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2013-2014学年高一数学同步课件:指数函数的图象及性质(新人教A版必修1)


2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质

? 【课标要求】 ? 1.理解指数函数的概念和意义. ? 2.能借助计算器或计算机画出指数函数的 图象. ? 3.初步掌握指数函数的有关性质. ? 【核心扫描】 ? 1.指数函数的概念及有关性质.(重点) ? 2.指数函数的图象.(难点) ? 3.指数函数的值域及图象过特殊点.(易错


? 1.指数函数的定义 y=a ? 函数 x(a>0且a≠1) 叫做指数函 数 , 其 中 x 是 自R变 量 , 函 数 的 定 义 域 是 . ? 温馨提示:指数函数解析式的特征:ax 的系数是1,a为常量,x为自变量,并且规 定底数a满足条件a>0且a≠1.

? 2.指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1

图象

性 质

定义域 ) R ,值域( 0,+∞ 图象过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0 当x>0 y>1 0<y<1 时, ; 时, ; 0<y<1 y>1 当x<0时, 当x<0时, 增函数 减函数 . . 在R上 在R上 是 . 是 .

互动探究 探究点1 指数函数定义中为什么规定a>0且a≠1? 提示 (1)如果a=0,当x>0时,ax=0;

当x≤0,ax无意义; 1 1 (2)如果a<0,当x= , 等时,ax无意义; 2 4 (3)如果a=1,则ax=1,无研究的价值. 为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1.

探究点2

观察同一直角坐标系中函数y=2x,y=3x,y=4x,y

?1? ?1? ?1? x x =?2? ,y=?3? ,y=?4?x的图象如图所示,能得到什么规律? ? ? ? ? ? ?

提示

(1)当x>0时,底数大

则图高(在第一象限内,图象从 下到上相应的底数由小变大); 当x<0时,底数大则图象低. (2)底互为倒数时,图象关于y轴 对称,即y=a y轴对称.
x

?1? 与y=?a?x图象 关于 ? ?

类型一

指数函数的概念

【例 1】 给出下列函数: ①y=2·x;②y=3x 1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中, 3 指数函数的个数是( A.0 B.1 C.2 ). D.3


[思路探索]

根据指数函数的定义判断.

? 解析 ①中,3x的系数是2,故①不是指数 函数;②中,y=3x+1的指数是x+1,不是 自变量x,故②不是指数函数;③中,3x的 系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一 项,故③是指数函数;④中,y=x3的底为 自变量,指数为常数,故④不是指数函 数.⑤中,底数-2<0,不是指数函数. ? 答案 B

? [规律方法] 1.指数函数的解析式必须具有 三个特征: ? (1)底数a为大于0且不等于1的常数;(2)指 数位置是自变量x;(3)ax的系数是1. ? 2.求指数函数的关键是求底数a,并注意a 的限制条件.

【活学活用1】 若函数y=(4-3a)x是指数函数,则实数a的取 值范围为________. 解析 y=(4-3a)x是指数函数,需满足: 4 解得a< 且a≠1. 3

?4-3a>0, ? ? ?4-3a≠1, ?

4 故a的取值范围为{a|a< 且a≠1}. 3 答案 4 {a|a< 且a≠1} 3

? 类型二 指数函数的图象 ? 【例2】 如图是指数函数①y=ax,②y=bx, ③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与 1的大小关系是 ( ).

A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d

B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c

? [思路探索] 根据指数函数的底数大小与图 象的关系判断. ? 解析 法一 在y轴的右侧,指数函数的图 象由下到上,底数依次增大. ? 由指数函数图象的升降,知c>d>1,b<a<1. ? ∴b<a<1<d<c.

? 法二 作直线x=1,与四个图象分别交于A, B,C,D四点,由于x=1代入各个函数可 得函数值等于底数的大小,所以四个交点 的纵坐标越大,则底数越大,由图可知 b<a<1<d<c.故选B.

答案

B

? [规律方法] 1.无论指数函数的底数a如何 变化,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与 直线x=1相交于点(1,a),由图象可知:在 y轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变 大. ? 2.处理指数函数的图象:①抓住特殊点, 指数函数图象过点(0,1);②巧用图象平移 变换;③注意函数单调性的影响.

? 【活学活用2】 (1)函数y=2-|x|的大致图象 是( ).

? (2)函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象恒 过定点________.

解析

?2-x ? -|x| (1)y=2 =? x ?2 ?

?x≥0?, ?x<0?.

且函数y=2-|x|是偶函数,∴函数的图象大致是选项C. (2)因为函数y=ax(a>0,且a≠1)过定点(0,1),函数y=ax-3+3 中,令x=3,得y=1+3=4,所以函数的图象过定点(3,4). 答案 (1)C (2)(3,4)

? 类型三 指数型函数的定义域、值域 ? 【例3】 求下列函数的定义域与值域:

? [思路探索] 先求定义域,确定指数的取值 范围,利用单调性求值.



(1)由 x-4≠0,得 x≠4,

∴定义域为{x|x∈R 且 x≠4}. 1 ∵ ≠0,知 x-4 ∴函数 y= ≠1, 的值域是{y|y>0,且 y≠1}.

(2)由 x-2≥0,得 x≥2,∴定义域为{x|x≥2}. 当 x≥2 时, x-2≥0. ∴y= 的值域为{y|0<y≤1}.

(3)定义域为R.∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, ∴ ≤2,即y≤2.故函数的值域为{y|0<y≤2}.

? [规律方法] 1.求含有指数型的函数定义域 时,要注意考虑偶次根式的被开方数大于 等于0,分母不为0等限制条件. ? 2.求含有指数式的复合函数的值域时,要 结合指数函数的单调性和定义域来考虑, 不要遗漏了指数函数的值域大于0.

【活学活用 3】 求下列函数的定义域与值域: (1)y= 解 ;(2)y= 1-3x.

(1)由 x-2≥0,得 x≥2.

∴定义域为{x|x≥2}.当 x≥2 时, x-2≥0. 又 3>1,∴y= 的值域为{y|y≥1}.

(2)要使函数有意义,则1-3x≥0,即3x≤1.又t=3x在R上是增 函数,所以x≤0,因此y= x≤0,知0≤1-3x<1, 所以函数y= 1-3x的值域为{y|0≤y<1}. 1-3x 的定义域是{x|x≤0}.由

易错辨析

指数函数概念理解不透致误

【示例】 函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数,求实数a. [错解] ∵函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数, ∴a2-4a+4=1,∴a=1或a=3. [错因分析] 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中,ax的系数为1,

并且底数a要满足a>0,且a≠1.

[正解] ∵函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数,
?a2-4a+4=1, ? ∴由指数函数的定义得? ?a>0且a≠1, ? ?a=1或a=3. ? ∴? ?a>0且a≠1, ?

∴a=3.

[防范措施]

切记指数函数要求形如:f(x)=ax(a>0且a≠1),

指数式前面系数为1,另外a>0且a≠1,自变量是指数,这三 点缺一不可.

课堂达标 1. 下列函数中一定是指数函数的是 ( A.y=5x C.y=3 解析
+1

).

B.y=x4 D.y=-2·x 3
-x

-x

1x 只有 y=3 =( ) 符合指数函数的定义,A,B,D 3

中 函数都不符合 y=ax(a>0 且 a≠1)的形式. 答案 C

2. (2013· 平遥高一检测)函数 y=3x 与 y=3-x 的图象关于下列哪 条直线对称 ( A.x 轴 C.直线 y=x 解析 3
x

).

B.y 轴 D.直线 y=-x 1x 即 y=( ) ,分别作出两个函数图象可知,y= 3

y=3

-x

1x 与 y=( ) 的图象关于 y 轴对称. 3 B

答案

? 3.函数y=ax-5 +1(a≠0)的图象必经过点 ________. ? 解析 指数函数的图象必过点(0,1),即 a0=1,由此变形得a5-5+1=2,所以所求 函数图象必过点(5,2). ? 答案 (5,2)

4.已知f(x)=ax+b的图象如图所示,则f(3)=________. 解析 ∵f(x)的图象过(0,-2),(2,0),且a>1, ∴b=-3,a= 3,

?-2=a0+b, ? ∴? ?0=a2+b, ?

∴f(x)=( 3)x-3,则f(3)=( 3)3-3=3 3-3. 答案 3 3-3

? 5.求下列函数的定义域和值域: ? (1)y= ;(2)y=5-x-1.
解 (1)要使函数y= 有意义, 只需1-x≥0,即x≤1, 所以函数的定义域为{x|x≤1}. 设y=3u,u= 1-x,则u≥0, 由函数y=3u在[0,+∞)上是增函数,得y≥30=1, 所以函数的值域为{y|y≥1}. (2)函数y=5-x-1对任意的x∈R都成立,所以函数的定义域为 R.因为5-x>0,所以5-x-1>-1, 所以函数的值域为(-1,+∞)

? 课堂小结 ? 1.指数函数的定义域为(-∞,+∞),值域 为(0,+∞),且f(0)=1. ? 2.当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴, 递增速度越快.当0<a<1时,a的值越小, 图象越靠近y轴,递减的速度越快.


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