koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数列知识大总结(绝对全)


第六章
二、重难点击

数列

本章重点:数列的概念,等差数列,等比数列的定义,通项公式和前 n 项和公式及运用,等差数列、等比数 列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法,如:观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求 和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

r />知识网络
通项公式 数列与正整数集关系 递推公式 等差数列 数列 等比数列 公式法 倒序相加法 错位相减法 裂项相消法

定义 通项公式 中项 前n项的和

特殊数列求和方法

第一课时
四、数列通项 a n 与前 n 项和 S n 的关系 1. S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ?

数列

?a
i ?1

n

i

2. a n ? ?

?

S1

n ?1 n?2

?S n ? S n ?1

课前热身
3.数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? 3n ? 28n ,则数列各项中最小项是(
2

B

)

A.第4项

B.第5项

C.第6项

D.第7项
2

4.已知数列 ?a n ?是递增数列,其通项公式为 a n ? n ? ?n ,则实数 ? 的取值范围是 (?3,??) 5.数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? n ? 4n ? 1 ,,则 a n ? ?
2

? ?2 ?2 n ? 5

n ?1 n?2

1

题型一

归纳、猜想法求数列通项

【例 1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式 ⑴7,77,777,7777,? ⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9? 解析:⑴将数列变形为

7 7 7 7 ? (10 ? 1), (10 2 ? 1), (10 3 ? 1) , ?, (10 n ? 1) 9 9 9 9

⑶将已知数列变为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,?。可得数列的通项公式为

1 ? (?1) n an ? n ? 2

时 解析:⑴当 n ? 1 , a1 ? S1 ? 3 ? 2 ? 1 ,
1

当 n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? (3 ? 2) ? (3
n

n ?1

? 2)

? 2 ? 3n?1
又 a1

? 1 ? 1 不适合上式,故 a n ? ? n ?1 ?2 ? 3

(n ? 1) (n ? 2)

解析:⑴因为 a n ?1

4n ? 1 1 1 1 1 a n?1 ? a n ? 2 ? ( ? ) 4n ? 1 2 2 n ? 1 2n ? 1 1 1 1 所以 a 2 ? a1 ? ( ? ) 2 1 3 1 1 1 a3 ? a 2 ? ( ? ) 2 3 5 1 1 1 a4 ? a3 ? ( ? ) 2 5 7
2

? an ?

1

,所以

?,?,

1 1 1 an ? an?1 ? ( ? ) 2 2n ? 3 2 n ? 1
以上 (n ? 1) 个式相加得

1 1 (1 ? ) 2 2n ? 1 1 4n ? 3 即: a n ? 1 ? ? 4n ? 2 4n ? 2 a n ? a1 ?

课外练习
解:因为
2

1 1 1 ? ? 2n ? 2 2n ? 3 n ? 1 1 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 2 a n ?1 ? a n ?
所以 a n ?1 ? a n ,选C. 解:构造函数 y ?

x ? 98 x ? 99

? 1?

99 ? 98 x ? 99

由函数性质可知,函数在 ( ??,99 ) 上递减,且 y ? 1 函数在 ( 99,+?) 上递增且 y ? 1

又 99 ? (9, ) 10 ? a10 ? a11 ? a12 ? ? ? a30 ? 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a9 ? a10最大,a9 最小
三、解答题

6.2 等差数列
课前热身

1 1 解 a9 ? a11 ? a9 ? (a9 ? 2d ) 3 3 2 2 2 120 ? ( a 9 ? d ) ? a8 ? ? ? 16 3 3 3 5

?100 ? 10 ?

10 ? 9 ? D ? 10, D ? ?22 ? 2 又S110 ? S100 ? S10 ? 10 D

? S110 ? 100 ? 10 ? 10( ? 22) ?110 ? ?



n(n ? 1) ? ? y ? 50 n ? 98 ? ?12 n ? ? 4? 2 ? ? 2 ? ?2n ? 40 n ? 98 ? ?2(n ? 10) 2 ? 102 所以当n ? 10时,y max ? 102
6.设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知

解:? S 9 ? S12,S12 ? S 9 ? 0

? a10 ? a11 ? a12 ? 0, 3a11 ? 0, ? ? a11 ? 0,又a1 ? 0
∴ ?a n ?为递减等差数列∴ S10 ? S11 为最大。 解:∵

a3 ? 12,S12 ? 0,S13 ? 0
①求出公差 d 的范围,

? ②指出 S1,S 2, ,S12 中哪一个值最大,并说
明理由。

S10,S 20 ? S10,S 30 ? S 20, ,S110 ? S100, ? ?
成等差数列,公差为 D 其首项为

d an ? f (n) n a n S n ?a n ? " n ? 2"
解:① S12 ? 6(a1 ? a12 ) ? 6(a3 ? a10 )

S10 ? 100 ,前 10 项的和为 S100 ? 10

3

? 6( 2 a 3 ? 7 d ) ? 0 ? 24 ? 7 d ? 0 ?d ? ? 24 7

x2 y2 5. 设 F 是椭圆 ? ? 1 的右焦点,且椭圆上至 7 6
少有 21 个不同点

13(a1 ? a13 ) 13 又S13 ? ? (a3 ? a11 ) 2 2 13 ? ( 2 a 3 ? 8d ) ? 0 2 ? 24 ? 8d ? 0 ? d ? ?3 24 从而 ? ? d ? ?3 7


Pi (i ? 1,2, ?)使 P1 F ,2 F ,3 F , ? P P
组成公差为

d 的等差数列,则 d 的取值范围为

? 1 ? ? 1? 0 ?? 10 ,? ? ? 0, ? ? ? ? 10 ?
解:椭圆的焦点 F 到椭圆上的点最大、最小距离分别

? S12 ? 6(a 6 ? a 7 ) ? 0 S13 ? 13a 7 ? 0 ? a 7 ? 0,a 6 ? 0
课外练习 一、 选择题 1. 已知 ?a n ? 数列是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项的和 S10 ? 70 ,则其公差 d 等于( D )

) 为 ( 7 ? 1)和( 7 ? 1 ,由题意得:

? S 6 最大。

( 7 ? 1 ? n ? 1) d ? 7 ? 1 )( 2 ? n ? 1 ? 20 n ?1 1 ? d ? ,又d ? 0 10 1 1 ? ? ? d ? 0或0 ? d ? 10 10 ?d ?
三、解答题 6. 等 差 数 列 ?a n ? 的 前

2 A. ? 3 1 C. 3

1 B. ? 3 2 D. 3

n

项 和 记 为 Sn , 已 知

a10 ? 30,a20 ? 50

2. 已











?a n ?

①求通项 a n ;②若 S n =242,求 n 中 , 解: a n ? a1 ? (n ? 1)d

a7 ? a9 ?? 16,a 4 ? 1,则a12 等于( A )
A.15 B.30 C.31 D.64

a10 ? 30,a 20 ? 50 ? a ? 9d ? 30 解方程组? 1 ?a1 ? 19 d ? 50 ?a ? 12 ?? 1 ? a n ? 2n ? 10 ?d ?2

解: a 7 ? a9 ? a 4 ? a12 ? ? a12 ? 15
二、填空题 3. 设 S n 为 等 差 数 列

?a n ? 的 前 n

项 和 , 由 S n ? na1 ?

S 4 ? 14,S10 ? S 7 ? 30,则S 9 =54
4. 已 知 等 差 数 列 ?a n ? 的 前

n(n ? 1)d , S n =242 2

n

项 和 为 Sn , 若

?12 n ?

n(n ? 1) ? 2 ? 242 2 解得n ? 11或n ? ?22(舍去)

S12 ? 21,则a 2 ? a5 ? a8 ? a11 ?

7. 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运 动,甲第一分钟走 2 m ,以后每分钟比前一分钟多
4

走 1 m ,乙每分钟走 5 m ,①甲、乙开始运动后几 分钟相遇?②如果甲乙到对方起点后立即折返,甲 继续每分钟比前一分钟多走 1 m ,乙继续每分钟走 5 m ,那么,开始运动几分钟后第二次相遇? 解:①设 n 分钟后第一次相遇,依题意有:

? 2(n ? 1)a n ?1 ? (n ? 1)( a n ? 2 ? a n ) ? 2a n ?1 ? a n ? 2 ? a n
∴数列 ?a n ?为等差数列。 ② a1 ? 3,nan ?1 ? (n ? 1)a n ? 1

n(n ? 1) ? 5n ? 70 2 解得n ? 7,n ? ?20(舍去) 2n ?
故第一次相遇是在开始运动后 7 分钟。 ②设 n 分钟后第二次相遇,则:

? a 2 ? 2a1 ? 1 ? 5 ? a 2 ? a1 ? 2 即等差数列?a n ? 的公差为2 ? 2n ? 1
③?

n(n ? 1) 2n ? ? 5n ? 3 ? 70 2 解得n ? 15,n ? ?28(舍去)
故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟 10 . 已 知 数 列

? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? (n ? 1) ? 2

1 1 ? a n a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 3)

?a n ?

中 ,

a1 ? 3,前 n 和

Sn ?

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

①求证:数列 ?a n ?是等差数列 ②求数列 ?a n ?的通项公式 ③设数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实 ? a n a n ?1 ?

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 ? ( ? ) 2 3 2n ? 3 1 又当n ? N ?时,Tn ? 6 ?
要使得 Tn ? M 对一切正整数 n 恒成立,只要 M ≥

数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立?若存 在,求 M 的最小值,若不存在,试说明理由。 解:①∵ S n

1 ,所以存在实数 M 使得 Tn ? M 对一切正整数 n 6
都成立, M 的最小值为

?

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

1 。 6

? S n ?1 ? ? a n ?1 ?

1 (n ? 2)( a n ?1 ? 1) ? 1 2 ? S n ?1 ? S n

1 ?(n ? 2)( a n?1 ? 1) ? (n ? 1)( a n ? 1)? 2 整理得,nan ?1 ? (n ? 1)a n ? 1 ? (n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2)a n ?1 ? 1 ? (n ? 1)a n ? 2 ? nan ?1 ? (n ? 2)a n ?1 ? (n ? 1)a n

6.3 等比数列
5

知识要点
1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的 前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比 数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为

项不为零的常数列。 7. 等比数列的判定法 ①定义法:

q,(q ? 0) 。
2. 递推关系与通项公式

a n ?1 ? q(常数) ?a n ?为等比数列; ? an
2

②中项法:a n ?1 等比数列;

? an ? an?2

(a n ? 0) ? ?a n ?为
(k , q为常数) ?a n ? ?

递推关系:a n ?1 ? qan 通项公式:a n ? a1 ? q n ?1 推广:a n ? a m ? q
n?m

a ③通项公式法: n ? k ? q

n

为 等 比 数 列 ; ④ 前

n

项 和 法 :

3. 等比中项: 若三个数 a, b, c 成等比数列, 则称 b 为

S n ? k (1 ? q n ) (k , q为常数) ?a n ? 为 等 比 数 ?
列。

a与c 的等比中项,且为 b ? ? ac,注:b 2 ? ac
是成等比数列的必要而不充分条件。 4. 前 n 项和公式

1. 设f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2
4 7

10

? ? ? 2 3n?10

(q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? ? 1? q 1? q ?

(n ? N ? ),则f (n)等于 D ) (
(q ? 1)

5. 等比数列的基本性质, (其中m, n, p, q ? N ) ① 若m ? n ? p ? q,则a m ? a n ? a p ? a q 反 之 不真! ②q
n?m

?

2 A. (8 n ? 1) 7 2 C. (8 n ?3 ? 1) 7
2. 已 知 数 列

2 B. (8 n ?1 ? 1) 7 2 D. (8 n ? 4 ? 1) 7

?a n ?

是 等 比 数 列 , 且 (问题引入)

S m ? 10,S 2 m ? 30,则S 3m ? 70

a 2 ? n ,a n ? a n ? m ? a n ? m (n ? N ? ) am

猜想: ?bn ?是等比数列,公比为 证明如下:∵ bn ?1

③ ?a n ? 为等比数列,则下标成等差数列的对应项 成等比数列。

1 。 2 1 1 1 ? a 2 n ?1 ? ? a 2 n ? 4 2 4

时,S n,S 2 n ? S n,S 3n ? S 2 n, 仍 ? ④ q ? ?1
成等比数列。 6. 等比数列与等比数列的转化 ① ?a n ?是等差数列 ? c 等比数列; ②

1 1 1 (a 2 n ?1 ? ) ? 2 4 4 1 1 1 ? (a 2 n ?1 ? ) ? bn 2 4 2 ?
即:

? ?
an

(c ? 0,c ? 1) 是

bn ?1 1 1 ? ,∴ ?bn ? 是首项为 a ? ,公比 bn 2 4

?a n ?

















1 的等比数列。 2

? ?log c a n ?

(c ? 0,c ? 1) 是等差数列;

二、性质运用 例 2 : ⑴ 在 等 比 数 列

③ ?a n ? 既是等差数列又是等比数列 ? ?a n ? 是各

?a n ?

中 ,
6

a1 ? a6 ? 33,a3 a 4 ? 32,a n ? a n ?1
①求 a n , ②若 Tn ? lg a1 ? lg a 2 ? ? ? lg a n , 求Tn ⑵在等比数列 ?a n ?中,若 a15 ? 0 ,则有等式

(n ? 2m ? 1,n ? N ? ) 成立,在本题中

则有b1b2 ?bn ? b1b2 ?b37?n
(n ? 37,n ? N ? )
点拨:历年高考对性质考查较多,主要是利用“等积 性” ,题目“小而巧”且背景不断更新,要熟练掌握。 典例精析 一、 错位相减法求和 例 1:求和: S n 解:⑴

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a29?n (n ? 29,n ? N ? ) 成立,类比上述性质,相应的
在等比数列 ?bn ?中, b19 ? 1 则有等式 若 立。 解:⑴①由等比数列的性质可知: 成

?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a
n(n ? 1) 2

a ? 1时,S n ? 1 ? 2 ? 3? ? n ?

a1 ? a 6 ? a 3 ? a 4 ? 32 又a1 ? a 6 ? 33,a1 ? a 6 解得a1 ? 32,a 6 ? 1 所以 a6 1 1 1 ? ,即q 5 ? , q ? ? a1 32 32 2

时,因为a ? 0 ⑵a ?1
Sn ? 1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a 1 1 2 n ?1 n S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 a a a a a
由①-②得: ① ②

1 所以a n ? 32 ? ( ) n ?1 ? 2 6 ? n 2
②由等比数列的性质可知, ?lg a n ? 是等差数 列,因为

lg a n ? lg 2 6? n ? (6 ? n) lg 2, lg a1 ? 5 lg 2 所以Tn ? (lg a1 ? lg a n )n n(11 ? n) ? lg 2 2 2

1 1 1 1 n (1 ? ) S n ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 a a a a a 1 1 (1 ? n ) a ? n ? a 1 a n ?1 1? a n a (a ? 1) ? n(a ? 1) 所以 S n ? a n (a ? 1) 2 综上所述, n(n ? 1) ? ? ? 2 Sn ? ? a (a n ? 1) ? n(a ? 1) ? ? a n (a ? 1) 2 ? (a ? 1) a ? 1)

⑵ 由 题 设 可 知 , 如 果 am ? 0 在 等 差 数 列 中 有

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a2 m?1?n (n ? 2m ? 1,n ? N ? ) 成 立 , 我 们 知 道 , 如 果
若m ? n ? p ? q,则a m ? a n ? a p ? a q ,而对于
等 比 数 列

点拨:①若数列 ?a n ? 是等差数列, ?bn ?是等比数列, 则求数列 ?a n ? bn ?的前 n 项和时,可采用错位 相减法; ②当等比数列公比为字母时,应对字母是否为 1 进行讨论; ③当将 S n 与 q S n 相减合并同类项时,注意错 位及未合并项的正负号。
7

?bn ?







若m ? n ? p ? q,则a m ? a n ? a p ? a q 所以可以得
出结论,若

bm ? 1,则有b1b2 ?bn ? b1b2 ?b2 m?1?n

二、 裂项相消法求和 例 2 : 数 列

?a n ?

例 3: 设二次函数 f ( x) ? x ? x,当x ? n,n ? 1
2

?

?





a1

=8

, 1. 在等差数列 ?a n ? 中, a1 =1,前 n 项和 S n 满足

a4 ? 2,且an? 2 ? 2an?1 ? an ? 0 ( n ? N ? )
①求数列 ?a n ?的通项公式;

则d

?

a 4 ? a1 ? ?2 4 ?1

S 2 n 4n ? 2 ? ,n ? 1, ? 2, Sn n ?1
①求数列 ?a n ? 的通项公式 ②记 bn ? a n p 项和 Tn 。 解 : ① 设 数 列
an

所以, a n =8+( n -1)×(-2)=―10-2 n

( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n

bn ? ?

1 1 ? n(14 ? a n ) 2n(n ? 2)

1 1 1 ( ? ) 4 n n?2 所以
② Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

?a n ?

的 公 差 为

d , 由

S 2 n 4n ? 2 ? ,n ? 1, ? 2, Sn n ?1
得 a1 ? a 2 ? 3,所以 a 2 ? 2 a1 4n ? 2 S 2 n ? n ?1 Sn ( a n ? nd ? a1 ) 2n 2 ? ( a n ? a1 ) n 2 2( a n ? n ? 1) ? an ? 1

1? 1 1 1 1 1 1 ? ? (1 ? 3 ) ? ( 2 ? 4 ) ? ? ? ( n ? n ? 2 ) ? 4? ? 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 4 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 m ? ? ? ? 8 4(n ? 1) 4(n ? 2) 32 ?
对一切 n ? N 恒成立。
?

即 d ? a 2 ? a1 ? 1 又

? m ? 12 ?

8 8 ? 对一切n ? N ? 恒成立。 n ?1 n ? 2 8 8 对n ? N ?,( ? 12 ? ) min ? 所以 a n = n n ?1 n ? 2 故 8 8 16 12 ? ? ? a n ②由 bn ? a n p n ( p ? 0) ,有 bn ? np 1?1 1? 2 3 16 所以 m ? 2 3 n 所以 Tn ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ? np ① 3

m 的最大整数值为 5。
点 拨 : ① 若 数 列

?a n ?

当p ? 1时,Tn ?
的 通 项 能 转 化 为

n(n ? 1) 2

当p ? 1时,
pTn ? p 2 ? 2 p 3 ? ? ? (n ? 1) p n ? np n?1 ②
①-②得

f (n ? 1) ? f (n) 的形式,常采用裂项相消法求和。
②使用裂项消法求和时, 要注意正负项相消时, 消去了哪些项,保留了哪些项。 三、 奇偶分析法求和

8

(1 ? p )Tn ? p ? p 2 ? ? ? p n ? np n ?1 p (1 ? p n ) ? ? np n ?1 1? p p (1 ? p n ) np n ?1 所以 Tn ? ? 1? p (1 ? p ) 2 n(n ? 1) ? ? ? 2 即:Tn ? ? p (1 ? p n ) np n ?1 ? ? ? (1 ? p ) 2 1? p ?
课外练习 1. 数 列

所以 a n ? a ? n ? 1,又 a ? N ? ? f (a ) (n为奇数) f (a n ) ? ? ? f (a ? 1) (n为偶数) 所以 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a10 ) ? 5 f (a ) ? 5 f (a ? 1)

( p ? 1) ( p ? 1)

? 5? f (0) ? f (1)? ? 5 f (1) 又 f (?1) f (?1 ? 2) ? f (1) 所以 ? f (1) ? f (1)
故原式=0,选 C。 二、填空题 5.设等比数列 ?a n ? 的公比与前 n 项和分别为 q 和

即 f (1) ? 0

?a n ?

的 前

n

项 和 为 Sn , 若

an ?

1 ,则S 5 等于( B ) n(n ? 1)

S n ,且 q ≠1, S10 ? 8,则

S 20 ? 1 ? q 10

8

1 1 A.1 C. D. 6 30 1 1 1 解:因为 a n ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 所以S 5 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 1 2 2 3 5 6 5 ? 6
4. f (x) 的定义域为 R ,且 f (x) 是以 2 为周期的 周期函数,数列 ?a n ?是首项为 a (a ? N ? ) ,公差为 1 的等差数列, 那么 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a10 ) 的 值为( C ) B.1 C.0 D.10 a

5 B. 6

a1 (1 ? q 10 ) 方法一、 ?8 1? 2 S 20 a1 (1 ? q 20 ) ? ? ?8 1 ? q 10 (1 ? q 10) ? q ) (1 方法二、S 20 ? S10 ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 ? S10 ? q 10 S10 ? S10 (1 ? q 10 ) 所以 S 20 ? S10 ? 8 1 ? q 10

6.数列 ?a n ?满足 an

?

1 2 n ? ??? , n ?1 n ? 2 n ?1

又bn ?

2 ,则数列 an an ?1

?bn ?的前 n 项和为

8n n ?1

解:an ?

A.-1

解:因为函数 f (x) 的定义域为 R ,且 f (x) 是 以 2 为周期的周期函数, 所以

1 n (1 ? 2 ? ? ? n) ? n ?1 2 2 8 1 1 bn ? ? an an ?1 n(n ? 1) = 8( n ? n ? 1 )

f (0) 0,且f ( x ? 2) ? f ( x) ?

又数列 ?a n ?是首项为 a ,公差为 1 的等差数列

所以 b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 ? ?1 1 ? 8 ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 n n ?1 ? ?1 2 ? 1 ? 8n ? ? 8 ?1 ? ? ? n ? 1? n ? 1 ?
7.数列 1 , , , , , , , , , 的前 100 项 , ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4

的和为 13

9 ? 。 n? N ) ( 14
9

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

典例精析
一、 函数与数列的综合问题

例1:已知f ( x ) ? log a x (a ? 0且a ? 1), 设f ( a1 ),f (a 2 ), ,f ( a n ) (n ? N ? ) ? 是首项为4,公差为2的等差数列。
①设 a 是常数,求证: ?a n ?成等差数列; ②若 bn ? a n f (a n ) , ?bn ?的前 n 项和是 S n ,当 a ? 解:① f (a n ) ? 4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 2 ,

2 时,求 S n

即 log a a n ? 2n ? 2,所以a n ? a 2 n ? 2 所以 an a 2n?2 ? 2 n ? a 2 (n ? 2)为定值 a n ?1 a

所以?a n ?为等比数列。
② bn ? a n f (a n )

? a 2 n ? 2 log a a 2 n ? 2 ? (2n ? 2)a 2 n ? 2 当a ? 2时, bn ? (2n ? 2) ? ( 2 ) 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ? 2 S n ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? 4 ? 2 5 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? 2 2S n ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 5 ? ? ? n ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?3 点 拨 : 本 例 是 数 列 与 函 数 综 合 的 基 本 题 型 之 一 , 特 两式相减得 ? S n ? 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 5 ? ? ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?3 2 4 (1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 1) ? 2 n ?3 1? 2 所以 S n ? n ? 2 n ?3 ? 16 ?
征是以函数为载体构建数列的递推关系,通过由函数的解析式获知数列的通项公式,从而问题得到求解。 1. 已知正项数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , ①求证:数列 ?a n ?是等差数列; ②若 bn ?

1 S n 是 与(a n ? 1) 2 的等比中项, 4

an ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 2n
? Tn ? ? ? ? 为等比数列?若存在,试求出 ? ;若不存在,说明理由。 ? a n ?2 ?

③在②的条件下,是否存在常数 ? ,使得数列 ?

解:①

1 S n 是 与(a n ? 1) 2 的等比中项, 4
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 10

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

1 (a n ? 1) 2 4 1 当n ? 1时,a1 ? (a1 ? 1) 2 , a1 ? 1 ? 4 1 当n ? 2时,S n ?1 ? (a n ?1 ? 1) 2 4 所以a n ? S n ? S n ?1 所以S n ? 1 2 2 (a n ? a n ?1 ? 2a n ? 2a n ?1 ) 4 即(a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 2) ? 0 ?
因为a n ? 0,所以a n ? a n ?1 ? 2 ? 0 即:a n ? a n ?1 ? 2
所以数列 ?a n ?是等差数列。 ② Tn

? 3?

2n ? 3 2n

Tn ? ? 2n ? 3 1 ? (3 ? ? ?) ? n an?2 2n ? 3 2

?

3?? 1 ? n 2n ? 3 2
? Tn ? ? ? ? ? 为等比数列。 ? a n ?2 ?

所以当且仅当 3+ ? =0,即 ? =-3 时,数列 2. 已知在正项数列 ?a n ?中, a1 =2,且

2 2 An ( a n , a n ?1 ) 在双曲线 y ? x ? 1 上,

数列 ?bn ?中, 点( bn ,Tn )在直线

1 y ? ? x ? 1 上,其中 Tn 是数列 ?bn ?的前 n 项和,①求数列 ?a n ?的通项公式;②求证:数列 ?bn ?是 2

等比数列。③若 C n ? a n ? bn,求证:C n ?1 ? C n 。 解:①由已知带点 An ( a n , a n ?1 ) y ? x ? 1 上知, 在
2 2

a n?1 - a n =1,所以数列 ?a n ?是以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列。
所以 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 1 ②因为点( bn , Tn )在直线 y ? ?

1 x ? 1 上, 2

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

11

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

1 所以Tn ? ? bn ? 1 2 1 所以Tn ?1 ? ? bn ?1 ? 1 2 两式相减得: 1 1 bn ? Tn ? Tn ?1 ? ? bn ? bn ?1 2 2
1 所以bn ? bn ?1, 3 1 2 令n ? 1得b1 ? ? b1 ? 1,所以b1 ? 2 3 2 所以?bn ? 是一个以 为首项, 3 1 以 为公比的等比数列。 3 2 1 2 所以bn ? ? ( ) n ?1 ? n 3 3 3
③ Cn

? a n ? bn ? (n ? 1) ?

2 3n
2 3
n ?1

所以C n ?1 ? C n ? (n ? 2) ? ? 2 3
n ?1

? (n ? 1)

2 3n

? (?2n ? 1) ? 0

所以C n ?1 ? C n
一、选择题 1. ( 2009 广 东 卷 理 ) 已 知 等 比 数 列

{an }

满足

an ? 0 ,n ? 1, 2 , ?

,且

a5 ? a2n ? 5 ? 22 n ( n ? 3 )

, 则 当 n ?1 时 ,

l o g a 1 ? l o ga 3?? ? l o 2an?2 1? g 2 2
A. n(2n ? 1) 【 解 析 】 由 B. ( n ? 1)
2

C. n 得

2

D. (n ? 1) ,

2

a5 ? a2? n

5

2 ? 2n ( n ? 3 ) an ? 2 2n 2

an ? 0

, 则

an ? 2 n



log 2 a1 ? log 2 a3 ? ? ? ? ?

log 2 a 2 n ?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2
答案 C

,选 C.

2.(2009 辽宁卷理)设等比数列{

an

}的前 n 项和为

Sn

,若

S6 S3 =3 ,则

S9 S6

=

A. 2

B.

7 3

C.

8 3

D.3

S6 (1 ? q 3 ) S3 ? S3 S3 【解析】设公比为 q ,则 =1+q3=3 ? q3=2
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 12

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

于是 【答案】B

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

? an ? , 当an为偶数时, an ?1 ? ? 2 ?3an ? 1, 当an为奇数时。 a =1 a =m ?a ? ? 14.(2009 湖北卷理)已知数列 n 满足: 1 (m 为正整数) , 若 6 ,则 m 所有
可能的取值为__________。 答案 4 5 32

解析 (1)若

a1 ? m

a1 a m m a2 ? a3 ? 2 ? 2 2 4 为偶数,则 2 为偶, 故

m m m a4 ? ??????a6 ? 8 32 ①当 4 仍为偶数时,

m ? 1 ? m ? 32 故 32

3 m ?1 m 3 a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 4 4 ②当 4 为奇数时, 3 m ?1 4 ?1 4 故 得 m=4。
a1 ? m a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1

(2)若

为奇数,则

为偶数,故

a3 ?

3m ? 1 2 必为偶数

?????? a6 ?

3m ? 1 3m ? 1 16 ,所以 16 =1 可得 m=5

16.(2009 陕西卷文)设等差数列 解析:由 答案:2n

?an ? 的前 n 项和为 sn ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则 an ?

.

a6 ? s3 ? 12

可得

?an ? 的公差 d=2,首项 a1 =2,故易得 an ? 2n.
lim

Sn ?a ? S a ? S3 ? 12 n?? n 2 ? 17.(2009 陕西卷理)设等差数列 n 的前 n 项和为 n ,若 6 ,则
?a6 ? 12 ?a1 ? 5d ? 12 ?a1 ? 2 S S n ?1 n ?1 解析: ?? ?? ? Sn ? n(n ? 1) ? n ? ? lim n ? lim ?1 ? 2 2 n ?? n n ?? n n n ?d ? 2 ?a1 ? d ? 12 ? s3 ? 12
答案:1

.

22.(2009 全国卷Ⅰ理)在数列

{an }

1 n ?1 a1 ? 1, an?1 ? (1 ? )an ? n n 2 中,
专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 13

选校网 www.xuanxiao.com

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

(I)设

bn ?

an n ,求数列 {bn } 的通项公式
{an }
的前 n 项和

(II)求数列

Sn

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n 2 分析: (I)由已知有 n ? 1 n 2 bn ? 2 ? 1 2n ?1 ( n ? N * )

利用累差迭加即可求出数列

{bn }

的通项公式:

(II)由(I)知

an ? 2n ?

n 2n ?1 ,

? S n = k ?1
n

? (2k ?

n

n n k k ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2 n

而 k ?1

? (2k ) ? n(n ? 1) ?2
n

,又 k ?1

?2

k
k ?1

是一个典型的错位相减法模型,

k
k ?1

? 4?

易得 k ?1

n?2 n?2 ? n ?1 ? 4 n ?1 2 ? S n = n(n ? 1) 2
A ? ?a1 , a2 ,? an ??1 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2 ?
具有性质 P ;对任意的

23.(2009 北京理)已知数集

i, j ?1 ? i ? j ? n ?

aj


ai a j



ai 两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集

?1,3, 4? 与 ?1, 2,3, 6? 是否具有性质 P ,并说明理由;

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ? ? a1 ? 1 a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1 (Ⅱ)证明: ,且 ;
(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时,

a1 , a2 , a3 , a4 , a5

成等比数列.

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.

4 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. (Ⅰ)由于 3 ? 4 与 3 均不属于数集

6 6 1 2 3 6 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 2 3 1 2 3 6 都属于数集 ?1, 2,3, 6? , 由于
∴该数集具有性质 P.

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

14

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

(Ⅱ)∵ 由于

A ? ?a1 , a2 ,? an ?

an aa a 具有性质 P,∴ n n 与 n 中至少有一个属于 A,
an an ? an
,故

1 ? a1 ? a2 ? ? ? an

,∴

an an ? A

.

1?
从而 ∵

an ?A a ?1 an ,∴ 1 .
, ∴

1 ? a1 ? a2 ? ? ? an

ak an ? an

,故

ak an ? A ? k ? 2,3,? , n ?

.

an ? A ? k ? 1, 2,3,? , n ? ak 由 A 具有性质 P 可知 . an a a a ? n ??? n ? n a an ?1 a2 a1 , 又∵ n an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an ?1 , n ? an a an ?1 a2 a1 ∴ n ,

an a a a ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an a an ?1 a2 a1 从而 n ,
a1 ? a2 ? ? ? an ? an ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1 ∴ . a5 a ? a2 , 5 ? a3 2 a ? a2 a4 ? a3 a a3 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有 4 ,即 5 ,


1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5

,∴

a3a4 ? a2 a4 ? a5

,∴

a3a4 ? A



a4 ?A a3 由 A 具有性质 P 可知 . a3 a4 a a4 a3 ? ?A 1 ? 3 ? a2 ? ? a2 a2 a4 ? a a2 a3 a2 a3 a2 ,得 ,且 ,∴ ,
2 3

a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 a ,a ,a ,a ,a a a4 a3 a2 a1 ∴ ,即 1 2 3 4 5 是首项为 1,公比为 2 成等比数列.
表示关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的有序数组 (a, b) 的
2

25(2009 江苏卷)对于正整数 n ≥2,用 组数,其中

Tn

a, b ? ?1, 2,?, n?

( a 和 b 可以相等) ;对于随机选取的

a, b ? ?1, 2,?, n?

( a 和 b 可以相等) ,记

Pn

为关于

x 的一元二次方程 x2 ? 2ax ? b ? 0 有实数根的概率。
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 15

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

(1)求

Tn2



Pn2



(2)求证:对任意正整数 n ≥2,有

Pn ? 1 ?

1 n.

【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分 10 分。

29.(2009 江西卷理)各项均为正数的数列

{an }



a1 ? a, a2 ? b

,且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数 m, n, p, q 都有

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1? an ) (1 a p )(1 aq ) ? ?

1 4 a? , b? 2 5 时,求通项 an ; (1)当 1
(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有 ?

? an ? ?.

解: (1)由

a p ? aq am ? an ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )



a1 ? an a2 ? an ?1 ? . a ? 1 ,a ? 4 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an ?1 ) 将 1 2 2 5 代入化简得 an ? 2an ?1 ? 1 . an ?1 ? 2

1 ? an 1 1 ? an ?1 ? ? , 1 ? an 3 1 ? an ?1 所以

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

16

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

1 ? an { } 1 ? an 为等比数列,从而 故数列
n 1 ? an 1 ? n , a ? 3 ?1. 1 ? an 3 即 n 3n ? 1

可验证,

an ?

3n ? 1 3n ? 1 满足题设条件.

am ? an a1 ? an a ? an bn ?1 ? ? . (1 ? am )(1 ? an ) 的值仅与 m ? n 有关,记为 bm? n , 则 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an ) (2) 由题设

f ( x) ?
考察函数

a?x ( x ? 0) (1 ? a)(1 ? x) ,则在定义域上有

? 1 a ?1 ?1 ? a , ? ? 1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 2 ? ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?
故对 n ? N ,
*

bn ?1 ? g (a)

恒成立.

b2 n ?


2an ? g (a) (1 ? an ) 2 ,

0 ? g (a) ?
注意到

1 2 ,解上式得

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) 1 ? g ( a) ? 1 ? 2 g ( a) g (a) ? ? an ? , g (a) g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a)

??


1 ? g (a) ? 1 ? 2 g ( a) g (a) ,即有

1

?

? an ? ?.
.

30. (2009 湖北卷理)已知数列 (Ⅰ)令

? an ?

1 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 2 的前 n 项和 (n 为正整数) 。

bn ? 2n an

,求证数列

?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

cn ?
(Ⅱ)令

n ?1 5n an T ? c ? c ? ........ ? c Tn 2n ? 1 1 2 n 试比较 n , n 与 的大小,并予以证明。

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

17

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

1 1 a1 ? Sn ? ?an ? ( )n ?1 ? 2 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 2 2 解(I)在 中,令 n=1,可得 ,即 1 1 Sn?1 ? ?an?1 ? ( )n?2 ? 2, an ? Sn ? Sn ?1 ? ?an ? an ?1 ? ( )n?1 ? 2 2 当 n ? 2 时, ,

1 ? 2a n ? an?1 ? ( )n?1 ,即2n an ? 2n?1 an?1 ? 1 2 .
? bn ? 2n an ,? bn ? bn ?1 ? 1,即当n ? 2时,bn ? bn ?1 ? 1
又 .

b1 ? 2a1 ? 1,?

数列

?b ? 是首项和公差均为 1 的等差数列.
n

于是

bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ?

n 2n .

cn ?
(II)由(I)得

n ?1 1 an ? (n ? 1)( )n n 2 ,所以

1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( )2 ? 4 ? ( )3 ? K ? (n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? (n ? 1)( ) n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( )2 ? ( )3 ? K ? ( ) n ? (n ? 1)( ) n?1 2 2 2 2 由①-②得 2

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2
Tn ? 5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)

于是确定

Tn与

5n n 2n ? 1 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1的大小
2 3 4 5

由 2 ? 2 ?1 ? 1; 2 ? 2 ? 2 ? 1; 2 ? 2 ? 3 ? 1; 2 ? 2 ? 4 ? 1; 2 ? 2 ? 5; K

2 可猜想当 n ? 3时, ? 2n ? 1. 证明如下:
n

证法 1: (1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2)假设 n ? k ? 1 时 2
k ?1

? 2g2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ? 1) ? 2( k ? 1) ? 1

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

18

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.
n

证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n n 0 1 n n 2n ? (1 ? 1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

综上所述,当 n ? 1, 2时

Tn ?

5n 5n Tn ? 2n ? 1 ,当 n ? 3 时 2n ? 1
bn ? 4 ? an (n ? N * ) 1 ? an 。

31. (2009 四川卷文) 设数列 (I)求数列

?an ? 的前 n 项和为 S n , a ? 5S n ? 1 对任意的正整数 n , 都有 n 成立, 记

?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找出一个正整数 k ;若不存在,
Tn ? ?c ? T 2; ,设数列 n 的前 n 项和为 n ,求证:对任意正整数 n 都有 3

(II)设数列

请说明理由;

(III)记

cn ? b2 n ? b2 n?1 (n ? N * )

解(I)当 n ? 1 时, 又

a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ?

1 4

? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

? an ?1 ? an ? 5an ?1 ,即

an ?1 1 ?? an 4

a1 ? ? q?? ?a ? 4 ,公比为 4 的等比数列, ∴数列 n 是首项为

1

1

1 4 ? (? ) n 4 (n ? N * ) bn ? 1 n 1 n an ? (? ) 1 ? (? ) 4 , 4 ∴
(II)不存在正整数 k ,使得

?????????????3 分

Rn ? 4k

成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? bn ? 1 (?4) n ? 1 1 ? (? ) n 4 证明:由(I)知

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

19

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

? b2 k ?1 ? b2 k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8? k ? k ? 8? ? 8. (?4) 2 k ?1 ? 1 (?4) 2 k ? 1 16 ? 1 16 ? 4 (16k ? 1)(16k ? 4) 5 ?
?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴

Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2 m?1 ? b2 m ) ? 8m ? 4n
?

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1(m ? N ) ∴

Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2 m?3 ? b2 m?2 ) ? b2 m?1 ? 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n Rn ? 4k
成立。 ?????????????8 分

∴对于一切的正整数 n,都有 ∴不存在正整数 k ,使得

Rn ? 4k

bn ? 4 ?
(III)由

5 (?4) n ? 1 得
5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? 2 n ?1 ? ? ? ? 42 n ? 1 4 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n

cn ? b2 n ?1 ? b2 n ?



b1 ? 3, b2 ?

13 4 ,? c2 ? 3 3, T1 ? 3 2,

当 n ? 1 时,

当 n ? 2 时,

1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16
32.(2009 湖南卷文)对于数列

{u n }

,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ,恒有
*

un ?1 ? un ? un ? un ?1 ? ? ? u2 ? u1 ? M

,

则称数列

{u n }

为 B ? 数列.

1 (Ⅰ)首项为 1,公比为 2 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; ?
(Ⅱ)设

Sn

是数列

{ xn }

的前 n 项和.给出下列两组判断:
专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 20

选校网 www.xuanxiao.com

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

A 组:①数列 B 组:③数列

{ xn } {S n }

是 B-数列, 是 B-数列,

②数列 ④数列

{ xn }

不是 B-数列; 不是 B-数列.

{S n }

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (Ⅲ)若数列

{an }

是 B-数列,证明:数列

2 {an }

也是 B-数列。

1 an ? (? )n ?1 {a } 2 解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 n ,则 .于是
1 1 3 1 an ? an ?1 ? (? ) n ?1 ? (? ) n ? 2 ? ? ( ) n ? 2 , n ? 2. 2 2 2 2
| an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ? ? ? | a2 ? a1 |

3 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ) ? ? ? )-1 ? 3 ? ?1 ? )? ? 3. ( 2 ( n ( n 2 2 2 ? ?= ? =2 ? 2

1 所以首项为 1,公比为 2 的等比数列是 B-数列 ?
(Ⅱ)命题 1:若数列 事实上设

. 是 B-数列.此命题为假命题.

{ xn }
*

是 B-数列,则数列

{S n }

xn

=1, n ? N ,易知数列

{ xn }

是 B-数列,但 .

Sn

=n,

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn ?1 | ? ? ? | S2 ? S1 |? n
由 n 的任意性知,数列 命题 2:若数列

{S n }

不是 B-数列。

{S n }

是 B-数列,则数列

{ xn }

不是 B-数列。此命题为真命题。
*

事实上,因为数列

{S n }

是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N ,有 ,

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ? ? ? | S2 ? S1 |? M


| xn?1 | ? | xn | ? ? ? | x2 |? M

.于是

xn ?1 ? xn ? xn ? xn ?1 ? ? ? x2 ? x1
,

? xn ?1 ? 2 xn ? 2 xn ?1 ? ? ? 2 x2 ? x1 ? 2M ? x1
所以数列

{ xn }

是 B-数列。

(注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法) (Ⅲ)若数列

?an ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N ? , 有
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 21

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ? ? a2 ? a1 ? M
因为

.

an ? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1
.

? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1


K ? M ? a1

,则有

2 2 an ?1 ? an ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an )

? ( an ?1 ? an ) an ?1 ? an ? 2 K an ?1 ? an
因此

. .

2 2 2 2 2 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ... ? a2 ? a12 ? 2 KM 2 n

?a ? 是 B-数列. 故数列
33. (2009 陕西卷理) 已知数列

? xn } 满足,

x1=

1 1 xn+1= ,n? N* 2’ 1 ? xn .

? ? ? 猜想数列 { xn } 的单调性,并证明你的结论;
1 2 | xn?1 -xn|≤ ( )n?1 6 5 (Ⅱ)证明: 。
x1 ?
证明(1)由 由

1 1 2 5 13 及xn+1 ? 得x2 ? ? x4 ? ,x4 ? 2 1 ? xn 3 8 21

x2 ? x4 ? x6

猜想:数列

? x2n ? 是递减数列
(2)假设当 n=k 时命题成立,即

下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,已证命题成立

x2 k ? x2 k ? 2

易知

x2 k ? 0

x2 k ? 2 ? x2 k ? 4 ?
,那么

x2 k ?3 ? x2 k ?1 1 1 ? ? 1 ? x2 k ?1 1 ? x2 k ?3 (1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?3 )

x2 k ? x2 k ? 2 ?0 (1 ? x2 k )(1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ? 2 )(1 ? x2 k ?3 ) =


x2( k ?1) ? x2( k ?1)? 2

也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立

(2)当 n=1 时,

xn ?1 ? xn ? x2 ? x1 ?

1 6 ,结论成立
1 1 ? 1 ? xn ?1 2

当 n ? 2 时,易知

0 ? xn ?1 ? 1,?1 ? xn ?1 ? 2, xn ?

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

22

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

? (1 ? xn )(1 ? xn ?1 ) ? (1 ?

1 5 )(1 ? xn ?1 ) ? 2 ? xn ?1 ? 1 ? xn ?1 2

? xn ?1 ? xn ?

xn ? xn ?1 1 1 ? ? 1 ? xn 1 ? xn ?1 (1 ? xn )(1 ? xn ?1 )

?

2 2 2 xn ? xn ?1 ? ) xn ?1 ? xn ? 2 ? ? ? ) x2 ? x1 ( 2 ( n-1 5 5 5 1 2 n-1 ? ( ) 6 5

an
35.(2009 天津卷理)已知等差数列{

}的公差为 d(d ? 0) ,等比数列{
?

bn

}的公比为 q(q>1) 。设

sn a1b1 a2 b2
= +

…..+

an bn
, 若

Tn a1b1 a2 b2
= -

+…..+(-1 )

n?1

an bn

,n ? N

a1 b1
=

= 1,d=2,q=3,求

S3

的值;

2dq(1 ? q 2 n ) ? b S T 1 ? q2 若 1 =1,证明(1-q) 2n -(1+q) 2n = ,n ? N ;
(Ⅲ) 若正数 n 满足 2 ? n ? q, 设

k1 ,.k., . 2

,,...,n和2l l k 1. .2 . 1

ln是 , ,,n

的两个不同的排列,

c1 ? ak1 b1 ? ak2 b2 ? ... ? akn bn



c2 ? al1 b1 ? al2 b2 ? ... ? aln bn

c1 ? c2
证明 。

本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识,考查运算能力,推理论证能 力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题设,可得 所以,

an ? 2n ? 1, bn ? 3n ?1 , n ? N *

S3 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 1?1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 9 ? 55
bn ? q n ?1
则 ①

(Ⅱ)证明:由题设可得

S2 n ? a1 ? a2 q ? a3q 2 ? ..... ? a2 n q 2 n ?1 ,

T2 n ? a1 ? a2 q ? a3q 2 ? a4 q 3 ? ..... ? a2 n q 2 n ?1 , S 2 n ? T2 n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ... ? a2 n q 2 n ?1 )
式减去②式,得 式加上②式,得 ②

S2 n ? T2 n ?2 ( a1 ? a32q ?. . . .? a ?2 n
式两边同乘 q,得

2? 2 n 1

q

)



3 q( S n ? T n ) ? 2 (a q a q? . . .? ?2a . n 2 2 1 ? 3

2? 1 n 1

q

)
23

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

所以,

( 1? q )S n ? ( 1 q Tn ? Sn ? Tn ? 2 ) ( 2 2 2

) q (S ? 2T ) ? 2n n

? 2d (q ? q 3 ? K ? q 2 n ?1 ) ? 2dq (1 ? q 2 n ) ,n? N* 1 ? q2

(Ⅲ)证明:

c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? K ? (akn ? aln )bn ? (k1 ? l1 )db1 ? (k2 ? l2 )db1q ? K ? (kn ? ln )db1q n?1

因为

d ? 0, b1 ? 0,

所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K ? (kn ? ln )q n ?1 db1
若 若

kn ? ln kn ? ln

,取 i=n ,取 i 满足

ki ? li



k j ? l j , i ?1 ? j ? n

由(1),(2)及题设知, 1 ? i ? n 且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K (ki ?1 ? li ?1 )q i ?2 ? (ki ? li )q i ?1 db1
当 即 又

ki ? li

时,得

ki ? li ? ?1,由q ? n,得ki ? li ? q ? 1, i ? 1, 2,3.....i ? 1


k1 ? l1 ? q ? 1

(k2 ? l2 )q ? q(q ? 1)
所以

…,

(ki ?1 ? li ?1 )q i ?2 ? q i ?2 (q ? 1)

(ki ? li )qi ?1 ? ?qi ?1 ,

c1 ? c2 1 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? K (q ? 1)q i ? 2 ? q i ?1 ? (q ? 1) db1 1? q
因此

c1 ? c2 ? 0,即c1 ? c2

c1 ? c2 ? ?1 ki ? li c ? c2 db1 当 同理可得 ,因此 1
综上,

c1 ? c2

37.(2009 年上海卷理)已知 若

?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。
*

an ? 3n ? 1

,是否存在 m、k ? N ,有

am ? am?1 ? ak ?

说明理由;

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

24

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

找出所有数列 若

?an ?



?bn ?

an ?1 ? bn n ? N , an ,使对一切 ,并说明理由;
*

a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3,

?b ? ?a ? 试确定所有的 p ,使数列 n 中存在某个连续 p 项的和是数列 n 中的一项,请证明。
,得 6m ? 5 ? 3k ? 1 , ... 分 ...2

[解法一](1)由

am ? am ?1 ? ak

k ? 2m ?
整理后,可得
?

4 3 ,? m 、 k ? N ? ,? k ? 2m 为整数,
... 分 ...5

?不存在 m 、 k ? N ,使等式成立。
an ?1 a1 ? nd ? bn ? b1q n ?1 a a ? (n ? 1)d (2)若 ,即 1 ,
1 ? b1q (ⅰ)若 d ? 0, 则
当{
n ?1

(*)

? bn

。 ... 分 ...7

an

}为非零常数列,{

bn

}为恒等于 1 的常数列,满足要求。

(ⅱ)若 d ? 0 , (*)式等号左边取极限得 此时等号左边是常数,? d ? 0 ,矛盾。 综上所述,只有当{

lim
n ??

a1 ? nd ?1 a1 ? (n ? 1)d , (*)式等号右边的极限只有当 q ? 1 时,才能等于 1。

an

}为非零常数列,{

bn

}为恒等于 1 的常数列,满足要求。...10 分 ...

an ? nd ? c, 若
【解法二】设

an ?1 ? bn , 且 ?bn ? 为等比数列 an

an? 2 an ?1 / ? q, 对n ? N *都成立,即an an ? 2 ? qa 2 n ?1 a an 则 n ?1
? (dn ? c)(dn ? 2d ? c) ? q(dn ? d ? c) 2 对n ? N *都成立, a 2 ? qd 2 ....7分 ?
若 d=0,则

an ? c ? 0,? bn ? 1, n ? N *

dn ? d ? c ?m ?b ? m 若 d ? 0, 则q=1, n (常数)即 dn ? c ,则 d=0,矛盾
an ? c ? 0, bn ? 1, 使对一切n ? N * ,
综上所述,有 (3) 设

an?1 ? bn an ,

10 分

an ? 4n ? 1, bn ? 3n , n ? N *
.
25

am?1 ? am?2 ? ?? ? a m? p ? bk ? 3k , p、k ? N * , m ? N
选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

4(m ? 1) ? 1 ? 4(m ? p) ? 1 p ? 3k 2 ,
3k ? 4m ? 2 p ? 3 ? ,? p、k ? N *,? p ? 35 , s ? N p .
取 k ? 3s ? 2,4m ? 3
2 s ?2

13 分 15 分

? 2 ? 3s ? 3 ? (4 ? 1) 2 s?2 ? 2 ? (4 ? 1) s ? 3 ? 0,

由二项展开式可得正整数 M1、M2,使得(4-1)2s+2=4M1+1,

2 ? (4 ? 1) s ? 8M 2 ? (?1) s 2, ? 4m ? 4( M1 ? 2M 2 ) ? (?1) s ? 1 2,? 存在整数m满足要求.
故当且仅当 p=3s,s ? N 时,命题成立. 说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) 若 p 为偶数,则 am+1+am+2+??+am+p 为偶数,但 3k 为奇数 故此等式不成立,所以,p 一定为奇数。 当 p=1 时,则 am+1=bk,即 4m+5=3k, 而 3k=(4-1)k =
1 Ck0 ? 4k ? Ck ? 4k ?1 ? (?1) ? ?? ? Ckk ?1 ? 4 ? (?1) k ?1 ? Ckk ? (?1) k ? 4M ? (?1) k , M ? Z ,

?

?

当k为偶数时,存在m,使4m+5=3k 成立 1分 当 p=3 时,则 am+1+am+2+am+3=bk,即 3am+2-bk, 也即 3(4m+9)=3k,所以 4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已证可知,当 k-1 为偶数即 k 为奇数时,存在 m, 4m+9=3k 成立 2分 当 p=5 时,则 am+1+am+2+??+am+5=bk,即 5am+3=bk 也即 5(4m+13)=3k,而 3k 不是 5 的倍数,所以,当 p=5 时,所要求的 m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 三、解答题

?a ? 0 ? a1 ? 1 an?1 ? f (an ) 10.(2008 全国 I)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 n 满足 , .
1) (Ⅰ)证明:函数 f ( x) 在区间 (0, 是增函数;
(Ⅱ)证明:

an ? an ?1 ? 1



(Ⅲ)设

b ? (a1, 1)

k≥
,整数

a1 ? b a1 ln b .证明: ak ?1 ? b .

f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0 (Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x ,
故函数

f ? x?

在区间(0,1)上是增函数;

(Ⅱ)证明: (用数学归纳法) (i)当 n=1 时,

0 ? a1 ? 1



a1 ln a1 ? 0



a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 26

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

, 是 ,是 由 函 数 f ( x) 在 区 间 ( 0 1 ) 增 函 数 , 且 函 数 f ( x) 在 x ? 1 处 连 续 , 则 f ( x) 在 区 间 ( 0 1 ] 增 函 数 ,
a2 ? f( a ) ? a ? al n a ? 1 1 1 1 1
,即

a1 ? a2 ? 1

成立; 成立,即

(ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时,

ak ? ak ?1 ? 1

0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1

0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 1] 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x) 在区间 (0, 是增函数, 得 f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) ak ?1 ? ak ? 2 ? 1
.而

an?1 ? f (an )

,则

ak ?1 ? f (ak ), ak ? 2 ? f (ak ?1 )
也成立; 恒成立.



,也就是说当 n ? k ? 1 时,

an ? an ?1 ? 1

根据(ⅰ)(ⅱ)可得对任意的正整数 n , 、

an ? an ?1 ? 1

a ? f (an ) (Ⅲ)证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . n ?1 可

? a ? b ? ? ai ln ai a? a b k a 1 ?? a k ?ln k ? b k 1 i ?1
若存在某 i ≤ k 满足 若对任意 i ≤ k 都有
k

k

ai ≤ b

,则由⑵知: ,则

ak ?1 ? b ? ai ? b ≥ 0

ai ? b

a? a b k a ?? a k ?ln k ? b k 1
k k

? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b
i ?1 i ?1 i ?1

?1 b ka a ?1 b ? ln

?1 b ka ? ??1 b 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. a ? 1 b a b( ? ? ? ln 1 a )
11.(2008 山东卷)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ??

2bn b S ? S 2 n 1= 记表中的第一列数 a1, a4, ?构成的数列为 a2, a7, {bn} ,b1=a1=1. Sn 为数列 {bn} 的前 n 项和, 且满足= n N
(n≥2).

1 S (Ⅰ)证明数列{ n }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;

(Ⅱ) 上表中, 若从第三行起, 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列, 且公比为同一个正数.当 求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和.
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

a81 ? ?

4 91 时,

27

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

12.(2007 湖南)已知
2 2 Sn ? 3n 2 an ? S n ?1

An (an,bn ) an ? 0

x a ? a Sn {a } ( n?N* )是曲线 y ? e 上的点, 1 , 是数列 n 的前 n 项和,且满足



3, ?. , n ? 2,4,

? bn ? 2 ? ? ? b (I)证明:数列 ? n ? ( n ≤ 2 )是常数数列;
(II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ? M 时,数列 (III)证明:当 a ? M 时,弦

{an }

是单调递增数列;

An An ?1

( n?N* )的斜率随 n 单调递增 . ?? ① ??②

解: (I)当 n≥ 2 时,由已知得 因为 于是

2 2 Sn ? Sn ?1 ? 3n 2 an

an ? Sn ? Sn ?1 ? 0

,所以 .

Sn ? Sn ?1 ? 3n 2



Sn ?1 ? Sn ? 3(n ? 1)2

由②-①得 于是

an ?1 ? an ? 6n ? 3
. ,



?? ③ ?? ④ ?? ⑤

an? 2 ? an?1 ? 6n ? 9 an? 2 ? an ? 6

由④-③得

? bn ? 2 ? bn ? 2 e an?2 ? an ? e an?2 ? an ? e6 ? ? ( n ≥ 2) bn e ? bn ? 所以 ,即数列 是常数数列.
(II)由①有

S2 ? S1 ? 12 {a2 k }


,所以

a2 ? 12 ? 2a
分别是以

.由③有

a3 ? a2 ? 15



a4 ? a3 ? 21

,所以

a3 ? 3 ? 2a



a4 ? 18 ? 2a



而 ⑤表明:数列 所以 数列

{a2 k ?1}

a2



a3

为首项,6 为公差的等差数列, ,

a2 k ? a2 ? 6(k ? 1) {an }



a2 k ?1 ? a3 ? 6(k ? 1) ? a1 ? a2




a2 k ? 2 ? a4 ? 6(k ? 1)(k ? N*)

是单调递增数列 且

a2 k ? a2 k ?1 ? a2 k ? 2

对任意的 k ?N* 成立.

? a1 ? a2

a2 ? 6(k ? 1) ? a3 ? 6(k ? 1) ? a4 ? 6(k ? 1)

9 15 ? a ? 12 ? 2a ? 3 ? 2a ? 18 ? 2a ? ? a ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 4 4.
? 9 15 ? M ? ?a ? a ? ? 4 ?. ? 4 即所求 a 的取值集合是 kn ?
的斜率为

(III)解法一:弦

An An ?1

bn ?1 ? bn ean?1 ? ean ? an ?1 ? an an ?1 ? an

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

28

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

e x ( x ? x0 ) ? (e x ? e x0 ) e x ? e x0 f ( x) ? f ( x) ? x x ? x0 ,则 ( x ? x0 ) 2 任取 0 ,设函数
记 当 当

g ( x) ? e x ( x ? x0 ) ? (e x ? e x0 )

,则

g ?( x) ? e x ( x ? x0 ) ? e x ? e x ? e x ( x ? x0 )



x ? x0 x ? x0

( x , ?) ? ? 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 0 上为增函数, (??,x0 ) ? 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 上为减函数,
时,

所以

x ? x0

g ( x) ? g ( x0 ) ? 0

(??,x0 ) ( x0, ?) ? ? ,从而 f `( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 和 上都是增函数.
单调递增,

由(II)知, a ? M 时,数列

{an }



x0 ? an

,因为

an ? an ?1 ? an ? 2

kn ?
,所以

e an?1 ? e an e an?2 ? e an ? an ?1 ? an an ? 2 ? an . e an?1 ? e an?2 e an ? e an?2 ? an ?1 ? an ? 2 an ? an ? 2 .



x0 ? an ? 2

,因为

an ? an ?1 ? an ? 2

kn ?1 ?
,所以

所以

kn ? kn ?1

,即弦

An An ?1 (n ? N*)

的斜率随 n 单调递增.

e x ? ean?1 f ( x) ? ? x ? an ?1 ,同解法一得, f ( x) 在 (??,an ?1 ) 和 (an?1, ?) 上都是增函数, 解法二:设函数 kn ?
所以 故

e an ? e an?1 e x ? e an?1 e an?2 ? e an?1 e x ? e an?1 ? lim ? e an?1 kn ?1 ? ? lim ? e an?1 ? n→a ??1 x ? a n→an?1 x ? a an ? an ?1 an ? 2 ? an ?1 n n ?1 n ?1 , .
,即弦

kn ? kn ?1

An An ?1 (n ? N*)

的斜率随 n 单调递增.

5.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)

{a n }满足a1 ? 1, a n ?1
数列 m 的最小值 A.10 B.9 答案:A.

1 2 2 ? 4 ? 1, 记S n ? a12 ? a 2 ?? ? a n , 2 an



S 2 n?1 ? S n ?

m 30 对任意 n ? N * 恒成立, 则正整数

( ) C.8 D.7

选校网 www.xuanxiao.com

专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

29


推荐相关:

高中数列知识大总结(绝对全)

高中数列知识大总结(绝对全)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数列知识大总结 第六章一、考试要求 数列 1.会根据数列前 n 项写出一个通项公式,会运用通...


高中数列知识大总结(绝对全)

高中数列知识大总结(绝对全)_数学_高中教育_教育专区。第一课时知识要点一、 数列的概念 数列 1.数列是按一定顺序排列的一列数,记作 a1 , a2 , a3 ?an ,...


高中数列知识大总结(绝对全)

高中数列知识大总结(绝对全)_数学_高中教育_教育专区。数列 数列通项 an 与前 n 项和 S n 的关系 1. S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? ai i...


高中数列知识大总结(绝对全) 2

高中数列知识大总结(绝对全) 2_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第一课时知识要点数列通项 a n 与前 n 项和 S n 的关系 数列 1. S n ? a 1 ? a...


高中数列知识大总结(绝对全)

高中数列知识大总结(绝对全)_数学_高中教育_教育专区。第六章一、考试要求 数列 1.会根据数列前 n 项写出一个通项公式,会运用通项讨论其性质(如单调性) ,能...


高中数列知识大总结(绝对全)

第六章二、重难点击 数列 本章重点:数列的概念,等差数列,等比数列的定义,通项公式和前 n 项和公式及运用,等差数列、等比数 列的有关性质。注重提炼一些重要的...


高中数列知识大总结(绝对全)

高中数列知识总结 4页 5财富值 最新高中数列知识总结 2页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...


高中数列知识大总结(绝对全)[1]

高中数列知识大总结(绝对全)[1] 数列知识大全数列知识大全隐藏>> 第六章一、考试要求 数列 1.会根据数列前 n 项写出一个通项公式,会运用通项讨论其性质(如单...


高中数列知识大总结(绝对全)

高中数列知识大总结(绝对全) 隐藏>> 第一课时四、数列通项 a n 与前 n 项和 S n 的关系 数列 1. S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n = ∑ ...


高中数列知识大总结(绝对全)[1]

高中数列知识大总结(绝对全)[1] 数列数列隐藏>> 第六章 知识网络 数列 通项公式 数列与正整数集关系 递推公式 等差数列 数列 等比数列定义 通项公式 中项 前...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com