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绵阳市高2014届数学第一次诊断考试(文科)含答案


保密 ★ 启用前 【考试时间:2013 年 11 月 1 日 15:00—17:00】

绵阳市高中 2014 届第一次诊断性考试

数 学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答

题前,考生务必将自己的姓名.考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在 答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸.试题卷上答题无效. 3.考试结束后,将答题卡收回.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A=[2,4],集合 B=[1,4],则 BA= A.[1,2] C. ?1,2? B.{1,2}
2 D. ?1 , ?

2.对于非零向量 a,b, // b”是“a+b=0”的 “a A.充分不必要条件 C.充要条件 3.下列不等式中,正确的是 A.sin1< sin1? C.sinπ? cosπ < B.cos1 > cos1? D.sinπ < cosπ?
数学(文科)试题第 1 页(共 9 页)

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4.若命题“p ? q”是假命题,则 A.p ? q 为假命题 C.( ? p) ? ( ? q)为假命题 B.p ? q 为真命题 D.( ? p) ? ( ? q)为真命题

5.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 b 的夹角为 A.0 B.

? 2

C.

? 3

D.π

6.已知 tanα= 3 ,π<α< A.
?1? 3 2

3 π,则 cosα-sinα= 2
?1? 3 2

B.

C.

1? 3 2

D.

1? 3 2

7.已知函数 f (x)= ka x ? a ? x (a>0,且 a≠1)在 R 上是奇函数,且是增函数,则函 数 g(x)=loga(x-k)的大致图象是
y y y y

O

1

2

x

-1

O 1

x

O

1 2

x

-1 O

1

x

A.

B.

C.

D.

8.已知正实数 a,b 满足 lna+lnb=ln(a+b),则 4a+b 的最小值为 A.1 B.4 C.9 D.10

9.已知 ?,? 都是锐角,且 cos ? ? A.2 B. ?
2 11

5 4 , sin(? ? ? ) ? ,则 tan ? 为 5 5

2 2 或2 D. 或-2 11 11 ???? ??? ? ??? ? 1 10.已知 O 为△ABC 的外心, cos A ? ,若 AO ? ? AB ? ? AC ,则 ? ? ? 的最 3

C. ?

大值为 A.
1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

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第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a5=__________. 12.化简: a ? 3 a 2 (其中 a>0)=_________(用分数指数幂表示) .
? x ? y ? 1 ? 0, ? 13.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, z=2x+y 的最大值为________. 则 ? y ? 1, ?

14.已知 f (x)是 R 上的减函数,A(3,-1),B(0,1)是其图象上两个点,则不等 式| f (1+lnx)|<1 的解集是__________. 15.已知函数 f (x)=m(x-m)(x-m-1),g(x)= 2 ? x -1,若命题 p: ? x∈(3,+∞), f (x)g(x)≤0 为假命题,则实数 m 的取值范围为__________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演 算步骤. 16. (本题满分 12 分)

? 设函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) cos x . 3
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;

? (Ⅱ)讨论 f ( x) 在 [0, ] 上单调性. 2
17. (本题满分 12 分) 已知{an}为等差数列,且 a4=14,a5+a8=48. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 是等比数列{bn}的前 n 项和,若 b1=a1,且 3S1,2S2,S3 成等差 数列,求 S4. 18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?
a ? 2. x

(Ⅰ) 若函数 f ( x) 的图象在 (1,f (1)) 处的切线方程为 y=2x+b, a,b 的值; 求 (Ⅱ)若 f ( x) ≥0 对任意 x>0 恒成立,求 a 的最小值.
数学(文科)试题第 3 页(共 9 页)

19. (本题满分 12 分) 安通驾校拟围着一座山修建一条环形训 练道路 OASBCD,道路的平面图如图所 示(单位:km) ,已知曲线段 ASB 为函 A 数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,0<ω<1,|φ|<
S B C 1 3 D x y

? ), 2

x∈[0,3]的图象,且最高点为 S(1,2), O

折线段 AOD 为固定线路, 其中 AO= 3 , OD=4, 折线段 BCD 为可变线路, 但为保证驾驶安全,限定∠BCD=120?. (Ⅰ)求 A,ω,φ 的值; (Ⅱ)应如何设计,才能使折线段道路 BCD 最长? 20. (本题满分 13 分) 已知函数 f (x)=x2+bx+2,g(x)=|x2-1|,x∈R. (Ⅰ)若函数 f (x)满足 f (1+x)= f (2-x),求使不等式 f (x)≥g(x)成立的 x 的 取值集合; (Ⅱ)若函数 h(x)= f (x)+g(x)+2 在(0,2)上有两个不同的零点 x1,x2,求实 数 b 的取值范围. 21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? ax . (Ⅰ)若 a<0,求 f (x)在[-2,0]上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f (x)恰有两个不同的极值点 x1,x2,x1<x2. ① 证明 x1<ln2; ② 求 f (x1)的最小值,并指出此时 a 的值.

数学(文科)试题第 4 页(共 9 页)

绵阳市高 2014 届第一次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBDDB AACAD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.9 14. 12. 15.m<0 或 m>2 13.5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16.解: (I)

,?????????????????6 分 ∴ ,即 f(x)的最小正周期为π . ?????????????7 分

(II)由 ≤ ≤ ,可得 ≤ ≤ ,k∈Z, 由 ≤ ≤ ,可得 ≤ ≤ ,k∈Z, 即函数 f(x)的单调递减区间为 ,k∈Z, 单调递增区间为 ,k∈Z, ∴ f (x)在[ ]上是减函数,在[ ]上是增函数. 17.解: (I)设{an}的公差为 d,则由题知 解得 a1=2,d=4. ??????????????4 分 ∴an=2+4(n-1)=4n-2.??????????????????????6 分 (II)设{bn}的公比为 q, 若 q=1,则 S1=b1,S2=2b1,S3=3b1, 由已知 ,代入得 8b1=4b1,而 b1≠0,故 q=1 不合题意. ????????????????? ?????7 分
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??????12 分

若 q≠1,则 S1=b1, , , 于是 整理得:4q2=3q+q3,解得 q=0(舍去) ,q=1(舍去) ,q=3, ∴ . ?????????????????????12 分 ???10 分

18.解: (I)∵ , ∴ 由题意知 ,即 1-a=2,解得 a=-1. 于是 f(1)=-1-2=-3, ∴ -3=2×1+b,解得 b=-5. ???????????????????6 分

(II)由题知 ≥0 对任意 x>0 恒成立,即 a≥ , 令 ∴ , . ??????????????????8 分

显然当 0<x<e 时, ,即得 g(x)在(0,e)上是增函数, 当 x≥e 时, ≤0,即得 g(x)在 上是减函数. ∴ .

∴ a≥e,即 a 的最小值为 e.??????????????????12 分 19.解: (I)由已知 A=2, 且有 ,即 , 由| |< 得 . 又∵ 最高点为(1,2), ∴ ∴ 解得 . .??????????????????????6 分

(II)∵ B 点的横坐标为 3,代入函数解析式得 =1, ∴ .???????????????????8 分

在△BCD 中,设∠CBD=θ ,则∠BDC=180?-120?-θ =60?-θ . 由正弦定理有 , ∴ ∴
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, , ?????????????9 分

. ∴ 当且仅当 时,折线段 BCD 最长,最长为 千米.?????12 分 20.解: (I)由于 f(1+x)=f(2-x)知函数 f(x)关于 对称, 即 ,解得 b=-3,于是 f(x)=x2-3x+2.????????????3 分 当 x≤-1,或 x≥1 时,由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥x2-1,解得 x≤1, ∴ 此时 x 的范围为 x≤-1,或 x=1. 当-1<x<1 时,由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥1-x2,解得 x≤ 或 x≥1, ∴ 此时 x 的范围为-1<x≤ . ∴ 综上知,使不等式 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|x≤ 或 x=1}. ???????????????????? ????7 分 (II) 若 b=0 时, 显然 h(x)>0 恒成立,不满足条件. ?????????????????????? ???9 分 若 b≠0 时,函数 (x)=bx+5 在(0,1)上是单调函数, 即 (x)在(0,1)上至多一个零点,不妨设 0<x1<x2<2. ①如果 0<x1<1,1≤x2<2 时,则 ,且 ≤0,即 解得 ≤ . 经检验 时, 的零点为 ,2(舍去) ,∴ < . ②若 1≤x1<x2<2 时, 即 得:-5≤ . ∴ 综上所述 b 的取值范围为 . ???????????12 分 21.解: (I)∵ ,

∴ 当 x∈[-2,0]时, ,即 f (x)在[-2,0]上是增函数,
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. ??????????????????????4 分

(II)∵ 函数 f(x)恰有两个不同的极值点 x1,x2, ∴ 方程 ex-2x-a=0 有两个不同的零点 x1,x2. 令 h(x)=ex-2x-a. ① , 当 时, ,h(x)是减函数; 当 时, (x)>0,h(x)是增函数, ∴ 在 x=ln2 时取得最小值.

∴ x1<ln2.???????????????????????????9 分 ②∵ h(x1)=0,即 , ∴ .

于是 , ∴ .

∵ x1<ln2, ∴ .

∴ 当 x1<0 时, ,f(x1)是减函数; 当 0≤x1<ln2 时, , 是增函数. ∴ f (x1)在(-∞,ln2)上的最小值为 f(0)=1,此时 a=1.???????14 分

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