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24.2直线和圆的位置关系(3)切线的性质课件


切线的性质

思考:
1.什么是圆的切线?判断一条直线是圆的 切线有哪些方法?

?切线的判定方法有三种: ?①直线与圆有唯一公共点; ?②直线到圆心的距离等于该圆的半径; ?③切线的判定定理.即 ?经过半径的外端并且垂直这条半径的直 线是圆的切线

2.前面我们已学过的切线的性质有哪些? 答: ①、切线和圆有且只有一个公共点;

②、切线和圆心的距离等于半径。

3.切线还有什么性质?

观察右图:
如果直线AT是 ⊙O 的切线,A 为切点,那么 AT 和半径OA是不是 一定垂直?
O

A

T

如果AT是 ⊙O 的切线,A 为切点,那么AT⊥OA.

你能说明理由吗?
反证法:假设AT与OA不垂直 则过点O作OM⊥AT,垂足为M

根据垂线段最短,得OM<OA
即圆心O到直线AT的距离d<R

O

∴直线AT 与⊙O 相交
这与已知“AT是 ⊙O 的切线”矛盾

A M

T

∴假设不成立,即AT⊥OA

切线的性质定理
1.圆的切线垂直于经过切点的半径
O

几何符号语言:
∵AT是

⊙O 的切线,A 为切点

A

T

∴AT⊥OA

按图填空:(口答) (1). 如果AB切⊙O于A,

B
A O

那么

oA ? AB

(2). 如果半径OA⊥AB, 那么AB是 ⊙O的切线 (3).如果AB是⊙O的切线,OA⊥AB,那么A是 切点

[切线的性质定理]

圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1
推论2

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

直线经过切点 切线垂直于半径 经过圆心 垂直于切线 直线经过切点

经过圆心
垂直于切线

经过圆心
直线经过切点

预备练习:
1、已知:如图:在△ABC中,AC与 ⊙ O 相 切 于 点 C , BC 过 圆 心 ) , ∠BAC=63°,求∠ABC的度数。

2、已知:如图:AB是⊙O的弦, AC切⊙于点A,且∠BAC=54°, 求∠OBA的度数。

D

例1 如图,AB为⊙O 的直径, C为⊙O上一 点,AD和过C点的切线 A 互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB.

C
3

2

1

O

B

例2:如图, PA、PB是⊙O的 切线,切点分别为A、B,C 是⊙O上一点(不与点A 、B 重合),若∠APB=40°, 求∠ACB的度数.
P

若不给出 图形,结果 是否一样?
A O B C

已知直线和圆相切时:常 连接切点与圆心。-----辅助线

PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,C是⊙O 上一点(不与点A 、B 重合),若∠APB=40°, 求∠ACB的度数.
A

P

C

O

C

B

∠ACB=70° ,或 ∠ACB=110°

D

例3. 如图,AB为⊙O 的直径, ,AD是和 ⊙O相切于点A的切线, A ⊙O的弦BC平行于OD. 求证:DC是⊙O的切线

C
3 4

2
1 O B

练习

如图的两个圆是以O为圆 心的同心圆,大圆的弦AB 是小圆的切线, C为切点. 求证:C是AB的中点.

A C

O

证明:如图, 连接OC, 则 ∵AB是小圆的切线, C为切点 ∴OC⊥AB 在大圆⊙O中, 根据垂径定理,得 AC=BC ∴ C是AB的中点.

B

练习3
如图,在⊙O中,AB为直 径, AD为弦, 过B点的切 线与AD的延长线交于点C, 且AD=DC 求∠ABD的度数. C 解:∵ AB为直径 ∴∠ADB=90° ∴∠ABC=90° 又∵BC为切线 ∵ △ABC为直角三角形 AD=DC ∴AD=DB
∴△ABD为等腰直角三角形 ∴∠ABD=45°

A

D

O

B

课堂小结
? 1.掌握切线性质定理及两个推论,注意每 个定理中均有过切点、过圆心和垂直于 切线三要素 。
切线性质 ①、切线和圆有且只有一个公共点

②、切线和圆心的距离等于半径
③、圆的切线垂直于经过切点的半径 ④、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

⑤、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

2.能运用切线性质定理进行计算与证明。 3.掌握常见的关于切线辅助线作法


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