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2015年天津市高考数学试卷(文科)


2015 年天津市高考数学试卷(文科) 一、选择题:每题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?天津)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,3,5},集合 B={1, 3,4,6},则集合 A∩?UB=( ) A.{3} B.{2,5} C.{1,4,6} D.{2,3,5}

2. (5 分) (2015?天津)设变量 x,y 满足约束条件

则目标函数 z=3x+y 的最

大值为( ) A.7 B.8 C.9 D.14 3. (5 分) (2015?天津) 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 i 的值为 (



A.2 B.3 C.4 D.5 4. (5 分) (2015?天津)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x﹣2|<1”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分) (2015?天津)已知双曲线
2 2





=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0) ,且 )

双曲线的渐近线与圆(x﹣2) +y =3 相切,则双曲线的方程为( A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣y =1 D.x ﹣
2 2

=1

6. (5 分) (2015?天津)如图,在圆 O 中,M、N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为( )

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A.

B.3

C.

D.
|x﹣m|

7. (5 分) (2015?天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 ﹣1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53) ,b=f(log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 8. (5 分) (2015?天津)已知函数 f(x)= 则函数 y=f(x)﹣g(x)的零点个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 ) ,函数 g(x)=3﹣f(2﹣x) ,

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (5 分) (2015?天津)i 是虚数单位,计算 的结果为 .

10. (5 分) (2015?天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为 3 m.

11. (5 分) (2015?天津)已知函数 f(x)=a lnx,x∈(0,+∞) ,其中 a 为实数,f′(x) 为 f(x)的导函数,若 f′(1)=3,则 a 的值为 . 12. (5 分) (2015?天津) 已知 a>0, b>0, ab=8, 则当 a 的值为 时, log2a?log2 (2b)取得最大值. 13. (5 分) (2015?天津)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 = , = ,则 ? 的值为 .

x

14. (5 分) (2015?天津)已知函数 f(x)=sinω x+cosω x(ω >0) ,x∈R,若函数 f(x) 在区间(﹣ω ,ω )内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称,则ω 的值 为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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15. (13 分) (2015?天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18, 先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛. (Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数; (Ⅱ)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这 6 名运动 员中随机抽取 2 人参加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到” ,求事件 A 发生的概 率. 16. (13 分) (2015?天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 3 ,b﹣c=2,cosA=﹣ .

(Ⅰ)求 a 和 sinC 的值; (Ⅱ)求 cos(2A+ )的值. , AA1= ,

17. (13 分) (2015?天津) 如图, 已知 AA1⊥平面 ABC, BB1∥AA1, AB=AC=3, BC=2 BB1=2 ,点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 A1B1BA; (Ⅱ)求证:平面 AEA1⊥平面 BCB1; (Ⅲ)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

18. (13 分) (2015?天津) 已知{an}是各项均为正数的等比数列, {bn}是等差数列, 且 a1=b1=1, b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式; * (Ⅱ)设 cn=anbn,n∈N ,求数列{cn}的前 n 项和. 19. (14 分) (2015?天津)已知椭圆 + =1(a>b>0)的上顶点为 B,左焦点为 F,离心

率为



(Ⅰ)求直线 BF 的斜率. (Ⅱ)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B) ,过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q (Q 异于点 B) ,直线 PQ 与 y 轴交于点 M,|PM|=λ |MQ|. (i)求λ 的值.
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(ii)若|PM|sin∠BQP=

,求椭圆的方程.
4

20. (14 分) (2015?天津)已知函数 f(x)=4x﹣x ,x∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x) ,求 证:对于任意的实数 x,都有 f(x)≤g(x) ; (Ⅲ) 若方程 f (x) =a (a 为实数) 有两个实数根 x1, x2, 且 x1<x2, 求证: x2﹣x1≤﹣ +4 .

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