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2015届高考数学(理科)第一轮细致复习课件:选修4-1-1相似三角形的判定及有关性质(人教A版)


第1讲 相似三角形的判定及有关性质

诊断· 基础知识

突破· 高频考点

培养· 解题能力

[最新考纲] 了解平行线等分线段定理和平行截割定理;掌握相似三角形

的判定定理及性质定理;理解直角三角形射影定理.

诊断· 基础知识

破· 高频考点

培养· 解题能力

知识梳理

1.平行截割定理
(1)平行线等分线段定理 如果一组 平行线 在一条直线上截得的线段相等,那么在其 他直线上截得的线段也 相等 (2)平行线分线段成比例定理 ①定理:三条平行线截两条直线,所得的 对应线段 成比例. ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延 对应线段 .

长线)所得的

成比例.
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2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理

①两角对应 相等 的两个三角形相似.
②两边对应 成比例 并且夹角 相等 的两个三角形相似. ③三边对应 成比例 的两个三角形相似.

(2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的

比都等于

相似比




②相似三角形周长的比等于 相似比

③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 .
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3.直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例中 项;两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中 项. 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边上的高, 则有CD2=

AD·BD

, .

AC2= AD·AB ,BC2= BD·AB

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诊 断 自 测 1. 如图,已知 a∥b∥c,直线 m,n 分别与 a, b,c 交于点 A,B,C 和 A′,B′,C′, 3 如果 AB=BC=1,A′B′=2,则 B′C′ =________.
解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案.

3 答案 2

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2. 如图,△ABC∽△AFE,EF=8,且△ABC与△AFE的相似比
是3∶2,则BC等于________.

解析 ∵△ABC∽△AFE, BC 3 ∴EF=2. 又 EF=8,∴BC=12.

答案 12

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3. (2014·揭阳模拟)如图,BD⊥AE,∠C=90°,AB=4,BC=
2,AD=3,则EC=________.
解析 在 Rt△ADB 中,

DB= AB2-AD2= 7, 依题意得,△ADB∽△ACE, DB· AC DB AD ∴EC = AC,可得 EC= AD =2 7.

答案 2 7

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4. 如图,∠C=90°,∠A=30°,E是AB中点,DE⊥AB于E,

则△ADE与△ABC的相似比是________.

解析

1 AE 1 ∵E 为 AB 中点,∴AB=2,即 AE=2AB,在 Rt△ABC

3 中,∠A=30° ,AC= 2 AB, AE 1 又∵Rt△AED∽Rt△ACB,∴相似比为AC= . 3 故△ADE 与△ABC 的相似比为 1∶ 3.

答案 1∶ 3
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5. (2014· 湛江模拟)如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD BF 的中点,AE 交于 BC 于 F,则FC=________.

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解析 如图,过点D作DG∥AF,交BC于点G,易得FG=

GC,又在△BDG中,BE=DE,即
BF 1 EF 为△BDG 的中位线,故 BF=FG,因此FC=2.

1 答案 2
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考点一 平行截割定理的应用
【例 1】 如图,在△ ABC 中, DE∥BC , EF∥CD ,若 BC = 3 , DE=2,DF=1,则AB的长为________.
?DE∥BC, ? 由?EF∥CD, ?BC=3,DE=2 ? AE AF DE 2 ?AC=AD= BC=3,又 DF=1,

解析

故可解得 AF=2,∴AD=3, 9 AD 2 又 AB =3,∴AB=2. 9 答案 2
诊断· 基础知识 突破· 高频考点 培养· 解题能力

规律方法 利用平行截割定理解决问题,特别注意被平行线所截
的直线,找准成比例的线段,得到相应的比例式,有时需要进 行适当的变形,从而得到最终的结果.

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【训练1】 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=
2.E,F分别为AD,BC上的点,且EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE与梯形EFCD的面积比为________.

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解析

如图,延长 AD,BC 交于一点 O,作 OH⊥AB 于点 H.

x+h1 2 3 x ∴ = ,得 x=2h1, = ,得 h1=h2. x+h1 3 x+h1+h2 4 1 7 ∴S 梯形 ABFE=2×(3+4)×h2=2h2, 1 5 S 梯形 EFCD=2×(2+3)×h1=2h1, ∴S 梯形 ABFE∶S 梯形 EFCD=7∶5.

答案 7∶5

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考点二 相似三角形的判定及性质
【例 2】 如图,在 Rt△ABC 中,∠ ACB = 90°, CD⊥AB , E 为 AC的中点,ED、CB延长线交于一点F. 求证:FD2=FB·FC.

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证明 ∵E 是 Rt△ACD 斜边中点, ∴ED=EA,∴∠A=∠1, ∵∠1=∠2,∴∠2=∠A, ∵∠FDC=∠CDB+∠2=90° +∠2,∠FBD=∠ACB+∠A=90° +∠A,∴∠FBD=∠FDC, ∵∠F 是公共角,∴△FBD∽△FDC, FB FD ∴FD= FC,∴FD2=FB· FC.

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规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判
定定理,特别要注意对应角和对应边.证明线段乘积相等的问 题一般转化为有关线段成比例问题. (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;可间接 证明线段相等.

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【训练2】 (2013·陕西卷)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC

的平行线与AD的延长线交于点P,已知∠A=∠C,PD=
2DA=2,则PE=________.

解析 ∵PE∥BC,∴∠C=∠PED, 又∠C=∠A,则有∠A=∠PED,又∠为公共角, 所以△PDE∽△PEA, PD PE 2 = , 即 PE =PD· PA=2×3=6,故 PE= 6. PE PA
答案 6

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考点三 直角三角形射影定理及其应用
【例3】 如图所示,AD、BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂足 为F,直线 FD交 BE 于点 G ,交 AC的延长线于 H ,求证: DF2 =GF·HF. 证明 ∵∠H+∠BAC=90° ,∠GBF+∠BAC=90° ,
∴∠H=∠GBF.∵∠AFH=∠GFB=90° , HF AF ∴△AFH∽△GFB.∴ BF =GF, ∴AF· BF=GF· HF. 因为在 Rt△ABD 中,FD⊥AB,∴DF2=AF· BF, 所以 DF2=GF· HF.
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规律方法 (1) 在使用直角三角形射影定理时,要注意将 “ 乘积
式”转化为相似三角形中的“比例式”. (2)证题时,要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问 题时常用的方法.

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【训练 3】 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90° , CD⊥AB 于点 D, 4 AD=4,sin∠ACD=5,则 CD=______,BC=______. 解析 在 Rt△ADC 中,AD=4,
AD 4 sin∠ACD=AC =5,得 AC=5, CD= AC2-AD2=3,
2 AC 25 2 又由射影定理 AC =AD· AB,得 AB= AD = 4 .

25 9 ∴BD=AB-AD= 4 -4=4, 9 25 15 由射影定理 BC =BD· AB=4× 4 ,∴BC= 4 . 15 答案 3 4 诊断· 基础知识 突破· 高频考点
2

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【典例】 如图所示,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆

的切线分别交两圆于 C , D 两点,连接 DB 并延长交⊙ O 于点
E,证明: (1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE. [审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB,△DAB

中,再证两三角形相似;(2)本问可先证明△EAD∽△ABD,
再结合第(1)问结论得证.

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证明 (1)由 AC 与⊙O′相切于 A,得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD=BD, 即 AC· BD=AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A,得∠AED=∠BAD.又∠ADE=∠BDA, 得△EAD∽△ABD. AE AD 从而AB=BD,即 AE· BD=AD· AB. 综合(1)的结论知,AC=AE.
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[ 反思感悟 ]

1. 易失分点: (1) 证明本题第 (2) 问时,想不到证明

△EAD∽△ABD,从而无法解答. (2)证明本题第(2)问时,没有应用第(1)问的结论从而无法证明结 论成立. 2.防范措施:(1)证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出 比例式中给出的线段所在三角形是否相似,若不相似,则进行 线段替换或等比替换.

(2)在有多个结论的题目中,如果结论带有普遍性,已经证明的
结论,可作为证明下一个结论成立的条件使用.

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【自主体验】
(2013·江苏卷)如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC 经过圆心O,且BC=2OC. 求证:AC=2AD

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证明

连接 OD,因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,

所以∠ADO=∠ACB=90° . 又因为∠A=∠A, 所以 Rt△ADO ∽Rt△ACB. AD OD 所以AC = BC . 又 BC=2OC=2OD, 故 AC=2AD.

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