koorio.com
海量文库 文档专家
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第6章 数列 第4讲数列求和


第4讲 数列求和
最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式;2.掌握

非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知识梳理
1.求数列的前n项和的方法 (1)公式法

①等差数列的前n项和公式 n?a1+an? n?n-1? na1+ 2 d Sn=_____________ =________________. 2 ②等比数列的前n项和公式 na1 (ⅰ)当q=1时,S =__________ ;
n

(ⅱ)当q≠1时,Sn

a1-anq a1?1-qn? 1-q 1-q =__________ =__________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、

等比数列,再求解.
(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干

项.
(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式 的推导过程的推广.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的
数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法

一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求
和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+?+22-12=(100+99)+ (98+97)+?+(2+1)=5 050.

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.常见的裂项公式 1 1 1 (1) = - . n?n+1? n n+1 1 ? 1 1? ? 1 (2) =2?2n-1-2n+1? ?. ?2n-1??2n+1? ? ? (3) 1 n+ n+1 = n+1- n.

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
a1-an+1 和 Sn = . 1-q 1 1 1 1 (2)当 n≥2 时, 2 = ( - ). n -1 2 n-1 n+1 同时乘以 a 即可根据错位相减法求得.

精彩 PPT 展示

(1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n 项 ( √ ) ( √ )

(3)求 Sn=a+2a2+3a3+?+nan 之和时只要把上式等号两边 ( × ) (4)若数列 a1,a2-a1,?,an-an-1 是首项为 1,公比为 3 3n-1 的等比数列,则数列{an}的通项公式是 an= 2 .
基础诊断 考点突破

( √ )
课堂总结

2.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n 项和为 A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 ( )

C.2n+1+n2-2

D.2n+n-2

2?1-2n? n?1+2n-1? n+1 2 解析 Sn= + = 2 - 2 + n . 2 1-2
答案 C

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+?+(-1)n
-1·n,则S = 17

(
B.8

)

A.9 C.17

D.16

解析

S17=1-2+3-4+5-6+?+15-16+17=1+(-2

+3)+(-4+5)+(-6+7)+?+(-14+15)+(-16+17)= 1+1+1+?+1=9. 答案 A

基础诊断

考点突破

课堂总结

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列
? ? 1 ? ? ? ?的前 ? ?anan+1? ?

100 项和为 99 B.101 101 D.100

(

)

100 A.101 99 C.100

解析 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ∵a5=5,S5=15, ?a1+4d=5, ? ∴? 5×?5-1? 5a + d=15, ? 2 ? 1
? ?a1=1, ∴? ? ?d=1,

基础诊断

考点突破

课堂总结

∴an=a1+(n-1)d=n. 1 1 1 1 ∴ = =n- , anan+1 n?n+1? n+1
? ? 1 ? ? ? ∴数列 a a ?的前 ? ? n n+1? ?

100

? 1? ?1 1? 项 和 为 ?1-2? + ?2-3? + ? + ? ? ? ?

? 1 1 ? 1 100 ? ? -101 =1- =101. 100 101 ? ?

答案 A

基础诊断

考点突破

课堂总结

5 . ( 人 教 A 必 修 5P61A4(3) 改 编 )1 + 2x + 3x2 + ? + nxn - 1 = ________(x≠0且x≠1).

解析 设 Sn=1+2x+3x2+?+nxn 1,


① ②

则 xSn=x+2x2+3x3+?+nxn, ①-②得:(1-x)Sn=1+x+x2+?+xn-1-nxn 1-xn = -nxn, 1-x 1-xn nxn ∴Sn= . 2- ?1-x? 1-x

1-xn nxn 答案 - ?1-x?2 1-x
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点一 分组转化法求和 【例 1】 设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n∈N*, 函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin =0. (1)求数列{an} 的通项公式; (2)若
? 1 ? bn=2?an+2a ?,求数列{bn}的前 ? n? ?π? x 满足 f′?2? ? ?

n 项和 Sn.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解 (1)由题设可得 f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x- an+2cos x. 对任意 n∈N
*

?π? ,f′?2?=an-an+1+an+2-an+1=0, ? ?

即 an+1-an=an+2-an+1, 故{an}为等差数列. 由 a1=2,a2+a4=8, 解得{an}的公差 d=1, 所以 an=2+1· (n-1)=n+1.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)因为

? 1 ? bn=2?an+2a ? ? n?

? 1 ? 1 ? ? n + 1 + = 2? n+1?=2n+ n+2, 2 2 ? ?

所以 Sn=b1+b2+?+bn
?1 1 1? =(2+2+?+2)+2(1+2+?+n)+?2+22+?+2n? ? ? ?1? 1 ? ?n] [1 - n?n+1? 2 ?2? =2n+2· 2 + 1 1-2

1 =n +3n+1-2n.
2
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

常见可以使用公式求和的数列:(1)等差数列、等

比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列, 它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解;(2)奇数 项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的, 可以分项数为 奇数和偶数时,分别使用等差数列或等比数列的求和公式.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 1】 (2014· 山东卷)在等差数列{an}中,已知公差 d=2, a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; n?n+1? (2)令 bn=a 2 , 记 Tn=-b1+b2-b3+b4-?+(-1)nbn, 求 Tn.

基础诊断

考点突破

课堂总结



(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),

即(a1+2)2=a1(a1+6), 解得 a1=2,所以数列{an}的通项公式为 an=2n. n?n+1? (2)由题意知 bn=a 2 =n(n+1). 所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+?+(-1)nn×(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1),可得当 n 为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+?+(-bn-1+bn) n 2?4+2n? n?n+2? =4+8+12+?+2n= = 2 . 2
基础诊断 考点突破 课堂总结

当 n 为奇数时, ?n-1??n+1? ?n+1?2 Tn=Tn-1+(-bn)= -n(n+1)=- 2 . 2
2 ? n + 1 ? ? ?- 2 ,n为奇数, ? 所以 Tn=? ?n?n+2? ,n为偶数. ? ? 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点二 错位相减法求和 【例 2】 (2014· 新课标全国Ⅰ卷)已知{an}是递增的等差数列, a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式;
?an? (2)求数列?2n?的前 ? ?

n 项和.

基础诊断

考点突破

课堂总结



(1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,

由题意得 a2=2,a4=3. 1 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d=2, 3 从而 a1=2. 1 所以{an}的通项公式为 an=2n+1.

基础诊断

考点突破

课堂总结

?an? (2)设?2n?的前 ? ?

an n+2 n 项和为 Sn,由(1)知2n= n+1 , 2

n+1 n+2 3 4 则 Sn=22+23+?+ 2n + n+1 , 2 n+1 n+2 1 3 4 2Sn=23+24+?+ 2n+1 + 2n+2 .
? 1 ? 1 ? 1 3 ? ?1 ? n+2 3 1? 两式相减得2Sn=4+?23+?+2n+1?- n+2 =4+4?1-2n-1? ?- 2 ? ? ? ?

n+ 2 n+4 .所以 Sn=2- n+1 . 2n+2 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等

比数列,求数列{an· bn}的前 n 项和时,可采用错位相减法求 和,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差 求解; (2) 在写出 “Sn” 与 “qSn” 的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 2】 (2014· 安徽卷)数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an +n(n+1),n∈N*.
?an? (1)证明:数列? n ?是等差数列; ? ?

(2)设 bn=3n· an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

an+1 an (1)证明 由已知可得 = +1, n+1 n an+1 an 即 - =1. n+1 n
?an? a1 ? ? 所以 n 是以 1 =1 ? ?

为首项,1 为公差的等差数列.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)解

an 由(1)得 n =1+(n-1)· 1=n,所以 an=n2.

从而 bn=n· 3n . Sn=1· 31+2· 32+3· 33+?+n· 3n,① 3Sn=1· 32+2· 33+?+(n-1)· 3n+n· 3n+1.② ①-②得-2Sn=31+32+?+3n-n· 3n+1
n+1 3· ?1-3n? ? 1 - 2 n ? · 3 -3 n+1 = -n· 3 = . 2 1-3

?2n-1?· 3n+1+3 所以 Sn= . 4

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点三

裂项相消法求和

【例 3】 (2014· 广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和
2 2 * 为 Sn,且 Sn 满足 S2 - ( n + n - 3) S - 3( n + n ) = 0 , n ∈ N . n n

(1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 (3) 证明:对一切正整数 n ,有 + +?+ a1?a1+1? a2?a2+1? 1 1 < . an?an+1? 3

基础诊断

考点突破

课堂总结

(1)解

2 2 ∵S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,

∴令 n=1,得 a2 1+a1-6=0, 解得 a1=2 或 a1=-3. 又 an>0,∴a1=2. (2)解
2 2 由 S2 - ( n + n - 3) S - 3( n +n)=0, n n

得[Sn-(n2+n)](Sn+3)=0, 又 an>0,所以 Sn+3≠0,所以 Sn=n2+n, 所以当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+n-1]=2n, 又由(1)知,a1=2,符合上式, 所以 an=2n(n∈N*).
基础诊断 考点突破 课堂总结

1 1 (3)证明 由(2)知, = , an?an+1? 2n?2n+1? 1 1 1 所以 + +?+ a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? 1 1 1 = + +?+ 2×3 4×5 2n?2n+1? 1 1 1 1 < + + +?+ 2×3 3×5 5×7 ?2n-1??2n+1?
? 1 ? 1 ? 1 1? ?1 1? 1 1? ?? ? ? <6+2??3-5?+?5-7?+?+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ? ?? ? ??

1 ? 1 1? ?1 ? 1 1 1 1 - =6+2?3 2n+1?<6+2×3=3. ? ?
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

利用裂项相消法求和时, 应注意抵消后并不一定

只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩 两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系 数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 3】 (2014· 重庆模拟)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, 已知 S3=a7,a8-2a3=3. (1)求 an; 1 3 1 (2)设 bn=S ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn>4- n+1 n (n∈N*).
(1)解 设数列{an}的公差为 d,

? ?3a1+3d=a1+6d, 由题意得? ? ??a1+7d?-2?a1+2d?=3,

解得 a1=3,d=2, ∴an=a1+(n-1)d=2n+1.
基础诊断 考点突破 课堂总结

n?n-1? (2)证明 由(1)得 Sn=na1+ 2 d=n(n+2), 1 ? 1 1? ?1 ∴ bn = =2?n-n+2? ?. n?n+2? ? ? ∴Tn=b1+b2+?+bn-1+bn
? 1 ?1 ? 1 ? 1 ? 1? ?1 1? 1? ?? ? ? ? ? =2??1-3?+?2-4?+?+?n-1-n+1?+?n-n+2?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 1 ? 1? ? =2?1+2-n+1-n+2? ?, ? ? ? 1 1 1 ? 1 1 1 ? 1? ? ? 1? ∴Tn=2?1+2-n+1-n+2?>2?1+2-n+1-n+1? ? ? ? ? ? 3 1 = 4- . n+1

3 1 故 Tn>4- . n +1
基础诊断 考点突破 课堂总结

[思想方法] 非等差、等比数列的一般数列求和,主要有两种思想 (1) 转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数 列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成; (2)不能转化为等差或等比的特殊数列,往往通过裂项相消 法、错位相减法、倒序相加法等来求和.

基础诊断

考点突破

课堂总结

[易错防范]

1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比
数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论. 2.在应用错位相减法时,要注意观察未合并项的正负号.

3.在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即
前剩多少项则后剩多少项.

基础诊断

考点突破

课堂总结


赞助商链接
推荐相关:

...轮复习【配套word版文档】:第六篇 第4讲 数列求和

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第六第4讲 数列求和_数学_高中教育_教育专区。数学,全册上册下册,期中考试,期末考试,...


...轮复习【配套word版文档】:第六篇 第4讲 数列求和

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第六第4讲 数列求和_数学_高中教育_教育专区。数学,全册,下册下册,期中考试,期末考试,...


《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套...

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第六篇 第3讲 等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。数学,全册,下册下册,期中...


《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套...

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第六篇 第3讲 等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。数学,全册上册下册,期中考试...


《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套...

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第六篇 第2讲 等差数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。数学,全册,下册下册,期中...


《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套...

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第六篇 第2讲 等差数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。数学,全册上册下册,期中考试...


江苏专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.4数列求...

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.4数列求和教师用书理_数学_高中教育_教育专区。第六章 数列 6.4 数列求和教师用书 理 苏教版 1.等差数列的前 n ...


《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套...

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第四第6讲 正弦定理和余弦定理_数学_高中教育_教育专区。数学,全册,下册下册,期中考试,...


浙江专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归...

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6.4数列求和_数学_高中教育_教育专区。(浙江专用) 2018 版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 ...


《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套...

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第九篇 第4讲 椭圆_数学_高中教育_教育专区。数学,全册,下册下册,期中考试,期末考试,试卷...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com