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2017届河北武邑中学高三上学期周考(9月4日)数学(理)试题(解析版)


2017 届河北武邑中学高三上学期周考(9 月 4 日) 数学(理)试题
一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.第二象限的角比第一象限的角大 B.若 sin ? ?

1 ? ,则 ? ? 2 6

C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D.不论用角度制还是弧度制度量一个角,它们与扇形所对应的半径的大小无关 【答案】D 【解析】试题分析: “第二象限的角比第一象限的角大”错,例如 ?210? ? 30? ; “若

sin ? ?

1 ? 5? 1 ? ; ,则 ? ? ”错,例如 sin “三角形的内角是第一象限角或第二象 2 6 6 2

限角”错,例如 90? ;根据角度和弧度的定义知“不论用角度制还是弧度制度量一个角, 它们与扇形所对应的半径的大小无关”正确,故选 D. 【考点】1、弧度制与角度制;2、象限角及特殊角的三角函数. 2.已知函数 y ? cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示,则( )

2? 3 2? C. ? ? 2, ? ? 3
A. ? ? 1, ? ? 【答案】D

2? 3 2? D. ? ? 2, ? ? ? 3
B. ? ? 1, ? ? ?

【解析】试题分析:由图象得

cos(2 ?

?
3

? ? ) ? 1, 得 ? ? ?

2? ,故选 D. 3

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,T ? ? ? ,? ? 2 , 所 以 由 4 12 3 4 ?

【考点】1、三角函数的图象与性质;2、特殊角的三角函数. 3. 曲线 y ? 2sin( x ?

?

? 1 ) cos( x ? ) 与直线 y ? 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大 4 4 2
) C . 3? B . 2?

依次记为 p1 , p2 , p3 ,? ,则 | p2 p4 | 等于( A. ? D. 4? 【答案】A 【 解



















第 1 页 共 10 页

? ? 2 2 y ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) ? 2 ? ?sin x ? cos x ? ? ? ? cos x ? sin x ? 4 4 2 2
? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? sin 2 x
p1 ? 1? 1 , p4 ? 1 2
, 所 以 令

1 ? sin 2 x
1


?

?2

, 1

3 p2 2

? p4

?

2 3 ? 1 ? ?故选 A. , ? 1 2

1 2





1 2

【考点】1、两角和的正弦公式及两角差的余弦公式;2、简单的三角方程. 4.已知 sin(? ? ? ) ? ?2sin(

?
2

? ? ) ,则 sin ? cos ? ? (
B. ?

2 5 1 D. ? 5
A. 【答案】B

2 5

C.

2 2 或? 5 5

? (? ? 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 s i ?n
sin ? ? ?2cos ? , tan ? ? ?2


? )

?
2


2 s? ?, i n所( 以


)

sin ? cos ? ?

2 sin ? cos ? tan ? ?2 ? ? ? ? ,故选 B. 2 2 2 2 5 sin x ? cos x tan ? ? 1 ? ?2? ? 1

【考点】1、诱导公式的应用;2、同角三角函数之间的关系. 5.若 a, b, c 是 ?ABC 的三边,直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相离,则 ?ABC 一 定是( ) A.直角三角形 C.锐角三角形 【答案】D

B.等边三角形 D.钝角三角形

【解析】 试题分析: 因为直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相离, 所以

c a 2 ? b2

? 1,

a 2 ? b2 ? c 2 ? 0 ,角 C 为钝角, ?ABC 一定是锐角三角形,故 即 a ? b ? c , cos C ? 2ab
2 2 2

选 D. 【考点】1、点到直线的距离公式;2、余弦定理的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三 角形形状,属于中档题.判断三角形状的常见方法是: (1)通过正弦定理和余弦定理, 化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、 余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)根 据余弦定理确定一个内角为钝角进而判断其为钝角三角形. 6.若 ? , ? ? (0, ) , cos(? ?

?

?
2

2

)?

? 1 3 , sin( ? ? ) ? ? ,则 cos(? ? ?) 的值等于 2 2 2





第 2 页 共 10 页

A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

【答案】B 【解析】试题分析:由 ? , ? ? ? 0,

? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ,则 ? ? ?? ? , ?, ? ? ?? ? , ? ,又 2 ? 4 2? 2 ? 2 4? ? 2?
, 解 得

?? 3 1 ? ? ? ? ? ?? ? , sin ? ? ? ? ? ? ,?? ? ? ? , ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 2 2 6 2 6 2? 2 ?2 ? ?
? ?? ? ?
1 ,? c ?? o? s ? ? ? ? ,故选 B. 3 2


【考点】1、同角三角函数之间的关系;2、特殊角的三角函数. 7.若函数 f ( x) ? sin 2x ? 2sin 2 x sin 2 x ( x ? R) ,则 f ( x ) 是( A.最小正周期为 ? 的偶函数 B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 【答案】D 【 解

C.最小正周期为 2? 的偶函数

? 的奇函数 2
】 试 题 分
2 n?











f(

? x)

?

s2

xi

?s n

x ?i x2

?2x 2x

s

1 ?i

周期 T ?

2? ? ? , f ? ?x ? ? ? f ? x ? , f ? x ? 为奇函数,故选 D. 4 2

1 xn 2 2

s以 ,所 sx ? i i

n n x

2

【考点】1、正弦函数、余弦函数的二倍角公式;2、三角函数的周期性及奇偶性. 8. 已知 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? R) , 函数 y ? f ( x ? ? ) 的图象关于直线 x ? 0 对称, 则 ? 的值可以是( ) B.

? 2 ? D. 6
A. 【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 f

? 3

C.

? 4

x ?x ? ? s i n?

3 c? o xs

?? ? ? 2? sxi?n , 函 数 3? ?

? ?? ? y ? f? ? x? ? ? 2 s i? n ?x ? ? ? 的图象关于直线 x ? 0 对称,函数为偶函数,?? ? , 6 3? ?
故选 D. 【考点】1、两角和的正弦公式;2、三角函数的奇偶性及三角函数的图象. 9. 已知 tan ? 和 tan(

?
4

? ? ) 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根, 则 a, b, c 的关系是 (
第 3 页 共 10 页



A. b ? a ? c C. c ? b ? a 【答案】C 【 解

B. 2b ? a ? c D. c ? ab 析 】 试 题 分 析 :

b ? ? ?? ? ?? ? c ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? , tan ? tan ? ? ? ? ? ,? tan ? tan ? ? ? ? ? ? a 4 4 ?4 ? ?4 ? a ? ?

?? ? b tan ? ? tan ? ? ? ? ? ?4 ? ? a ? 1,?? b ? 1 ? c ,??b ? a ? c,? c ? a ? b ,故选 C. ? c a a ?? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? 1 ? a ?4 ?
【考点】1、韦达定理的应用;2、两角和的正切公式及数学的转化与划归思想. 【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用、两角和的正切公式及数学的转化与划归思 想.属于难题. 数学中常见的思想方法有:函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与 划归思想、数形结合思想、建模思想等等,转化与划归思想解决高中数学问题的一种重 要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决知识点较多以及知识跨 度较大的问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将 题设条件研究透, 这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域, 进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 10.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A, B 两点,从 A, B 两点分别测得树尖
? ? 的仰角为 30 , 45 ,且 A, B 两点间的距离为 60m ,则树的高度为(



A. (30 ? 30 3)m C. (15 ? 30 3)m 【答案】A 【 解

B. (30 ? 15 3)m D. (15 ? 15 3)m

















?PAB
?


?



?P

? A3 ? B0

,?

A?

? P1

B 5
?

,?

?A
?

6 B ? ? 0

, ? s

i

n?

1

5

?s

i?

n

4? ? 5

c

?

2 o s? 2

3 3 2

? 0

2 ? 1 6 2 ,由正 c? o s ?弦 定 4理 ?得 5: 2 2 4

s

i

n

3

1 ? 60 PB AB 2 ? , ? PB ? ? 30 sin 30? sin15? 6? 2 4
PB sin 45? ? 30

?

6? 2

?

,











?

6? 2 ?

?

2 ? 30 ? 30 3 m , 故选 A. 2

?

?

【考点】1、仰角的定义及两角和的正弦公式;2、阅读能力、建模能力及正弦定理的应 第 4 页 共 10 页

用. 【思路点睛】本题主要考查仰角的定义及两角和的正弦公式、阅读能力、建模能力及正 弦定理的应用,属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的 特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解 题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是将现 实生活中的“树高”问题转化为书本知识“三角函数”的问题.

二、填空题 11.已知角 ? 的终边经过点 P( x, ?6) ,且 tan ? ? ? 【答案】 10 【解析】试题分析:由三角函数的定义可知, tan ? ? 为 10 . 【考点】三角函数的定义. 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

3 ,则 x 的值为 5

.

y ?6 3 ? ? ? ,? x ? 10 , 故答案 x x 5

?
2

) 的图象如图所示,则

f (0) ?

.

【答案】 ? 2 【解析】试题分析:由图象知最小正周期 T ?

2 ? 13? ? ? 2? ,故 ? ? 1 ,又 ? ? ? 2? ? ? 3? 4 4? ?

x?

3? 3? ? ? ?? ? ? ? ? , 可得 ? ? ? , 又 ? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? , 则 时 , f ? x? ? 2 , 即 4 4 2 4 4? ?

?? ? f ? 0 ? ? 2sin ? 0 ? ? ? ? 2 ,故答案为 ? 2 . 4? ?
【考点】1、三角函数的图象和性质;2、特殊角的三角函数.

D 为边 BC 上一点, BD ? 13. 在 ?ABC 中,
的面积为 3 ? 3 ,则 ?BAC ? 【答案】 60
?

1 D C CD , ?ADB ? 120? ,AD ? 2 , 若 ?A 2
.

【 解 析 】 试 题 分 析 : ? ?ADC ? 180 ?120 ? 60 , AC ? 2 , ? ?ADC 的 面 积
? ? ?

第 5 页 共 10 页

S?

1 1 3 AD ?DC sin 60? ? 3 ? 3 , 即 ? 2 ? DC ? ? 3? 3 , 解 之 得 2 2 2

D C ?2

?

3? ? 1

?

1 ,B D ? 2

D? , C

B ? 3? BC ? 3 1 3 ? 1 , ?ABD 中,根据 ,D

?

?

余弦定理得: AB ?

AD2 ? BD2 ? 2 AD?BD cos120? ? 6 ,同理, ?ACD 中得到

2

AC ? 6

?

3 ? 1 , ?ABC

?


2















cos ?BAC ?

6?6

?

3 ?1 ? 3 3 ? 3

2?

? ? ? 6 ? 6 ? 3 ? 1?

?

1 ,结合 ?BAC 是三角形的内角 , 可得 2

?BAC ? 60? ,故答案为 60? .

【考点】1、余弦定理的应用;2、三角形内角和定理及三角形面积公式. 【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数,属于简单题.对余弦定理一
2 2 2 定要熟记两种形式: (1) a ? b ? c ? 2bc cos A ; (2) cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ,同时还 2bc

要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需 要记住 30 , 45 ,60 等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用. 14 . 定 义 一 种 运 算 : (a1 , a2 ) ? (a3 , a4 ) ? a1a4 ? a2a3 , 将 函 数
o o o

f ( x) ? ( 3, 2sin x) ? (cos x,cos 2x) 的图象向左平移 n(n ? 0) 个单位长度,所得图象
对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为 【答案】 【 解 .

5? 12
析 】 试 题 分 析 :

?? a1, a2 ? ? ? a3 , a4 ? ? a1a4 ? a2a3



? f ? x? ?

?

?? ? 3, 2sin x ? ? cos x, cos 2 x ? ? 3 cos 2x ? 2sin x cos x ? 2cos ? 2 x ? ? , 6? ?

?

它 的 图 象 向 左 平 移 n ? n ? 0? 个 单 位 , 所 得 图 象 对 应 的 函 数 为 偶 函 数 , 函 数 为

5? ?? ? ? ,故答案 f ? x? ? 2 c o s x? n 2? ? ? , n2 ? ? ? 时, n 最小,所以 n 最小值为 ? 2 12 6? 6 ?

第 6 页 共 10 页



5? . 12

【考点】1、两角差的余弦公式;2、新定义问题及三角函数的图象和性质. 【方法点睛】本题通过新定义“ (a1 , a2 ) ? (a3 , a4 ) ? a1a4 ? a2a3 ”主要考查两角差的余 弦公式;三角函数的图象和性质,属于难题 . 遇到新定义问题,应耐心读题,分析新 定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求, “照章办事” ,逐条分析、验证、运 算,使问题得以解决.本题是根据新定义“ (a1 , a2 ) ? (a3 , a4 ) ? a1a4 ? a2a3 ”将 f ? x ? 化 为 2cos ? 2 x ?

? ?

??

? 进而解决问题的. 6?

三、解答题

5? sin( ? ? ) 2 5 2 15.已知 sin ? ? ,求 tan(? ? ? ) ? 的值. 5? 5 cos( ? ? ) 2 5 5 【答案】当 ? 为第一象限角时, ;当 ? 为第二象限角时, ? . 2 2 sin(

【解析】 试题分析: 分两种情况当 ? 为第一象限角时、 当 ? 为第二象限角时分别求出 ?

5? ??) 1 2 ? 的余弦值,然后化简 tan(? ? ? ) ? ,将正弦、余弦值分别代 5? sin ? cos ? cos( ? ? ) 2
入即可. 试题解析:∵ sin ? ?

2 5 ? 0, 5

∴ ? 为第一或第二象限角. 当

?

















c ? o? s ?

2

?1?

5 s 5

, n i

5? ??) cos ? sin ? cos ? 1 5 2 tan(? ? ? ) ? ? tan ? ? ? ? ? ? . 5? sin ? cos ? sin ? sin ? cos ? 2 cos( ? ? ) 2 sin(
当 ? 为第二象限角时, cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 原式 ?

5 , 5

1 5 ?? . sin ? cos ? 2

【考点】1、同角三角函数之间的关系;2、诱导公式的应用. 16 .已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等差数列,且

2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0 ,求角 B 的大小,并判断 ?ABC 的形状. ? 【答案】 B ? , ?ABC 是等边三角形. 3
第 7 页 共 10 页

【解析】试题分析:由 2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0 得 cos B ?

1 3 或 cos B ? (舍去) , 2 2

进 而 可 求 角 B 的 大 小 ; 由 a, b, c 成 等 差 数 列 , 得 a ? c ? 2 b, 由 余 弦 定 理 得

a 2 ? c2 ? 2ac ? 0 ,进而可得 ?ABC 是等边三角形.
试题解析:∵ 2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0 , ∴ 2(2cos2 B ?1) ? 8cos B ? 5 ? 0 . ∴ 4cos2 B ? 8cos B ? 3 ? 0 , 即 (2cos B ? 1)(2cos B ? 3) ? 0 . 解得: cos B ?

1 3 或 cos B ? (舍去). 2 2

∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

?

3

.

∵ a, b, c 成等差数列,∴ a ? c ? 2b .

a 2 ? c 2 ? b2 ∴ cos B ? ? 2ac

a2 ? c2 ? (

a?c 2 ) 1 2 ? , 2ac 2

化简得: a 2 ? c 2 ? 2ac ? 0 ,解得: a ? c . ∴ ?ABC 是 ?ABC 是等边三角形. 【考点】1、等差数列的性质;2、余弦定理的应用及等边三角形的性质. 17.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示:

(1)求函数 f ( x ) 的解析式并写出其所有对称中心; (2)若 g ( x) 的图象与 f ( x ) 的图象关于点 P(4, 0) 对称,求 g ( x) 的单调递增区间. 【答案】 ( 1 ) f ( x) ?

2 sin(

?

x ? ) , 对 称 中 心 为 (8k ? 2, 0)(k ? Z ) ; (2) 8 4

?

[16k ? 6,16k ? 14](k ? Z ) .
【解析】试题分析: (1)先根据图象上的最大值求出 A 的值,再根据半个周期求得 ? 的 值, 然后把最值点代入解析式求得 ? ; (2) 先根据对称性求出 g ( x) ?

2 sin(

?

8

x?

5? ), 4

进而根据正弦函数递增区间,解不等式即可得 g ( x) 的单调递增区间. 第 8 页 共 10 页

试题解析: (1)由图可得, A ? 所以, T ? 16, ? ? 则此时 f ( x) ?

2,

?
8

T ? 6 ? (?2) ? 8 , 2



2 sin(

?
8

x ? ?) ,

将点 (2, 2) 代入,可得 ? ? ∴ f ( x) ?

?
4

.

2 sin(

?

x? ); 8 4

?

对称中心为 (8k ? 2, 0)(k ? Z ) . (2)由 g ( x) 的图象与 f ( x ) 的图象关于点 P(4, 0) 对称,得 g ( x) ? ? f (8 ? x) ,

? 5? ? ? 5? (8 ? x) ? ] ? ? 2 sin( ? x) ? 2 sin( x ? ) 8 4 4 8 8 4 ? ? 5? ? ? 2k? ? ,得 16k ? 6 ? x ? 16k ? 14 , 令 2 k? ? ? x ? 2 8 4 2
∴ g ( x) ? ? 2 sin[

?

即 g ( x) 的单调递增区间为 [16k ? 6,16k ? 14](k ? Z ) . 【考点】1、三角函数的图象;2 三角函数的对称中心及单调区间. 【方法点睛】本题主要考查三角函数的图象;2 三角函数的对称中心及单调区间,属于 题.求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数的单调区间的求法: (1) 代换法: ①若 A ? 0, ? ? 0 , 把 ? x ? ? 看作是一个整体,由 区间, ?

?
2

? 2k ? ? ? x ? ? ?

?
2

? 2k ? ? ? x ? ? ?

?

3? ? 2k? ? k ? Z ? 求得函数的减 2

式先将 ? 的符号化为正, 再利用①的方法, 或根据复合函数的单调性规律进行求解; (2) 图象法:画出三角函数图象,利用图象求函数的单调区间. 18.已知锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan A ? (1)求 A 的大小; (2)求 cos B ? cos C 的取值范围. 【答案】 (1) A ?

2

? 2k? 求得增区间;②若 A ? 0, ? ? 0 ,则利用诱导公

3bc . b ? c2 ? a2
2

?
3

; (2) (

3 ,1] . 2 3 3 ,进而 ? sin A ? 2cos A 2

【解析】试题分析: (1)由已知及余弦定理可得 tan A ? 得A?

?
3

; ( 2 )由三角形内角和定理结合特殊角的三角函数以及两角和的正弦公式

cos B ? cos C 可化为 sin( B ?
围.

?
6

) ,再由

?
3

? B?

?
6

?

2? 可得 cos B ? cos C 的取值范 3

2 2 2 试题解析: (1)由余弦定理知: b ? c ? a ? 2bc cos A ,

第 9 页 共 10 页

∴ tan A ? ∵ A ? (0,

3 3 , ? sin A ? 2cos A 2
2 ) ,∴ A ?

?

?
3

.

(2)∵ ?ABC 为锐角三角形且 B ? C ? ∴

?
6

?B?

cos B ? cos C ? cos B ? cos(

2? ? B) 3 2? 2? ? cos B ? cos cos B ? sin sin B 3 3

2? ? ?C ? , 3 2

2? , 3

1 3 ? cos B ? sin B 2 2
? sin( B ? ) 6


?

?
3

? B?

?
6

?

2? 3 ? ,∴ ? sin( B ? ) ? 1 , 3 2 6

即 cos B ? cos C 的取值范围是 (

3 ,1] . 2

【考点】1、余弦定理及两角和的正弦公式;2、特殊角的三角函数及三角函数求最值. 【方法点晴】本题考查的知识点比较多,主要考查余弦定理及两角和的正弦公式、特殊 角的三角函数及三角函数求最值,属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下 几 种 : ① 化 成 y ? as i n x? b s i nx ? 的 c 形式利用配方法求最值;②形如
2

y?

a s i nx? b 的 可 化 为 sin x ? ? ( y) 的 形 式 利 用 三 角 函 数 有 界 性 求 最 值 ; ③ c s i nx? d

可化为 y ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) 求最值 .本题是利用方法③的 y ? a sin x ? b cos x 型, 思路解答的.

第 10 页 共 10 页


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