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黄浦区2009学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷(理科)


学年度第一学期期末教学质量检测 黄浦区 2009 学年度第一学期

高三数学试卷 理科) 高三数学试卷(理科 数学试卷 理科
(2010 年 1 月 20 日) 考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写 在试卷上的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共

23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 本大题满分 本大题共 考生应在答题卷 一.填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的 填空题 本大题 否则一律得零分. 空格内直接填写结果, 空格内直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. a?x 的反函数是y = f ?1 ( x),且点(2,在 y = f 1) 1.已知函数 f ( x) = x ? a ?1 . 像上,则实数 a =
?1

( x) 的图

2.已知a、b ∈ R,非零向量α = (2a + 1,a + b)与β = (?2,) 平行,则 a、b 满足 0 的条件是 .

3.已知随机事件 A、B 是互斥事件,若 P ( A) = 0.25,P ( B ) = 0.18 ,
则 P( A ∪ B) = 4.不等式 | . . .

x +1 |≥ 1 的解集是 x ?1
x

5.方程 log 3 (9 ? 4) = x + 1 的解 x =

6.已知角 α ( 0 < α < π )的顶点在原点,始边与 x 轴正半轴重合,点 P (?4, 是 3) 角 α 终边上一点,则 cos

α
2

=

. . f (n 2 ) = n →∞ [ f ( n)] 2 .

7.方程 cos x + 3 sin x = 1 的解集是 8. 若f (n) = 1 + 2 + 3 + ? + n(n ∈ N ? ),则 lim

【1】

?a1 x + b1 y = c1 9. 下面是用行列式解二元一次方程组 ? 的程序框图, 请在(1)、 (2)、 ?a 2 x + b2 y = c 2
(3)处分别填上合适的指令.

10.如图 1 所示,点 A、B 是单位圆(圆心在原点,半径为 1 的圆)上两点,OA、 OB 与 x 轴正半轴所成的角分别为 α和 ? β .

记OA = (cos α, α ), = (cos(? β ), ? β )), sin OB sin( 用两种方法计算 OA ? OB 后,利
用等量代换可以得到的等式是 .

【2】

11.在 ?ABC中,AC = 3cm,BC = 4cm,AB = 5cm ,现以 BC 边所在的直线为
轴把 ?ABC (及其内部)旋转一周后,所得几何体的全面积是
cm 2 .

12.掷一枚质地均匀的硬币可能出现图案向上,也可能出现文字向上.现将一 枚质地均匀的硬币连续掷 3 次, 若用随机变量ξ表示 3 次中出现图案向上的次数

,则数学期望Eξ =

. .

13.给出下列 4 个命题,其中正确命题的序号是

(1)在大量的试验中,事件 A 出现的频率可以作为事件 A 出现的概率的估计值; (2)样本标准差 S = 准差的点估计值;

( x1 ? x ) 2 + ( x 2 ? x ) 2 + ? + ( x n ? x ) 2 (n ≥ 2) 可以作为总体标 n ?1

(3)随机抽样就是使得总体中每一个个体都有同样的可能性被选入样本的一种
抽样方法;

(4)分层抽样就是把总体分成若干部分,然后在每个部分指定某些个体作为样本
的一种抽样方法.

14.已知数列 {a n }满足a1 = m(m是正整数),a n +1

? an (a ?   n的值是偶数) =?2 , ?3a ? 1(a 的值是奇数) n ? n .

若 a 4 = 2,则m的所有可能的值是

本大题满分 本大题共 有且只有一个正确答案, 正确答案 二.选择题(本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考 生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得 生应在答题卷 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑, 零分. 零分. 15. 已知 a、x ∈ R,且a ≠ 0,则“x ∈ {? a,a} ”是“| x |= a”成立的 A.充要条件. C.必要非充分条件. B.充分非必要条件. D.非充分非必要条件.
x?2?2 的解 2⊕ x [答]( )

[答](

)

16. 定义两种运算 a ⊕ b = a 2 ? b 2 ,a ? b =| a ? b | ,则函数f ( x) =
析式是

【3】

A. f ( x) =

x 4 ? x2 x x ?4
2

,x ∈ (?2,) . B. f ( x) = ? 2

x 4 ? x2

,x ∈ (?2,) . 2

C. f ( x) =

,x ∈ (?∞, 2) ∪ (2, ∞) . ? +

D. f ( x) = ?

x x ?4
2

,x ∈ (?∞, 2) ∪ (2, ∞) . ? +

17.在空间中,给出下列 4 个命题(其中 a、b、c 表示直线, β 表示平面),则正
确命题的序号是

[答](

)

(1)三个点确定一个平面; (2)若 a || c,b || c,则a || b; (3)在空间中,若角 θ1与角θ 2 的两边分别平行,则 θ1 = θ 2 ; (4)若 a

⊥ b,a ⊥ c,b、c ? β,则a ⊥ β . ≠
B.(2). C.(2)、(3). D.(2)、(3)、(4).

A.(1)、(2)、(4).

? 1    ≠ 1) (x ? ,若关于x的方程f 2 ( x) + bf ( x) + c = 0 有且 18.已知函数 f ( x) = ?| x ? 1 | ?1     = 1) (x ?
2 2 仅有 3 个实数根 x1、x 2、x3,则x12 + x 2 + x3 =

[答]( D. 2c 2 + 2 . c2

)

A.5.

B.

2b 2 + 2 . b2

C . 3.

本大题满分 本大题共 解答下列各题必须在答题 必须在答题卷 三.解答题(本大题满分 78 分) 本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相 应编号规定区域内写出必要的步骤. 应编号规定区域内写出必要的步骤. 写出必要的步骤

【4】

19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. .本 本题共有 个小题,
如图 3 所示, 已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 , = 3,AB = AA1 = 4 , 是 A1 B1 AD M 的中点. (1)求 BM与平面ACD1 所成的角; (2)求点 M 到平面 A CD1 的距离.

20.(本题满分 14 分) . 本题满分
在?ABC中,A > B > C,且A = 2C,b = 4,a 2 ? c 2 = 64 ,求a、c的值. 5

21.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分. . 个小题,
已知 a、b 是正整数,函数 f ( x) = ax +
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在 (?1,] 上的单调性,并用单调性定义证明你的结论. 0

2 ( x ≠ ?b) 的图像经过点 (1, . 3) x+b

【5】

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分, . 本题满分 本题共有 个小题,
第 3 小题满分 5 分. 某生产旅游纪念品的工厂,拟在 2010 年度将进行系列促销活动.经市场调查和 测算,该纪念品的年销售量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比 例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有 1 万件.已知工厂 2010 年生产纪念 品的固定投资为 3 万元,每生产 1 万件纪念品另外需要投资 32 万元.当工厂把每 件纪念品的售价定为: “年平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占促销费 一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用) (1)求出 x 与 t 所满足的关系式; (2)请把该工厂 2010 年的年利润 y 万元表示成促销费 t 万元的函数; (3)试问:当 2010 年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分, . 本题满分 本题共有 个小题,
第 3 小题满分 6 分. 已知数列 {a n }满足a1 = 1,a n +1 = 2a n + 2 n (n ∈ N ? ). ?a ? (1)证明数列 ? n ?是等差数列,并求出数列{a n } 的通项公式a n; n ?2 ?
0 1 2 n (2)求 等 差 数 列 {bn }(n ∈ N ? ),使b1C n + b2 C n + b3 C n + ? + bn +1C n = a n +1 对 n ∈ N ?

都成立; (3) 令c n = nbn (n ∈ N ? ),是否存在正常数M,使
c c1 c 2 c3 + + +?+ n < M a1 a 2 a3 an

对n ∈ N ? 恒成立, 并证明你的结论.

【6】


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