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安徽师大附中2011届高三第一次模拟考试


安徽师大附中 2011 届高三第一次模拟考试 数 学 试卷(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符号题目要求的.
2 1.集合 A ? ? 0, 2,

a ? , B ? ?1, a ? ,若 A ? B ? ? 0,1, 2, 4,1 6 ? ,则 a 的值为





A. 0 2. 若
?

B. 1
?

C. 2
? ?

D. 4 (
0

a

?1,

b

?

? ? 2 ,? a ? b ? ? ? ?

?

?

a ,则 a 与b 的夹角为
45
0

?

) D.
0

A.

30

0

B.

C.

60

75

3. 已知函数 f ( x ) ? ?

? x ? 2, x ≤ 0, ? ? x ? 2, x ? 0,

则不等式 f ( x ) ≥ x 的解集为

2





A.

? ? 1,1 ?

B.

? ? 2, 2 ?

C.

? ? 2,1 ?
2

D.

? ? 1, 2 ?
( )

a 4. 已知等比数列 { a n } 的公比为正数,且 a 3 · 9 =2 a 5 , a 2 =1,则 a 1 =
1 2

A.

B.

2 2

C.

2

D. 2 ( )

5. 函数 y ? sin x ? sin x 的值域是 A. [-1,1] B. [-2,2] C. [0,2] D. [0,1]

6. 已知 S n 为等比数列 ?a n ? 的前 n 项和,a 1 ? 2 ,若数列 ?1 ? a n ? 也是等比数列,则 S n 等于 ( A. )
2n

B.

3n

C.

2

n ?1

?2

D.

3 ?1
n

?-x+3a, x<0 ? 7.函数 f(x)=? x (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是 ? x≥0 ?a ,

A. (0,1)

1 B. [ ,1) 3
x ?x

1 C. (0, ] 3

( 2 D. (0, ] 3

)

8.设 a ? R ,函数 f ( x ) ? e ? a ? e
y ? f ( x ) 的一条切线的斜率是

的导函数是 f ? ( x ) ,且 f ? ( x ) 是奇函数 . 若曲线 ( )

3 2

,则切点的横坐标为

A. ?

ln 2 2

B. ? ln 2

C.

ln 2 2

D. ln 2 ( )

9. ? ABC 为钝角三角形的充分不必要条件是

? 1 ? ? A B ? A C ? ? C A ? C B ? <0
? ?? ?

?

?

?

??

?

?

?

? 2 ? ? A B ? A C ? ? B A ? B C ? <0
? ?? ?

?

?

?

??

?

?

?

? 3 ? ? B A ? B C ? ? C A ? C B ? <0
? ?? ?

?

?

?

??

?

?

?

? 4 ? ? A B ? A C ? ? B A ? B C ? ? C A ? C B ? <0
? ?? ?? ?

?

?

?

??

?

?

??

?

?

?

A. (1) (4)

B. (2) (4)
a b

C. (3) (4)
1 a ? 1 b

D. (1) (3) (2) ( D.
1 4

10. 设 a ? 0, b ? 0. 若 3是 3 与 3 的 等 比 中 项 , 则 A. 8 11. 已知点 p 在曲线 y ? 围是 A.
? ? ? ? 0, 4 ? ? ?

的最小值为

)

B. 4
4 e ?1
x

C. 1

上, ? 为曲线在点 p 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范 ( )

B.

?? ? ? , ?4 2 ? ? ?

C.

? ? 3? ? ? , ? ? 2 4 ? ? ?

D.

? 3? ? ? 4 ,? ? ? ?

12. 已知 ? 为正实数, 函数 f ( x ) ? 2 sin ? x 在区间 ? ? A. 0< ? ≤
24 7

? ? ?
, 3

上递增, 那么 4? ?
3 2


3 2



B. 0< ? ≤2

C. 0< ? ≤

D.

? ≥

[来源: ]

[来源:学#科#网]

安徽师大附中 2011 届高三第一次模拟考试 数学答题卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符号题目要求的. 题号 答案 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填写在题中的横线上. 13. 已知 f(x)=sinx﹣3cosx,则 f(x)的最大值为 .
? x ? y ? 2, ? 14. 实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4 , 则 2 x ? 3 y 的最小值是 ? x ? y ? 0, ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



x+3 15. 设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数,则满足 f(x)=f( )的所有 x 之和 x+4 为________. 16. 已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 3 3, a n ? 1 ? a n ? 2 n , 则
an n

的最小值为__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c .已知 a ? b ? 5 , c = 7 ,且
4 sin
2

A? B 2

? cos 2 C ?

7 2

.

(1) 求角 C 的大小;

(2)求△ABC 的面积.

18.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b 的图像在点 P (1, f (1)) 处的切线为 3 x ? y ? 3 ? 0 。
3 2

(1)求函数 f ( x ) 及单调区间; (2)求函数在区间 [0, t ] ( t ? 0) 上的最值。

19. (本小题满分 10 分) 某单位建造一间地面面积为 12m2 的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子 侧面的长度 x 不得超过 a 米, 房屋正面的造价为 400 元/m2,房屋侧面的造价为 150 元/m2, 屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元,如果墙高为 3m,且不计房屋背面的费用. (1)把房屋总造价 y 表示成 x 的函数,并写出该函数的定义域. (2)当侧面的长度为多少时,总造价最底?最低总造价是多少?

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 S n ? 1 ? 4 a n ? 2( n ? 1, 2, ? ), a1 ? 1 , ⑴设数列 b n ? a n ? 1 ? 2 a n ( n ? 1, 2, ? ? ) ,求证:数列 ? b n ? 是等比数列; ⑵设数列 c n ?
an 2
n

, ( n ? 1, 2, ? ? ) ,求证:数列 ? c n ? 是等差数列;

⑶求数列 ? a n ? 的通项公式及前 n 项和。

21. (本小题满分 12 分) → → → → 如图,三定点 A(2,1),B(0,-1),C(-2,1); 三 动点 D,E,M 满足AD=tAB, BE = t BC, → → DM=t DE, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线 DE 斜率的变化范围; (Ⅱ) 求动点 M 的轨迹方程.
y C D M -2 -1 O E -1 B 1 2 x A

22. (本小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 f ( x ) ? 2 x ? ( x ? a ) | x ? a | .
2

(1)若 f (0 ) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x ) 的最小值; (3)设函数 h ( x ) ? f ( x ), x ? ( a , ?? ) ,.... 直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h ( x ) ? 1 的解 集.

安师大附中 2011 届高三数学测试答题卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符号题目要求的. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 B 5 B 6 A 7 B 8 D 9 D 10 B 11 D 12 C

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填写在题中的横线上. 13. 1 0 14. 4 15. ? 8 16.
21 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) (1) 解:∵A+B+C=180° 由 4 sin ∴4 ?
2

A? B 2

? cos 2 C ?
? ( 2 cos
2
2

7 2

得 4 cos
7 2

2

C 2

? cos 2 C ?

7 2

1 ? cos C 2

C ? 1) ?

整理,得 4 cos

C ? 4 cos C ? 1 ? 0

解 得: cos C ? ∵ 0 ? ? C ? 180 ?

1 2

∴C=60°

(2)解:由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-ab ∴ 7 ? ( a ? b ) ? 3 ab
2

由条件 a+b=5 得 7=25-3ab

ab=6
1 2 1 2 3 2 3 3 2

∴ S ? ABC ?

ab sin C ?

?6?

?

18. (本小题满分 10 分) 解:(1)由 P 点在切线上得 f (1) ? 0 ,即点 P(1,0)又要在 y ? f ( x ) 上, 得 a ? b ? ?1 又 f ? (1) ? ? 3 ? 2 a ? ? 6 故 f ( x) ? x ? 3x ? 2
3 2

2 f ?( x ) ? 3 x ? 6 x , 令 f ?( x ) ? 0 解 得 x ? 2 或 x ? 0 , ? f ( x ) 的 增 区 间 是

( ? ? , 0 ), ( 2, ? ? ) ,减区间是 (0, 2 )

(2)当 0 ? t ? 2 时, f ( x ) m ax ? f (0 ) ? 2, f ( x ) m in ? f ( t ) ? t ? 3 t ? 2
3 2

当 2 ? t ? 3 时, f ( x ) m ax ? f (0) ? f (3) ? 2, f ( x ) m in ? f (2) ? ? 2 当 t ? 3 时, f ( x ) m ax ? f ( t ) ? t ? 3 t ? 2, f ( x ) m in ? f (2) ? ? 2
3 2

19. (本小题满分 10 分) 解: (1)由题意可得,
y ? 3( 2 x ? 1 5 0 ?
16 x

12 x

? 4 0 0 ) ? 5 8 0 0 ? 900 ( x ?
16 x

16 x

) ? 5800 ( 0 ? x ? a )

(2) y ? 900 ( x ? 当且仅当 x ?

) ? 5800 ? 900 ? 2

x?

? 5800 =13000

16 x

即 x ? 4 时取等号。

若 a ? 4 , x ? 4 时,有最小值 13000。 若 a ? 4 任取 x 1 , x 2 ? ( 0 , a ) 且 x 1 ? x 2
y 1 ? y 2 ? 900 ( x 1 ? 16 x1 ) ? 5800 ? 900 ( x 2 ? 16 x2 ) ? 5800

? ? 1 1 ? 900 ? ? x 1 ? x 2 ? ? 16 ? ? ?x x2 ? 1 ?

?? ?? ? ??

?

900 ? x 1 ? x 2 ?? x 1 x 2 ? 16 ? x1 x 2

? x 1 ? x 2 ? a ,? x 1 ? x 2 ? 0 , x 1 x 2 ? a

2

? 16

16 ? ? ? y 1 ? y 2 ? 0 ? y ? 900 ? x ? ? ? 5800 在 ? 0 , a ? 上是减函数 x ? ?

? 当 x ? a 时 , y 有最小值 900 ( a ?

16 a

) ? 5800 .

20. (本小题满分 12 分) 解 : (1) 由 S n ? 1 =4 a n +2 , S n ? 2 =4 a n ? 1 +2 , 两 式 相 减 , 得 S n ? 2 - S n ? 1 =4( a n ? 1 - a n ) , 即
a n ? 2 =4 a n ? 1 -4 a n . a n ? 2 -2 a n ? 1 =2( a n ? 1 -2 a n ),又 b n = a n ? 1 -2 a n ,所以 b n ? 1 =2 b n ①

已知 S 2 =4 a 1 +2, a 1 =1, a 1 + a 2 =4 a 1 +2,解得 a 2 =5, b1 = a 2 -2 a 1 =3 ② 由①和②得,数列{ b n }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =3· 2
n ?1



(3)当 n≥2 时, S n =4 a n ? 1 +2=2

n ?1

(3n-4)+2;当 n=1 时, S 1 ? a1 =1 也适合上式
n ?1

综上可知,所求的求和公式为 S n =2 21. (本小题满分 12 分)

(3n-4)+2.

→ → 解法一: 如图, (Ⅰ)设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD=tAB, → → BE = t BC, 知(xD-2,yD-1)=t(-2,-2).
?xD=-2t+2 ∴? ?yD=-2t+1 ?xE=-2t 同理 ? . ?yE=2t-1 C D M -2 -1 O E -1 B 1 2 x y A

∴kDE =

yE-yD xE-xD

=

2t-1-(-2t+1) = 1-2t. -2t-(-2t+2)

∵t∈[0,1] , ∴kDE∈[-1,1]. → → (Ⅱ) ∵DM=t DE ∴(x+2t-2,y+2t-1)=t(-2t+2t-2,2t-1+2t-1) =t(-2,4t-2)=(-2t,4t2-2t).

?x=2(1-2t) x2 ∴? , ∴y= , 即 x2=4y.∵t∈[0,1], x=2(1-2t)∈[-2,2]. 2 4 ?y=(1-2t)

即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[-2,2] 解法二: (Ⅰ)同上. → → → → (Ⅱ) 如图, OD=OA+AD = OA+ → → → → → → tAB = OA+ t(OB-OA) = (1-t) OA+tOB,
y C A M - 2 - 1 O E - B 1 1 D 2 x

→ → → → → → → → → → OE = OB+BE = OB+tBC = OB+t(OC-OB) =(1-t) OB+tOC, → → → → → → → → → → OM = OD+DM= OD+ tDE= OD+t(OE-OD)=(1-t) OD+ tOE → → → = (1-t2) OA + 2(1-t)tOB+t2OC . → → → 设 M 点的坐标为(x,y),由OA=(2,1), OB=(0,-1), OC=(-2,1) 得
?x=(1-t2)· 2+2(1-t)t· 2· 0+t (-2)=2(1-2t) ? 2 y=(1-t) · 1+2(1-t)t· (-1)+t2· 1=(1-2t)2 ?

消去 t 得 x2=4y, ∵t∈[0, 1], x∈[-2, 2].

故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[-2,2] 22. (本小题满分 16 分) 解: (1)若 f (0 ) ? 1 ,则 ? a | a |? 1 ? ?
?a ? 0 ?a ? 1
2

? a ? ?1
?2a 2, a ? 0 ? f ( a ), a ? 0 ? ? ? ? ? ? 2a 2 a ,a ? 0 ? f ( ), a ? 0 ? 3 ? ? 3

(2)当 x ? a 时, f ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? a ,
2 2

f ( x ) m in

2 2 当 x ? a 时, f ( x ) ? x ? 2 a x ? a , f ( x ) m in ? ?

? f ( ? a ), a ? 0 ? f ( a ), a ? 0

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2 ?2a , a ? 0 ?

综上 f ( x ) m in

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
2 2

x h ? (3) ? ( a , ? ? ) 时, ( x ) ? 1 得 3 x ? 2 ax ? a ? 1 ? 0 , ? 4 a ? 12( a ? 1) ? 12 ? 8 a
2 2

2

当a ? ?
6 2

6 2

或a ?

6 2

时, ? ? 0, x ? ( a , ? ? ) ;
? a? 3 ? 2a 3
2

当?

? a ?

6 2

时,△ >0,得: ? ( x ? ?

)( x ?

a?

3 ? 2a 3

2

)? 0

?x ? a ?

讨论得:当 a ? (

2 2

,

6 2

) 时,解集为 ( a , ? ? ) ;

当 a ? (?

6 2

,?

2 2

) 时,解集为 ( a ,

a?

3 ? 2a 3

2

]?[

a?

3 ? 2a 3

2

, ?? ) ;

当 a ? [?

2 2

,

2 2

] 时,解集为 [

a?

3 ? 2a 3

2

, ?? ) .


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