴ 6 121 < 6 123 < 6 125. 所以 5 > 6 123 > 3 11.

6.化简

a - 8a b 4b + 2 3 ab + a
2 3 2 3

4 3

1 3

b 3 ÷(1- 2 ) ? a a
3

解: 原式 =

a (a - 8b)
2 3 1 3 1 3 2 3

1 3

?

a - 2b a
1 3 1 3 1 3

1 3

1 3

?a

1 3

4b + 2a b + a 1 ? 1 3 1 3? ? 3? ? 3? 3 ? a ? a ? - ? 2b ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? = 4b + 2a b + a
2 3 1 3 1 3 2 3

a
1 3

?a

1 3

a - 2b

1 1 2 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 3 3 3 3 3 3 1 a ?? a ? - ? 2b ? ? ? 4b + 2a b + a ? 1 3 a ?? ? ? ?? ? ? ? ? = ? 1 ? a3 2 1 1 2 1 4b 3 + 2a 3 b 3 + a 3 a 3 - 2b 3 1 3

= a ? a ? a = a.

1 3

1 3

1 3

习题答案
练习(第54页)

1.a = a;a = a ;a =
2 3 3

1 2

3 4

4

3

-

3 5

1
5

a
3 4 4

3

;a =

-

2 3

1
3

a

2

2.(1) 3 x 2 = x ;(2) 4 ? a + b ? = ? a + b ? ; (3) ? m - n ? = ? m - n ? ;(4) ? m - n ? = ? m - n ? ;
3 2 2 2 3

m (5) p q = p q ;(6) =m m
6 5 3

5 2

3

3-

1 2

=m .

5 2

?? 6 ? 3.(1) = ?? ? ?? 7 ? ?
1 2

2

? 6 3 ? =( ) ; 7 ? ?
1 3 1 2 6

3 2

?3? (2)2 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? 2 ?2? (3) = a
1 1 1 + 2 4 8

?

= 2 ? 3 = 6;
1 1 1 2 - 3 3

= a ;(4)x

5 8

1 1 - + 3 3

- 4x

4 = 1- . x


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com