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高一数学必修1第二章单元测试题


高一数学必修 1 第二章单元测试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 60 分). 1.已知 p>q>1,0<a<1,则下列各式中正确的是 ( ) A. a p ? a q 2.已知 f ( x) ? B. p a ? q a C. a ? p ? a ? q

D. p ? a ? q ? a ( )

ax ? b 2x ? 5 (a,b,c是常数)的反函数 f ?1 ( x) ? ,则 x?c x ?3
B.a=3,b=-2,c=5 D.a=2,b=-5,c=3

A.a=3,b=5,c=-2 C.a=2,b=3,c=5

3.函数 y ? log a x 当 x>2 时恒有 y >1,则 a 的取值范围是 A.





1 ? a ? 2且a ? 1 2

C. 1 ? a ? 2 4.函数 f(x)的图象与函数 g(x)=( A.(- ? ,1) 5.函数 y=

1 或1 ? a ? 2 2 1 D. a ? 1或0 ? a ? 2
B.0 ? a ?

1 x ) 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(2x-x2 )的单调减区间为 2
( ) ) C.(0,1) D.[1,2] ( C.(?1,0) D.[?1,0]

x ?1 ,x?(0,1)的值域是 x ?1

B.[1,+ ? ]

A. [ ?1,0)

B.(?1,0 ]

6. 设g(x)为R上不恒等于0的奇函数, f ( x) ? ? 则常数b的值为 A.2
x

1? ? 1 ? ? g ( x) (a>0且a≠1)为偶函数, x ? a ?1 b ?
( )

B.1
1 3

C.

1 2

D.与a有关的值

7.设f(x)=a ,g(x)=x ,h(x)=loga x,a满足loga (1-a2 )>0,那么当x>1时必有 A.h(x)<g(x)<f(x) C.f(x)<g(x)<h(x) 8.函数 y ? B.h(x)<f(x)<g(x) D.f(x)<h(x)<g(x)





a2 ? x2 (a>0)的定义域是 x ?x
B.[-a,0]∪(0,a) D.[-a,0]





A.[-a,a] C.(0,a) 9.lgx+lgy=2lg(x-2y),则 log 2 A.{1}

x 的值的集合是 y
C.{1,0} D.{2,0}





B.{2}

10.函数 y ?

x x

? x 的图象是





11. f(x) 设 =lg(10x+1)+ax 是偶函数, (x) g =

4x ? b 是奇函数, 那么 a+b 的值为 ( 2x



A. 1

B.-1

C.-

1 2

D.

1 2
( )

12.函数 f(x)=loga x ? 1 ,在(-1,0)上有 f(x)>0,那么 A.f(x)(- ? ,0)上是增函数 B.f(x)在(- ? ,0)上是减函数 C.f(x)在(- ? ,-1)上是增函数 D.f(x)在(- ? ,-1)上是减函数 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 4 分,共 16 分).

13. 按以下法则建立函数f(x): 对于任何实数x, 函数f(x)的值都是3-x与x -4x+3中的最大者, 则函数f(x)的最小值等于 . 14 已知定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x>0 时, f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 ,那么 x<0 时, f(x)= .

2

ax ? 1 在区间(-2,+ ? )上是增函数,则 a 的取值范围是 x?2 16.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出四个命题:
15.13.若 f(x)= ① c ? 0 时,有 f (? x) ? ? f ( x) 成立; ② b ? 0, c ﹥0 时,方程 f ( x) ? 0 ,只有一个实数根; ③ y ? f (x) 的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f ( x) ? 0 ,至多有两个实数根. 上述四个命题中所有正确的命题序号是 。

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 74 分). 17.(12分)已知 log 32 9 ? p, log 27 25 ? q ,试用p,q表示lg5.

18.(12 分)设函数 f ( x) ? 2 x ?

a ? 1 (a 为实数) 2x

(1)当 a=0 时,若函数 y ? g ( x) 的图象与 f ( x) 的图象关于直线 x=1 对称,求函数

y ? g ( x) 的解析式;
(2)当a<0时,求关于x的方程 f ( x) =0在实数集R上的解.

19. (12 分) 已知函数 y ? b ? a ymin =

x2 ?2 x

(a、 是常数且 a>0, b a≠1)在区间[-

3 , 0]上有 ymax=3, 2

5 ,试求 a 和 b 的值. 2

20.(12分)已知函数f(x)=lg(a x2 +2x+1) (1)若f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围及f(x)的值域; (2)若f(x)的值域是R,求实数a的取值范围及f(x)的定义域.

21.(14分)某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是

?t ? 20, p?? ??t ? 100,

0 ? t ? 25, t ? N , 25 ? t ? 30, t ? N .

该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数

关系是 Q ? ?t ? 40 (0 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日 销售金额最大的一天是30天中的第几天?

22.(14分)已知函数f(x)是 y ?

2 10 ? 1
x

? 1 (x ? R)的反函数,函数g(x)的图象与函数

y??

1 的图象关于直线x=-2成轴对称图形,设F(x)=f(x)+g (x). x?2

(1)求函数F(x)的解析式及定义域; (2)试问在函数 F(x)的图象上是否存在两个不同的点 A,B,使直线 AB 恰好与 y 轴垂直? 若存在,求出 A,B 坐标;若不存在,说明理由.

参考答案
一、BAACD 二、13.0; 三、 17. 解: p ?
2 q 3 3 2 q? 2 5p

CBDBDDC 14. ?

x2 ? x ?1;

15.a>

1 2

16.①②③;

log 3 5 log 3 5 2 2 ? log 2 3, q ? log 3 5 , lg5= 5 3 log 3 10 log 3 5 ? log 3 2
15 pq . 15 pq ? 4

?

?

118.解:(1)当 a=0 时, 设

f ( x) ? 2 x ? 1

y ? g ( x) 图像上任意一点 P(x、y),则 P 关于 x=1 的对称点为 P/(2-x,y) f ( x) 图像上,所以, y ? 22? x ? 1 ,即 g ( x) ? 22? x ? 1 ;

由题意 P/(2-x,y)在 (2)

f ( x) ? 0 ,即 2 x ?

a ? 1 ? 0 ,整理,得: (2 x ) 2 ? 2 x ? a ? 0 x 2
1 ? 4a >1


所以 2 x ? 1 ? 1 ? 4a ,又 a<0,所以

2 2

所以 2 x ? 1 ? 1 ? 4a ,从而 x ? log 1 ? 1 ? 4a 2

2

19.解:令 u=x2+2x=(x+1)2-1

x∈[-

3 ,0] 2

∴当 x=-1 时,umin=-1

当 x=0 时,umax=0

?b ? a 0 ? 3 ?a ? 2 ? 1)当a ? 1时? 5 解得? ?1 ?b ? 2 ?b ? a ? 2 ? ? ?b ? a ?1 ? 3 ?a ? ? ? 2)当0 ? a ? 1时? 5 解得? 0 ?b ? a ? ?b ? 2 ? ? ? 2 ? a? ?a ? 2 ? ? 3 综上得? 或? . b?2 ? 3 ? ?b ? 2 ? 2 3 2 2

2 20.解:(1)因为f(x)的定义域为R,所以ax +2x+1>0对一切x? R成立.

由此得 ?

?a ? 0, 解得a>1. ?? ? 4 ? 4a ? 0,

2 又因为ax +2x+1=a(x+

1 a

)+1-

1 a

>0,

2 所以f(x)=lg(a x +2x+1)

? lg(1- 1 ),所以实数a的取值范围是(1,+ ? ) , a

f(x)的值域是 ?lg ?1 ? 1 ?,?? ? ? ? ? a? ? ? ? ? ?

2 ( 2 ) 因为f(x)的值域是R,所以u=ax +2x+1的值域 ? (0, + ? ). 当a=0时,u=2x+1的值域为R ? (0, + ? ); 2 ?a ? 0, 当a≠0时,u=ax +2x+1的值域 ? (0, + ? )等价于 ? ? 4a ? 4 ? 4 a ? 0. ? 解之得0<a ? 1. 所以实数a的取值范围是[0.1] 当a=0时,由2x+1>0得x>-

1 2

,

f (x)的定义域是(-

1 ? ,+ ); 2

2 当0<a ? 1时,由ax +2x+1>0

解得 x ? ? 1 ? 1 ? a 或x ? ? 1 ? 1 ? a

a

a

? ? ? ? f (x)的定义域是 ? ? ?,? 1 ? 1 ? a ? ? ? ? 1 ? 1 ? a ,?? ? . ? ? a ? ? ? ? a ? ?
21.解:设日销售金额为 y(元),则 y=p ? Q.

? ?t 2 ? 20t ? 800, ? ?y ?? 2 ?t ? 140t ? 4000, ?
??(t ? 10) 2 ? 900, ? ?? 2 ?(t ? 70) ? 900, ?
当0 ? t 当 25

0 ? t ? 2 5t ? N , , 2 5? t ? 3 0t, ? N .

0 ? t ? 2 5t ? N , , 2 5? t ? 3 0t, ? N .

? 25, t ? N ,t=10 时, y max ? 900 (元);

? t ? 30, t ? N ,t=25 时, y max ? 1125 (元).
(2)设F(x)上不同的两点A(x1,y2),B(x1 y2),-1< x1< x2<1

由1125>900,知ymax =1125(元),且第25天,日销售额最大. 22.解:(1)F(x)定义域为(-1,1) 则y1-y2 =F(x1)-F(x2)= lg

1 ? x1 1 ? x2 1 1 ? ? lg ? ? 1 ? x1 x1 ? 2 1 ? x2 x2 ? 2
? x 2 ? x1 . ?? ? ( x ? 2)( x ? 2) 1 2 ?

? 1 ? x1 1 ? x 2 lg ? ?1? x ? 1? x 1 2 ?

? ? 1 1 ? = ? 1 ? x 2 1 ? x1 ??? ? ? x ? 2 ? x ? 2 ? lg ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 1 2 ? ? 1 ? ?

由-1< x1< x2<1



1 ? x2 1 ? x1 ? 1, ? 1, x 2 ? x1 ? 0, ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? 0, 1 ? x1 1 ? x2
? x 2 ? x1 ? ? 0, ? 0, y1> y2, ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ?

所以 lg ?

? 1 ? x 2 1 ? x1 ? 1? x ?1? x 1 2 ?

即F(x)是(-1,1)上的单调减函数, 故不存在A,B两点,使AB与y轴垂直.


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