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赏析数学中的美


调查结果:
(1)数学是重要的,同时又是抽象和枯燥的。
(2)学数学意味着在题海中沉浮。

(3)数学是深奥的枯燥理论和艰涩难懂符号的堆彻。
(4)数学是机械记忆和解题训练加黑板上令人 昏昏欲睡的讲解 (5)数学只给我们压力,不给我们魅力。

没有一门学科象数学那样,在大家的心目中 其重要性和亲近性竟产生这

么大的分歧:
一方面:全世界所有国家的中小学生都把数学作为 一门重要的基础课程学习着。 另一方面:是大家对数学的望而却步。学生学习数学是为 了分数,没有乐趣,得不到享受,数学课没有情感体验 和审美愉悦,每次上课之前,大家都会怀着一种期待得 心情,期待着老师会带来一些新得、有魅力得东西,学 生期望数学课能注入一些活力,能多听到一种声音,能 了解一些定义以外的东西。但往往期望越大失望也越大。

“数学是壮丽多彩, 千姿百态,引人入 胜的” ----华罗庚

?罗素认识到了数学中得美,他也曾尽力描绘出这种美:

“正确地说,数学不仅拥有真 理,而且还拥有极度的美—— 一种冷静和朴素的美,犹如雕 塑那样,虽然没有任何诱惑我 们脆弱本性的内容,没有绘画 或音乐那样华丽的外衣。但是, 却显示了极端的纯粹和只有伟 大的艺术才能表现出来的严格 的完美。”

数学美的魅力是诱人的, 数学美的力量是巨大的 数学美的思想是神奇的。 让我们认识数学也是一个五彩缤纷的美的是世界。 由此产生学习数学的兴趣,从而促使外来动机 向内在动机转化,并成为学习的持久动力。

数学是大千世界永恒的语言

? 数学在文学艺术中的美 ? 数学在生活中的美

? 数学在音乐中的美
?对称美 ?简洁美 ?和谐美 ?奇异、突变美 ?创新美 ?发展美

? 数学的内在美

数学在文学艺术中的美
一元复始,一帆风顺;双喜临门、二度梅开; 三阳开泰、三思而行;四通八达、四海为家; 五世其昌、五官端正;六根清净;七情六欲; 八面玲珑、八面威风;九霄云外、九转金丹; 十全十美,百尺竿头;千变万化;万全之策。

数学在文学艺术中的美
“朝辞白帝彩云间, 千里江陵一日还。 两岸猿声啼不住, 轻舟已过万重山。” “飞流直下三千尺, 疑是银河落九天。” “白发三千丈, 缘愁似个长.”

数学在文学艺术中的美
“两个黄鹂鸣翠柳,一行白鹭上青天。 窗含西岭千秋雪,门泊东吴万里船。”
“千山鸟飞绝,万径人踪灭。” “一封朝奏九重天,夕贬潮州路八千。”

数学在文学艺术中的美
唐诗《题百鸟归巢图》:

“一只一只复一只,五六七八九十只, 凤凰何少鸟何多?食尽人间千万石。” 读来妙题横生。
“一片二片三四片,五六七八九十片, 千片万片无数片,飞入梅花总不见。”

数学在文学艺术中的美
一叶孤舟,坐着二三个骚客, 启用四桨五帆,经过六滩七湾, 历尽八颠九簸,可叹十分来迟。 十年寒窗,进了九八家书院, 抛却七情六欲,苦读五经四书, 考了三番二次,今天一定要中。

数学在文学艺术中的美
一别以后,二地相悬,只说三四个月,又谁知五年 六年。七弦琴无心弹,八行书无可传,九连环又从中折断, 十里长亭望眼欲穿,百思想,千思念,万般无奈把郎怨。 万语千言说不完,百无聊赖十依栏,重九登高看孤雁,八 月中秋月圆人不圆,七月半烧香秉烛问苍天,六伏天人人 摇扇我心寒,五月石榴火红偏遭阵阵雨浇花端,四月枇杷 未黄我欲对镜心意乱。急匆匆,三月桃花随水转,飘零零, 二月风筝线儿断。噫!郎呀郎,巴不得下一世你为女来我 为男。

美国作家杰克·伦敦成名后,曾收到过一 位女士的求爱信;“你有一个出众的名声, 我有一个高贵的地位。这再者加起来,再乘 上万能的黄金,足以使我们建立起一个天堂 都不能比拟的美满家庭。” 杰克· 伦敦连忙回信,他答得很妙: “根据你列出的那道爱情公式,我看还要 开平方!不过这个平方根却是负数”。

(1)一斤花生二斤枣,好运经常跟你跑;三斤苹果四斤梨, 吉祥和你不分离;五斤橘子六斤桃,年年招财又进宝;七 斤葡萄八斤橙,愿你心想事就成;九斤芒果十斤瓜,愿你 天天乐开花! (2)祝一帆风顺,二龙腾飞,三羊开泰,四季平安,五福 临门,六六大顺,七星高照,八方来财,九九同心,十全 十美。

(3)新的1年就要开始了,愿好事接2连3,心情4 春天阳光,生活5颜6色,7彩缤纷,偶尔8点小财 ,一切烦恼抛到9宵云外,请接受我10全10美的祝 福。 (4)在新的一年里,祝你十二个月月月开心, 五十二个星期期期愉快,三百六十五天天天好运 ,八千七百六十小时时时高兴,五十二万五千六 百分分分幸福,三千一百五十三万六千秒秒秒成 功。

我国对“数学与音乐”的认识
在我国,最早产生的完备的律学理论是三分损益律, 时间大约在春秋中期《管子.地员篇》和《吕氏春秋.音 律篇》中分别有述;明代朱载 (1536 - 1610) 在其音乐 著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述,在 《律吕精义内篇》中对十二平均律理论作了论述,并把十 二平均律计算的十分精确, 与当今的十二平均律完全相 同, 这在世界上属于首次.由此可见,在古代,音乐的发展 就与数学紧密地联系在了一起.

孔子说的六艺“礼、乐、射、御、书、数”,其中 “乐”指音乐,“数”指数学。即孔子就已经把音乐与数 学并列在一起。我国的七弦琴(即古琴)取弦长l,7/8,5/6, 4/5,3/4,2/3,3/5,1/2,2/5,1/3,1/4.1/5,1/6, 1/8得所渭的13个徽位,含纯率的1度至22度,非常自然, 足很理想的弦乐器。我国著名古琴家查阜西早就指出,要 学好古琴,必须对数学有一定素养。 世界著名波兰作曲家和钢琴家肖邦很注意乐谱的数学 规则、形式和结构,有位研究肖邦的专家称肖邦的乐谱 “具有乐谱语言的数学特征”。

斐波那契数列与钢琴键盘

从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐 中的一个八度音程. 其中共包括13 个键,有8 个白键和5 个黑键 ,而 5 个黑键分成 2 组 ,一组有 2 个黑 键 ,一组有 3 个黑键.2、3、5、8、 13 恰好就是著名的斐波那契数列中 的前几个数.

斐波那契数列:1、1、2、3、5、8、 13、21、…… 这个数列从第三项开始,每一项都 等于前两项之和。它的通项公式 为:(见图)(又叫“比内公式”,是 用无理数表示有理数的一个范例。)

黄金比例与旋律
? 贝多芬、莫扎特、巴赫、巴托克、书比特等 著名的音乐家的作品中都流淌着黄金分割完 美和谐的旋律,他们音乐的音节、乐曲中的 大小高潮大多都在乐曲的5:8的交叉点上。

平移变换与乐谱

(一)数和式的对称美。 象二项式定理,杨辉三角。 (二)图形的对称美。 如毕达哥拉斯学派认为,一切空间图形中, 最美的是球形;一切平面图形中,最美的是圆形。 (三)数学思想和方法的对称美。 如分析法和综合法,直接法和反证法, 逻辑思维和逆向思维等。

?在自然界中,大凡美的东西都具有 对称性, ?比如花卉、叶片、动物、艺术品、 建筑物等。

? 而在数学中,很多曲线和曲面,比 如二次曲线、双纽线、玫瑰线、雪 花曲线??等等,也具有对称性。

多叶玫瑰线
伯努利曲线

双扭曲线 心动玫瑰线

曲面

四叶玫瑰线

?

(a ? b)h 梯形的面积公式:S= 2

Sn ? 等差数列的前n项式:

?

(a1 ? a n )n 2

? 其中是上底边长a,b是下底边长,其中 a1 是首 项, a 是第n项,这两个等式中,a与 a1 是对 n 称的,b与 an 是对称的。

? h与n是对称的。

数字的对称美是不容易发现的, 往往要通过计算。通过不同数字的组

合,才可以得到一些非常奇妙的排列,
令人看后叫绝,回味无穷。

1· 1= 1 11· 11=121 111· 111=12321 1111· 1111=1234321 11111· 11111=123454321 111111· 111111=12345654321 1111111· 1111111=1234567654321 11111111· 11111111=123456787654321 111111111· 111111111=12345678987654321

9· 9+7=88 98· 9+6=888 987· 9+5=8888 9876· 9+4=88888 98765· 9+3=888888 987654· 9+2=8888888 9876543· 9+1=88888888 98765432· 9+0=888888888

1· 9+2=11 12· 9+3=111 123· 9+4=1111 1234· 9+5=11111 12345· 9+6=111111 123456· 9+7=1111111 1234567· 9+8=11111111 12345678· 9+9=111111111 123456789· 9+10=1111111111

9· 9=81 99· 99=9801 999· 999=998001 9999· 9999=99980001 99999· 99999=9999800001 999999· 999999=999998000001 9999999· 9999999=99999980000001

1· 8+ 1 = 9 12· 8+2=98 123· 8+3=987 1234· 8+4=9876 12345· 8+5=98765 123456· 8+6=987654 1234567· 8+7=9876543 12345678· 8+8=98765432 123456789· 8+9=987654321

简洁美是人们最欣赏的一种美, 在艺术、建筑、徽标等的设计中 最为常见。中国画更是体现了简 洁美。 数学以简洁而著称!

1.数字的简洁美 数的表示: 所有数均可1,2,3,5,6,7,8,9,0表示。

大数和小数的表示:
10221, 286243 , 10?900

2.符号的简洁美

运算符号:

?,,,, ? ? ?
F ? 0 ? v ? c, 牛顿第一定律 d ( mv ), 牛顿第二定律 dt m1m2 F ?k ,万有引力定律 2 r

函数与逻辑:F ?

其它符号的简洁美:

未知量:x,y,z 已知量:π ,e, a,b,c
函数关系: f ( x)
?, ?,?, 形状符号: ?, ? , ? ,?, ?, ?

3.公式的简洁美
? 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于 斜边平方。 a 2 ? b2 ? c 2 x1 , x2 ,?, xn , ? 平均不等式:对任何正数

x1 ? x2 ? ? ? xn ?

n

x1 x2 ? xn

? 正弦定理:ΔABC的外接圆半径R,
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

? 欧拉公式:V-E+F=2 ? 堪称“简洁美”的典范。 ? 世间的多面体有多少?没有人 能说清楚。但它们的顶点数V、 棱数E、面数F,都必须服从 欧拉给出的公式。 ? 一个如此简单的公式,概括了 无数种多面体的共同特性,能 不令人惊叹不已吗? ? 在数学中,像欧拉公式这样形 式简洁、内容深刻、作用很大 的定理还有许多。比如:圆的 周长公式:C=2π R

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(1) 数论大师赛尔伯格曾经说,他 喜欢数学的一个动机是以下的公 式: ? 1 1 ? 1? ? ?? 4 3 5 这个公式实在美极了,奇数1、 3、5、?这样的组合可以给出, 对于一个数学家来说,此公式正 如一幅美丽图画或风景。
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(2)欧拉公式: 曾获得“最美的数学定理”称号。eπi+1=0 这个等式 被评为2003年全世界自然科学界十大最美公式中的第一名。 它美在哪儿?

e

i?

? ?1

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请看:“1”是自然数中最基本的正整数, “0”是复数系中最关键的整数, “π、e”是最常用、最重要的无理数, “i”却是虚数单位。 这样几个复数系中最重要、最特殊的数又简洁、又和 谐、又奇异地统一在同一个等式中,多么奇妙、多么精彩 、多么迷人,大有“神来之笔”之感,令人拍案叫绝。这 不仅仅是数学家的一个伟大发现,而是数学本身所具有的 内在美,这就是数学美。 www.art-com.co.kr

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(3)著名的黄金分割比。 即0.61803398?被达·芬 奇称为 “神圣比例”.他认为 “美感完全建立在各部分之间 神圣的比例关系上”。 维纳斯的美被所有人所公 认,她的身材比也恰恰是黄金 分割比。

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在正五边形中,边长与对角线长的比是黄金分 割比。黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计 中都有广泛的应用。巴黎圣母院、北京故宫的构图 都融入了黄金分割的匠心; 孕育着生命的水,液态的温度范围是0-100度, 其两个黄金分割点之一的温度为38度左右,正与人 体正常体温吻合;人的脑电图波,若高低频率之比 为1:0.618时,则是身心愉悦的时 刻......真是奇妙无比

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x2 y 2 又如:在椭圆: a 2 ? b2 ? 1? a ? b ? 0 ?

则?ABF= ? 。
2

中,记左 焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B, 若该椭圆的离心率为 e ? 5 ? 1 ? 0.618
2

这样的椭圆称之为“优美椭圆”。
x

y O

x2 y2 ? 2 ?1 对双曲线也有“优美双曲线”: 2 a b
5 ?1 双曲线的离心率为 e?



左顶点为A,右焦点为F,B是虚轴的一个端点,且

? ?ABF= 2

它也有类似的性质:
y

2

B

A O

F

x

1 ? 0.166666666666666666666? 6 1 ? 0.142857 142857 142857 142857 ? 7

987654321 9 ? 8? 123456789 123456789

全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世 界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”, 其中有一道相当简单的问题: ab 有哪些分数 不合理地把b约去得
bc

到,结果却是对的?
16 26 19 49 , , , 经过简单计算,可以找到四个分数: 64 65 95 98

这个问题涉及到“运算谬误,结果正确”的歪正着,
还有一些“歪打正着等式”,

5 2 2 ? 9 ? 2592 25 25 5 2 ? ? 25 31 31 1 1 2 11 ? 9 ? 1129 3 3

例1:在?ABC中, ?BAC=120?,

A

AD是?BAC的平线, 若 AB ? x1 , AC ? x2 , AD ? x3 则
1 1 1 ? ? x1 x2 x3

x1
B

x3
D

x2
C

y

例2、若直线L分别与两 坐标轴的正半轴交于点

L

x2 x3 x1
x

? x1 , 0 ? , ? 0, x2 ? ,直线 l / : y ? x 与直线L交点的横坐标 为 x3,则 1 1 1
x1 ? x2 ? x3

O

y

例3、抛物线 y ? ax ? a ? 0 ? 与直线y=kx+b相交于两点 ,它们的横坐标分别为 x1 x2 ,该直线与x轴交点横坐 标为 x3 ,则 1 1 1
2

x

x1

O

x2

x3

x1

?

x2

?

x3

例4、圆内接正七边形的边 长为、长、短对角线长分 别为 x , x , x ,则
1 2 3

E

D x3

F

C x1 x2

1 1 1 ? ? x1 x2 x3

G A
图4

B

数学是一门同人民生活贴得很近的学科, 数学所讨论的世界,远比现实的所谓世界宏 伟雄大。 通常所说的宇宙世界只是三维空间,而 数学则建立起了四维、五维乃至n维空间, 并且,集合论的超限数的空间,远远超过了 通常无穷大的空间,它们都远比我们现实的 宇宙更具有庄严美、雄伟美。

分形几何趣谈
在这个世界里,你碰到的将不再是欧几里得几 何学的直线、圆、长方体等简单规则的图形,而 是海岸线、云彩、花草树木等复杂的自然形体, 它们被称为分形(fractal).

雪花到底是什么形状? 那晶莹剔透的雪花曾引起无数诗人的 赞叹。但若问起雪花的形状是怎样的,能 回答上来的同学不一定很多。也许有人会 说,雪花是六角形的,这既对,但又不完 全对。雪花到底是什么形状呢?1904年瑞 典数学家科赫讲述了一种描述雪花的方法。

先画一个等边三角形,把边长为原来三角形边长的 三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上, 由此得到一个六角星;再将这个六角星的每个角上的小 等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星……如此 一直进行下去,就得到了雪花的形状。

从上面的描述过程我们可以看出:原来雪花 的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样, 小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了一 个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形, 这就是20世纪70年代由美国计算机专家曼德 布罗特创立的分形几何。所谓分形几何就是研究 不规则曲线的几何学。目前分形几何已经在很 多领域得到了应用。

?欧几里得几何曾经是完美的经典几何学,其中 的公理5:“过直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于 二直角”, ?这些似乎是天经地义的绝对真理。 ?但俄罗斯数学家罗马切夫斯基却采用了不同公 理5的结论:“过直线外一点至少有两条直线 与已知直线平行”,在这种几何里,“三角形 内角和小于二直角”,从而创造了罗氏几何。
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?数学中还有许多问题,如采用新的思路、新 的方法。可使人耳目一新,从中得到美的赏 受。 ?例如立体几何中向量法的使用使传统的立体 几何更充满生机。经典定理、题型的引伸、 拓展。

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长方体对角线的性质1:设长方体中 ABCD—A1 B1C1 D1 则对角线 d 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2

大家还能否联想或创新得出与长方体对角线相 关的其它性质: A D
B

A1
B1
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D1

C1
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? 性质2:长方体中,对角线与三条棱AB、AC、AD、所 成的角分别为 则 ?、?、?

cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
2 2 2

A B A1

D

D1
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B1
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性质3:设长方体 ABCD—A1 B1C1 D中,对角线与三个面 1 AC、AB1 、AD1所成的角分别 ?、?、? ,则

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2
A B A1 C D

D1
C1
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B1
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AA1

? 性质4:长方体中,P是空间异于A的任一点,直线 AP与直线AB、AD、 AA1 所成的角分别为,则

cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
2 2 2

A

D

B A1

D1
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? 性质5:长方体外接球的直径就是这个长方体的对 角线的长。 A D B D1

A1
B1
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? 性质6:正方体内切球的直径就是这个正方体的棱 长。 A D

B
A1 B1 C1

D1

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1、数学史上的三次危机的产生
第一次数学危机——无理数的产生 希伯索思根据勾股定理通过逻辑推理发现,边长为 1的上方形的对角线长度既不是整数,也不是整数的比 所能表示,这个发现使古希腊数学家们感到惊奇不安, 这意味着边长为1的正方形的对线长度竞然不能用任何 “数”表示出来

第二次数学危机──无穷小是零吗? 牛顿在求xn的导数时,采取了先给x以增量0,应 用二项式(x+0)n,从中减去xn以求得增量,并除以 0以求出xn的增量与x的增量之比,然后又让0消逝, 这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的 手续──先设x有增量,又令增量为零,也即假设x没 有增量。“他认为无穷小dx既等于零又不等于零,召 之即来,挥之即去,这是荒谬。 由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的 争论。导致了数学史上的第二次数学危机。

第三次数学危机---悖论的产生 罗素于1919年给出的,在某个城市中有一位理发师, 他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉 满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只 给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的 人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有 一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能 地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他 不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要 给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己 刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。

2、对数学未来的思考
Archimedes(阿基米德) (前287 -前212)这位在所有时代都是最卓越 数学家之一。 他对数学的思考是:

对于数学的未来,你们看到了什么?

Newton(牛顿)(1643-1727)人类历 史上出现过的最伟大、最有影响 的科学家,同时也是最伟大的数 学家、物理学家和哲学家的他对 数学的思考是: 什么是数学的未来?

David Hilbert(希尔伯特) (1862 -1943)是一位对数 学的几乎每一个领域都有本 质性的贡献的人。他对数学 的思考是: 数学能能解决什么?

数学的未来是:

材料科学,
生命科学, 和数码技术。

有一位科学家说:“感受到自然和人类的 美,并用美丽的语言讴歌她,这就是诗歌;用 美丽的色彩和形态去表现她,这就是绘画;而 感受到存在于数与形的美,并以理智引导下的 证明去表现她,这就是数学。” “数学,不但拥有真理,而且也具有至上 的美。这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰, 她可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只 有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。” 数学就是这样一门“既美而又真”的科学。

数学的美,她需要我们用心、用智 慧深层次地去挖掘,更好地体会她的美 学价值和她丰富、深隧的内涵和思想, 及其对人类思维的深刻影响。 如果在学习过程中,我们能与数学 家们一起探索、发现,从中获得成功的 喜悦和美的享受,那么我们就会不断深 入其中,欣赏和创造美。

请大家思考: 什么能使生活变得更圆满、 更美呢?
金钱、运气、领导力、努力 的工作、渊博的知识、美好的爱 情、还是对学习、工作、生活积 极的态度?
这里有个神奇的数学公式,也许能对你有所启发!!

26个英文字母
A,B,C,D,E,F,G,H, I,J,K,L,M,N,O,P, Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z

依次等于以下数字
1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10,11,12,13,14,15,16, 17,18,19,20,21,22,23,24,25,26

Luck(好运) L+U+C+K=12+21+3+11=47 Love(爱情) L+O+V+E=12+15+22+5=54

Money(金钱) M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72
Leadership(领导力) L+E+A+D+E+R+S+H+I+P=12+5+1+4+5+18+19+9+16=89

Knowledge(知识) K+N+O+W+L+E+D+G+E=11+14+15+23+12+5+4+7+5=96 Hardwork(努力工作) H+A+R+D+W+O+R+K=8+1+18+4+23+15+18+11=98 Attitude(态度) A+T+T+I+T+U+D+E=1+20+20+9+20+21+4+5=100 Love of god(上帝的关爱) L+O+V+E+O+F+G+O+D=12+15+22+4+15+6+7+15+4=101

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