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2013年山东重点高中高考押题卷数学试题(文史类)(内部密卷3)


2013 年山东省重点高中 高考押题卷 数学试题(文史类)(内部密卷 3)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束后将答题卡交回. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A U B)=P(A)+P(B); 如果事件 A、B 独立,那么 P(A ? B)=P(A)· P(B).

第Ⅰ卷(选

择题

共 60 分)

一、 选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 集合 M ? ? x | A. ?0,???

? ?

1 ? ? x ? ? 0 ? ,集合 N ? ? y | y ? x 2 ? ,则 CU M ? N ? ( x ?1 ? ? ?



B. ?1,???

C. ?0,1?

D. ?0,1? ? ? ,??? 1

2. 复数 z ? 1 ? i, 则 A.

1 2

1 ? z 的虚部是( ) z 1 1 B. i C. ? i 2 2

D. ?

1 2


3. “ k ? ?3 ”是“直线 l1 :kx+(1-k)y-3=0 和 l2 :(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 4. 若 ? ∈ (0, A. ? 2 ? 3 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
2

) ,且 sin2 ? +cos2 ? = B. ? 2 ? 2 3

1 ?? ? ,则 tan ? ? ? ? 的值等于( 4 4? ?
C. ? 2 ? 2 3 D. ? 2 ? 3



5 若 x ? (e?1,,a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln3 x ,则( 1) A. a < b < c B. c < a < b



C. b < a < c D. b < c < a

6、如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图,如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为 2 的正三角形,俯视图对应的四边形为正方形,那么这个几何体的体积为 A.

4 2 3

B.

4 5 3

C.

4 3 3

D.

2 3 3

2 2 7 设集合 A ? ? x, y ? x ? y ? 4 和集合 B ? ?x, y ? x ? y ? 2 ? 0, x ? 0, y ? 0 表示的平面区域分别为 ?1 、

?

?

?

?

? 2 ,若在区域 ?1 内任取一点 M ?x, y ? ,则点 M 落在区域 ? 2 内的概率为(
A.



1 2?

B.

1

?

C.

1 4

D.

? ?2 4?

8 将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 A. f ( x ) ? ?2cos x C. f ( x ) ?
? ?

π 个单位, 得到函数 y ? f ( x ) ? sin x 的图象, f ( x ) 的表达式可以是 则 ( ) 4
B. f ( x ) ? 2 cos x D. f ( x ) ?
2 (sin 2 x ? cos 2 x ) 2
? ?

2 sin 2 x 2
? ? ?

b 9 若 a , b , c 均为单位向量,且 a · =0, a - c )· b - c )≤0,则 a ? b ? c 的最大值为( ( (

?

?

?

?

?



(A) 2 - 1

(B)1

(C) 2

(D)2 )

|ln x| 10 已知函数 f ( x ) ? e ? | x ?

1 | ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的大致图象为( x

11 设双曲线

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的半焦距为 c , 直线 l 过 A(a,0), B(0, b) 两点, 若原点 O 到 l 的距离为 c, 2 a b 4
) C. 2 或

则双曲线的离心率为( A.

2 3 或2 3

B.2

2 3 3

D.

2 3 3

12 若直角坐标平面内的两点 P 、 Q 满足条件: ①P 、 Q 都在函数 y ? f ( x ) 的图象上;②P 、 Q 关于原点对称. 则称点对[ P, Q ]是函数 y ? f ( x ) 的一对“友好点对”(点对[ P, Q ]与[ Q, P ]看作同一对“友好点对”). 已知函数 f ( x ) ? ? A.0 对

?log2 x( x ? 0)
2 ? ? x ? 4 x( x ? 0)

,则此函数的“友好点对”有( C.2 对

) D.3 对

B.1 对

绝密★ 启用前

第Ⅱ 卷(非选择题

共 90 分)
开始 S=0,i=0

二、 填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上. 13. 右图的程序框图输出结果 S 等于 14. 定义运算

a b x ?1 2 = ad ? bc ,函数 f ( x ) ? 图象的顶点是 ( m,n ) , c d ?x x ? 3
.

S=S+2i-1

i=i+2 否 i≥8 是 输出 S

且 k、m、n、r 成等比数列,则 k ? r ?

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和椭圆 ? ? 1 有相同的焦点 F1 、 F2 ,P 为双曲 15. 已知双曲线 2 m 8 5
线和椭圆在第一象限的交点,则 PF1 ? PF2 的值为
? ?

结束

16. 已知定义在 R 上的偶函数满足: f ( x ? 4) ? f ( x ) ? f (2) ,且当 x ? [0,2] 时, y ? f ( x ) 单调递减,给出 以下四个命题: ① f (2) ? 0 ; ②x ? ?4 为函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴; ③ 函数 y ? f ( x ) 在 [8,10] 单调递增; ④ 若方程 f ( x ) ? m 在 [ ?6, ?2] 上的两根为 x1 、 x 2 ,则 x1 ? x2 ? ?8. 其中,错误命题的个数为 .. 三、 解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、已知向量 m ? (cos x,?1) ,向量 n ? ( 3 sin x,? ) ,函数 f ( x) ? (m ? n) ? m .(Ⅰ )求 f (x) 的最小 正周期 T ; (Ⅱ )已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, A 为锐角,a ? 1, c ? 上的最大值,求 A, b 和 ?ABC 的面积.

1 2

? 3 ,且 f ( A) 恰是 f (x) 在 [0, ] 2

18. 已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1 , a ? n 1 N a ( * n ) n ? 2? ? . 1 ⑴ 求证:数列 {an ?1 是等比数列,并写出数列 { a n } 的通项公式; } ⑵ 若数列 ? b n ? 满足 4
bn ? n 2

? ( a n ? 1) n ,求 S ?

1 1 1 ? ? ? ? 的值. b1 b2 bn

19. (本小题满分 12 分) 山东省《体育高考方案》于 2012 年 2 月份公布,方案要求以学校为单位进行体育测试,某校从 高三年级的学生中抽出 50 名学生,并对他们的体育成绩(成绩均为整数且满分为 100 分) ,体育成绩 分组及各组频数如下: (1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上; (2)估计成绩在 85 分以上学生的比例; (3)为了帮助成绩差的学生提高体育成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从成绩[90,100)中选两 位同学,共同帮助[40,50)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分, 乙同学的成绩为 95 分, 求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率. 样本频率分布表 分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计 4 0.08 频数 2 3 14 15 频率 0.04 0.06 0.28 0.30

20. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD ? CD,AB∥ CD,AB=AD=2. CD=3,DE=4,M 为 CE 的中点. (I)求证:BM∥ 平面 ADEF: (Ⅱ )求证:平面 BCE ? 平面 BDE; (Ⅲ )求三棱锥 C-MBD 的体积.

第 20 题图

21. 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? ax ? ?a ? 1? ln x. 2

(I)若曲线 f ?x ? 在点 ?2, f ?2?? 处的切线与直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (II)若 f ?x ? 在区间 ?0,??? 单调递增,求 a 的取值范围; (III)若—1<a<3,证明:对任意 x1 , x 2 ? ?0,???, x1 ? x2 , 都有

f ?x1 ? ? f ?x2 ? >1 成立. x1 ? x2

22. (本小题满分 14 分) 已知直线 l1 : y ? x ? 2 2 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? 5 ,椭圆

y 2 x2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,直线 l1 2 2 a b y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于 A( x1 , y1 ) , a 2 b2

被圆 C 截得的弦长与椭圆的短轴长相等. 若直线 l 2 与椭圆

B( x2 , y2 ) 两点, m ? (ax1 , by1 ) ,n ? (ax 2 , by 2 ) ,且 m ? n , O 为坐标原点.
(Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ 若直线过椭圆的焦点 F (0, c) ( c 为半焦距) ) ,求直线的斜率 k 的值; (Ⅲ 试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. )

2013 年山东省重点高中 高考押题卷 数学试题(文史类)(内部密卷 3) 参考答案
一、 选择题 CDA CC 二、 填空题 13. CABBB BC

20

14. 14

15.

6

16.

1

三、 解答题 17. 解: (Ⅰ f ( x) ? (m ? n) ? m ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? )

?? ? ??

3 2

………2 分

?

1 ? cos 2 x 3 3 1 3 ? ? sin 2 x ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 2 2 2 6
因为 ? ? 2 ,所以 T ?

…5 分.

2? ?? . 2

…………6 分

(Ⅱ 由(Ⅰ ) )知: f ( A) ? sin(2 A ? 当 2x ?

?

?
6

?

?
2

? ? ? 7? , ) ? 2 , x ? [0, ] 时, ? 2x ? ? 6 2 6 6 6
?
6 ?

时, f ( x) 取得最大值 3 ,? 2 x ?

?

2

,A?

?

6

.

…………8 分

由余弦定理, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,∴1 ? b 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? b ? cos ∴ b ? 1或b ? 2 , 从而 S ?

?
6



………10 分 …………12 分

1 ? 3 1 ? 3 . ? 3 ?1? sin ? 或S= ? 3 ? 2 ? sin ? 2 6 4 2 6 2

18 证明: (1)? 1?a?,? ? 2n 1 a 2n 1 a 1 ( ?, ?a ) n ? n ? 1 又 a1 ? 1 ,∴a1 ? 1 ≠0, a n ? 1 ≠0,∴

a n ?1 ? 1 ?2, an ? 1

∴ 数列 {an ?1 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. }
n 即 ? ? n,因此 a ?2 ? . a 1 2 1 n n

…………………6 分
2

(2)∵4

bn ?

n 2

? ( a n ? 1) n ,∴4

bn ?

n 2

? 2n ,

∴2bn ? n ? n 2 , 即 bn ? ∴S ?

1 2 (n ? n) . 2

………………9 分

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? ??? 2 2 3 n n ?1 b1 b2 bn
1 2n . )? n ?1 n ?1
……………12 分

? 2(1 ?

19 解: (1)样本的频率分布表: 分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计 频数 2 3 14 15 12 4 50 频率 0.04 0.06 0.28 0.30 0.24 0.08 1

(2)估计成绩在 85 分以上的有 6+4=10 人, 所以估计成绩在 85 分以上的学生比例:

10 1 ? . 50 5

(3)[40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 4 人,记为乙、B、C、D.则“二帮一”小组有 以下 12 种分组办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲 BC,甲 BD,甲 CD,A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D, ABC,ABD,ACD. 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 3 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D. 所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P ?

3 1 ? . 12 4

20 (1)证明:? E, F 分别是线段 PA、PD 的中点,? EF // AD. …2 分 又∵ ABCD 为正方形,? BC // AD ,

? EF // BC.

……4 分

又? BC ? 平面 EFG , EF ? 平面 EFG , ∴BC //平面 EFG . ………6 分

(2)证明:∵PA ? AD ,又 EF // AD , ∴PA ⊥EF . ………8 分

又 ABCD 为正方形,∴AB ? EF , 又 PA ? AB ? A ,∴EF ⊥ 平面 PAB , …10 分

又 EF ? 平面 EFG ,∴ 平面 EFG ⊥ 平面 PAB . ………12 分

21

22 解: 椭圆的方程为

y2 ? x2 ? 1 4

………………4 分

(2)依题意,设直线的方程为 y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 ? ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 由 ? y2 2 ? ? x ?1 ?4
显然 ? ? 0

?2 3k ?1 , x1 x2 ? 2 2 k ?4 k ?4 由已知 m ? n ? 0 得: x1 ? x2 ?

………………5 分

a 2 x1 x2 ? b 2 y1 y2 ? 4 x1 x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? (4 ? k 2 ) x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3
? (k 2 ? 4)(? 1 ?2 3k ) ? 3k ? 2 ? 3 ? 0 ……………7 分 k ?4 k ?4
2

解得 k ? ? 2

……………………8 分

(3)① 当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y 2 , 由已知 m ? n ? 0 ,得 4 x12 ? y12 ? 0 ? y12 ? 4 x12 又 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,

4 x12 2 所以 x ? ? 1 ?| x1 |? ,| y1 |? 2 4 2 1 1 S ? | x1 || y1 ? y2 |? | x1 | 2 | y1 |? 1 ,三角形的面积为定值.………9 分 2 2 ② 当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y ? kx ? t
2 1

? y ? kx ? t ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2ktx ? t 2 ? 4 ? 0 ?y 2 ? ? x ?1 ?4
必须 ? ? 0 即 4k t ? 4(k ? 4)(t ? 4) ? 0
2 2 2 2

得到 x1 ? x2 ?

t2 ? 4 ?2kt , x1 x2 ? 2 k ?4 k2 ? 4

………………10 分

∵m ? n ,∴4 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? 4 x1 x2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? 0 代入整理得: 2t 2 ? k 2 ? 4 …………………11 分 …………12 分

S?

1 |t | 1 | AB |? | t | ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x1 2 2 1? k 2

?

| t | 4k 2 ? 4t 2 ? 16 4t 2 ? ?1 k2 ? 4 2|t |
…………………14 分

所以三角形的面积为定值.


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