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2013届新高考全案 人教版数学(课外学生练与悟):2-5


第2章

第5讲

一、选择题 1.设 2x=8y A.18 C.24 [解析] 由已知得 2 =2
? ?x=3?y+1?, ∴? ?2y=x-9, ? ? ?x=21, 即? , ?y=6, ?
x 3(y+1)
+1,

9y=3x 9,则 x+y 的值为(

<

br />) B.21 D.27

,3 =3

2y

x -9



∴x+y=27,故选 D. [答案] D 2.(人教 A 版必修 1)函数 y= A.[1,+∞) C.(-∞,1] 1 - 4-? ?x 1的定义域是( 2 B.[- 1,+∞) D.(-∞,-1]

1 - - - [解析] 由 4-( )x 1≥0,即 4≥21 x 得 22≥21 x,∴2≥1-x 2 ∴x≥ -1.故选 B. [答案] B 3.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b),若 f(x)的图象如下图所示,则函数 g(x)=ax+ b 的图象是( )

[解析] 由函数图象知函数为减函数,∴0<a<1,当 x=0 时,0<f(x)=a b<1,


∴-b>0,故 0<a<1,b<0,故选 D. [答案] D

1 - 4. 若函数 f(x)=a|2x 4|(a>0,a≠1)满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间是( 9 A.[2,+∞) C.[4,+∞) B.(2,+∞) D.(4,+∞)

)

1 1 1 1 - [解析] 由 f(1)= 得 a2= ,于是 a= ,因此 f(x)=( )|2x 4|.又因为 g(x)=|2x-4|在[2,+ 9 9 3 3 ∞)内单调递增,所以 f(x)的单调 递减区间是[2,+∞). [答案] A 5.设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x-1, 则有( )

1 3 2 A.f( )<f( )<f( ) 3 2 3 2 3 1 B.f( )<f( )<f( ) 3 2 3 2 1 3 C.f( )<f( )<f( ) 3 3 2 3 2 1 D.f( )<f( )<f( ) 2 3 3 [解析] 由题设知,x≤1 时 f(x) 单调递减,x≥1 时 f(x)单调递增,而 x=1 为对称轴, 3 1 1 1 ∴f( )=f(1+ )=f(1- )=f( ), 2 2 2 2 1 3 2 ∴f( )>f( )>f( ),故选 B. 3 2 3 [答案] B 1 6. 已知 a>0 且 a≠1, f(x)=x2-ax.当 x∈(-1,1)时, 均有 f(x)< , 则实数 a 的取值范围是( 2 1? A.? ?0,2?∪[2,+∞) 1 ? C.? ?2,1?∪(1,2] 1 ? B.? ?4,1?∪(1,4] 1? D.? ?0,4?∪[4,+∞) )

1 1 [解析] 数形结合:f(x)< ?x2- <ax,x∈(-1,1)时恒成立.在同一直角坐标系中作出 函 2 2 1 1 - 数 g(x)=x2- ,φ(x)=ax 的图象,如右图.当 a>1 时,g(-1)= ,依题意,φ(-1)=a 1≥g(- 2 2 1 1)= , 2 1 ∴1<a≤2;当 0<a<1 时,φ(1)≥g(1),即 a≥ , 2 1 ∴ ≤a<1.故选 C. 2 [答案] C

二、填空题
1 3 1 3 1 1

7.若 x>0,则(2x4+32)(2x4-32)-4x-2(x-x2)=________.
1 3 1 3

[解析] (2x4+32)(2x4-32)-4x 2(x-x2) =4x2-33-4x2+4=-23. [答案] -23 8.(2007· 上海)方程 9x-6· 3x-7=0 的解是________. [解析] 令 3x=t(t>0),则原方程变为 t2-6t-7=0.解得 t=7 或 t=-1(舍去). 又 3x=7,两边取对数得 x=log3 7. [答案] log3 7 9.(2006· 上海)若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________. [解析] 曲线|y|=2x+1 表示的曲线为函数 y=2x+1 与 y=-2x-1,由数形结合得知曲线 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是-1≤b≤1.[来源:Z.xx.k.Com] [答案] -1≤b≤1. 10.设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,满足条件 y=f(x+1)是偶函数,且当 x≥1 时,则 2 3 1 f(x )=2x-1,则 f( ),f( ),f( )的 大小关系是________. 3 2 3 [解析] 由 f(x+1)=f(-x+1)知 f(x)的图 象关于 x=1 对称,x≥1 时,f(x)单增,则 x≤1 3 1 1 1 1 1 2 时,f(x)单减,又 f( )=f(1+ )=f(1- )=f( ), < < , 2 2 2 2 3 2 3 2 3 1 ∴f( )<f( )<f( ). 3 2 3 2 3 1 [答案] f( )<f( )<f( ) 3 2 3 三、解答题 11.要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. 1+2x [解] 由题意得 1+2x+4xa>0 在 x∈(-∞,1]上时恒成立,即 a>- x 在 x∈(-∞,1] 4 上时恒成立, 1+2x 1 1 1 1 1 3 又因为- x =-( )2x-( )x=-[( )x+ ]2+ ,当 x∈(-∞,1]时值域为(-∞,- ], 4 2 2 2 2 4 4 3 所以 a>- , 4 3 即 a 的取值范围为(- ,+∞). 4 ex a 12.设定义在实数集 R 上的函数,f(x)= + x. a e
1 1



1

1

(1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究单调性. [解] (1)假设可能,因定义域是 R,且有 f(-x )=-f(x). e x a ex a ∴f(x)= + x=-f(-x)=-[ + -x] a e a e


可得-(1+a2)e2x=1+a2. ∵e2x=-1 显然不成立, ∴f(x)不可能是奇函数. (2)因 f(x)是偶函数, ex a e a ∴有 f(x)=f(-x),即 + x= + -x. a e a e ∴(ex)2(1-a2)=1-a2,因此有 a2-1=0,得 a=± 1. 1 当 a=1 时,f(x)=ex+ x,讨论单调性: e 取 x1、x2(任意)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2) 1 1 =ex1+ x1-ex2- x2 e e ?ex1-ex2??ex1 = ex1· ex2
+x2 -x

-1? ,

其中 ex1· ex2>0 ,ex1-ex2<0, 当 ex1
+x2

-1>0 时,f(x1)<f(x2),

∴f(x)为增函数. 此时需要 x1+x2>0,即增区间为[0,+∞);反之,(-∞,0]为减区间.当 a=-1 时,同 理(-∞,0]为增区间,[0,+∞)为减区间.


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