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高中数学选修综合测试题


高二数学选修 1—1 综合测试题
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、已知命题 p 、 q ,如果 ? p 是 ? q 的充分而不必要条件,那么 q 是 p 的( ( A )必要不充分条件
0



( B )充分不必要条件

( C )充要条件 ( D )既不充分也不必要


2、命题“若 ?C ? 90 ,则 ?ABC 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四 个命题中,真命题的个数是( ( A ) 0 ( B ) 1 ) ( C ) 2 ( D ) 3

3、一动圆的圆心在抛物线 ( )

y 2 ? 8x 上,切动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则动圆必定过点
( C ) (0,2) ( D ) (0,-2)

( A )(4,0) 4、抛物线 是( ( A ) 4

( B ) (2,0)

y 2 ? 2 px 上一点 Q (6, y0 ) ,且知 Q 点到焦点的距离为 10,则焦点到准线的距离
) ( B ) 8 ( C ) 12 ( D ) 16 )

5、中心点在原点,准线方程为 x ? ?4 ,离心率为

1 的椭圆方程是( 2

x2 y2 ? ?1 ( A ) 4 3
( C )

x2 y2 ? ?1 ( B ) 3 4
( D )

x2 ? y2 ? 1 4

x2 ?

y2 ?1 4


x2 y2 6、若方程 2 ? ? 1 表示准线平行于 x 轴的椭圆,则 m 的范围是( m (m ? 1) 2
( A ) m?

1 2

(B) m?

1 2

(C) m?

1 且m ?1 2

(D) m?

1 且m ? 0 2


7、 设过抛物线的焦点 F 的弦为 PQ , 则以 PQ 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系 ( ( A ) 相交 8、如果方程 ( B )相切 ( C ) 相离 ( D ) 以上答案均有可能 )

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,那么实数 m 的取值范围是( | m | ?1 m ? 2
( B ) m ? 1或 m ? 2 ( D ) ? 1 ? m ? 1或 m ? 2 )

( A )m ? 2 ( C ) ?1 ? m ? 2

9、已知直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 相切,则 k 的值为( ( A )

e

( B )

?e

( C )

1 e

( D )

?

1 e


10、已知两条曲线

y ? x 2 ? 1 与 y ? 1 ? x 3 在点 x0 处的切线平行,则 x0 的值为(

( A ) 0 11、已知抛物线 x
2

( B ) ?

2 3

( C ) 0 或 ?

2 3

( D )

0 或 1

? y ? 1 上一定点 A(?1,0) 和两动点 P 、Q ,当 PA ? PQ 时,,点 Q 的
) ( B ) [1,??) ( C ) [ ?3,?1] ( D ) (??,?3] ? [1,??) )

横坐标的取值范围( ( A ) (??,?3] 12、过双曲线 x
2

? y 2 ? 1 的右焦点且与右支有两个交点的直线,其倾斜角范围是(
( B ) (

( A ) [0, ? ) ( C )

? ?
?

? 3? ( , ) 4 4

? 3? , )?( , ) 4 2 2 4
) ? ( ,? ) 2 2
。 。

( D ) (0,

?

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分) 13、命题“a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是 14、抛物线 y
2

? 4 x 上一点 A 到点 B(3,2) 与焦点的距离之和最小,则点 A 的坐标为

15、双曲线 最小值为

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 e1 ,双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 e2 ,则 e1 ? e2 的 a2 b b a


16、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 , (a ? b ? 0) , A 为左顶点, B 为短轴端点, F 为右焦点, a2 b2


且 AB ? BF ,则这个椭圆的离心率等于 二、 解答题 (17~21 每小题 12 分,22 题 14 分) 17、已知抛物线

y ? ax2 ? bx ? c 通过点 A(1,1) ,且在 B(2,?1) 处与直线 y ? x ? 3 相切,

求 a 、 b 、 c 的值。

18、点 M ( x, y ) 为抛物线

y 2 ? 4 x 上的动点, A(a,0) 为定点,求 | MA | 的最小值。

19、已知椭圆的中心在原点,它在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,切此焦点 和 x 轴上的较近端点的距离为 4(

2 ? 1) ,求椭圆方程。

20、讨论直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : x

2

? y 2 ? 1 的公共点的个数。

21、 在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上任取一点 M , M 作以 过 当 M 在什么位置时,所作椭圆长轴最短?并求此椭圆方程。

F1 (?3,0), F2 (3,0) 为焦点的椭圆,

22、如图,由

y ? 0, x ? 8, y ? x 2 围城的曲边三角形,在曲线 OB 弧上求一点 M ,使得过

M 所作的 y ? x 2 的切线 PQ 与 OA, AB 围城的三角形 PQA 的面积最大。
B Q M X O P A

Y

附参考答案
一、选择题 1、B , 9、C , 三、 填空题 13、若 a+b 不是偶数,则 a、b 都不是偶数。 14、(1,2) 15、 2 2、B, 10、 C 3、B , , 4、B , 5、C, 6、D , 7、 B , 8、D , 11、 D, 12、 C

2

b2 a2 解: M ? e1 ? e2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 a b M2 ? 2? b2 a2 b2 a2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2? 2 ? 8 a2 b a b
M ?2 2

16、

5 ?1 2
BO 为直角三角形 ABF 斜边上的高,则 BO2 ? AO ? FO
2

解:

即 b ? ac 四、 解答题

a 2 ? c 2 ? ac 解得

c 5 ?1 ? a 2

17、解: y' ? 2ax ? b 则

y'| x?2 ? 4a ? b ? 1 ????????????①

又抛物线过点 A(1,1) 则 a ? b ? c ? 1 ??????② 点 B(2,?1) 在抛物线上 4a ? 2b ? c ? ?1 ????③

, 解①②③得 a ? 3, b ? ?11 c ? 9
18 解:解:

y 2 ? 4x

2p ? 4

p ?1 2

Y M(x,y) o F A(a,0) X

| MA |?

( x ? a)2 ? y 2

? x 2 ? 2ax ? 4x ? a 2
?

?x ? (a ? 2)?2 ? 4a ? 4
a?2

根号下可看作关于 x 的二次函数,这里 x ? 0

若a ? 2 ? 0

x ? a ? 2 时, | MA |min ? 4a ? 4
若 a ? 2 ? 0 , a ? 2 时, | MA | min ?| a |

19 解:设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 , (a ? b ? 0) a2 b2
?a ? 4 2 ? c?4

根据题意 ? c

? a ? c ? 4( 2 ? 1) ? 2 0 ? a ? cos 45 ? 2 ?
x2 y2 ? ?1 32 16

解得 ?

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 16

椭圆的方程为

20、解:解方程组 ?

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

消去 y 得
2

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0
x ? ?1

当 1 ? k ? 0 , k ? ?1 时 当1 ? k
2

? 0, k ? ?1 时
2

? ? (?2k ) 2 ? 4 ? 2(1 ? k 2 ) ? 8 ? 4k 2


由 ? ? 0 8 ? 4k ? 0 由? ? 0 由? ? 0 综上知 :

? 2?k? 2 ?? 2

8 ? 4k 2 ? 0

得k

8 ? 4k 2 ? 0 得 k ? ? 2 或 k ? 2

k ? (? 2,?1) ? (?1,1) ? (1, 2 ) 时,直线 l 与曲线 C 有两个交点,

k ? ? 2 时,直线 l 与曲线 C 切于一点, k ? ?1 时,直线 l 与曲线 C 交于一点。
21、 分析:因为

| MF1 | ? | MF2 |? 2a ,即问题转化为在直线上求一点 M ,使 M 到

F1 , F2 的距离的和最小,求出 F1 关于 l 的对称点 F ,即求 M 到 F 、 F2 的和最小, FF2 的
长就是所求的最小值。 解:设 F1 (?3,0) 关于 l : x ? y ? 9 ? 0 的对称点 F ( x, y)

?x ?3 y ? ?9 ? 0 ? ? x ? ?9 2 则? 2 ?? y?0 ? y?6 ? ? ?1 ? x?3

y M F M F1


L

O F2

X

F (?9,6) ,连 F2 F 交 l 于 M ,点 M 即为所求。
1 F2 F : y ? ? ( x ? 3) 即 x ? 2 y ? 3 ? 0 2

解方程组 ?
'

?x ? 2 y ? 3 ? 0

? x ? ?5 ?? ?y?4 ? x? y?9 ? 0
'

M (?5,4)

当点 M 取异于 M 的点时, | FM

| ? | M ' F2 |?| FF2 | 。
(?9 ? 3) 2 ? 6 2 ? 6 5

满足题意的椭圆的长轴 2a ?| FF2 |? 所以

a?3 5

c?3

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 45 ? 9 ? 36

椭圆的方程为:

x2 y2 ? ?1 45 36

22、解: 设 则 即k

M ( x0 , y 0 )

PQ : y ? k ( x ? x0 ) ? y0

2 y0 ? x0 , y' ? 2x | x? x0 ? 2x0

? 2x0

所以 y

? 2x0 ( x ? x0 ) ? y0
? x0 ? y0 ? 2 x0 2 x0
P( x0 ,0) 2

令y?0

则x

令x ?8

则y

2 ? 16x0 ? x0

2 Q(8,16x0 ? x0 )

S ? S ?PAQ ?

x 1 3 1 2 2 (8 ? 0 )(16x0 ? x0 ) ? 64 x 0 ? 8 x 0 ? x 0 4 2 2
3 2 x0 4
16 3

S ' ? 64 ? 16 x0 ?
令 S '? 0 ,则 x0 即当 x 0 ?

? 16 (舍去)或 x 0 ?

16 4096 S max ? 时 3 27 16 256 16 256 y0 ? ( ) 2 ? M( , ) 3 9 3 9


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