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1981年全国统一高考数学试卷(理科)


1981 年全国统一高考数学试卷(理科) 一、解答题(共 10 小题,满分 120 分) 1. 分)设 A 表示有理数的集合,B 表示无理数的集合,即设 A={有理数},B={无理数},试写出: (6 (1)A∪ (2)A∩B. B, 2. 分)在 A、B、C、D 四位候选人中, (6 (1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所 有可能的选举结果; (2)如果选举班委三

人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果. 3. 分)下表所列各小题中,指出 A 是 B 的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不 (8 是.

4. (10 分)写出余弦定理(只写一个公式即可) ,并加以证明.

5. (10 分)解不等式(x 为未知数) :



6. (10 分)用数学归纳法证明等式

对一切自然数 n 都成立.

7. (16 分)设 1980 年底我国人口以 10 亿计算. (1)如果我国人口每年比上年平均递增 2%,那么到 2000 年底将达到多少?

(2)要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?

8. (17 分)在 120° 的二面角 P﹣a﹣Q 的两个面 P 和 Q 内,分别有点 A 和点 B 已知点 A 和点 B 到棱 a 的距离分别为 2 和 4,且线段 AB=10, (1)求直线 AB 和棱 a 所成的角; (2)求直线 AB 和平面 Q 所成的角.

9. (17 分)给定双曲线



(1)过点 A(2,1)的直线 L 与所给的双曲线交于两点 P1 及 P2,求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方程. (2)过点 B(1,1)能否作直线 m,使 m 与所给双曲线交于两点 Q1 及 Q2,且点 B 是线段 Q1Q2 的 中点?这样的直线 m 如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. 10. (20 分)已知以 AB 为直径的半圆有一个内接正方形 CDEF,其边长为 1(如图)设 AC=a,BC=b, 作数列 u1=a﹣b,u2=a2﹣ab+b2,u3=a3﹣a2b+ab2﹣b3,…,uk=ak﹣ak﹣1b+ak﹣2b2﹣…+(﹣1)kbk; 求证:un=un﹣1+un﹣2(n≥3) .

1981 年全国统一高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、解答题(共 10 小题,满分 120 分) 1. 分)设 A 表示有理数的集合,B 表示无理数的集合,即设 A={有理数},B={无理数},试写出: (6 (1)A∪ (2)A∩B. B, 考点: 分析: 解答:

点评:

交集及其运算;并集及其运算. 根据实数可分为有理数、无理数两大类,可得 A∪ B,又由有理数、无理数的定义,可得 A∩B. 解: (1)根据实数可分为有理数、无理数两大类,可得 A∪ B=R, (2)有理数、无理数的定义,没有一个数既是有理数又是无理数, 则 A∩B=Φ. 本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系,考查集合间的交集、并集的运算,是概念类型 的试题,难度较小.

2. 分)在 A、B、C、D 四位候选人中, (6 (1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所 有可能的选举结果; (2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果. 考点: 专题: 分析: 组合及组合数公式;排列及排列数公式. 计算题;阅读型. (1)由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题,只要用排列数表示出来即可,列 举时注意可以按照一定的顺序进行,比如先写出包含 A 的,再写包含 B 的去掉重复的. (2)本题和前一个问题是有一定的区别的,上一问选正、副班长各一人包括选出来,安排谁 当什么,而本题只是选出三个人即可,与顺序无关. 解: (1)选举种数 A42=12(种)所有可能的选举结果: AB、AC、AD、BC、BD、CD、 BA、CA、DA、CB、DB、DC.

解答:

点评:

(2)选举种数 C43=4(种)所有可能的选举结果:ABC、ABD、ACD、BCD. 排列与组合问题要区分开,若题目要求元素的顺序则是排列问题,排列问题要做到不重不漏, 有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素.

3. 分)下表所列各小题中,指出 A 是 B 的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不 (8 是.

考点: 专题: 分析: 解答:

必要条件、充分条件与充要条件的判断. 阅读型. 本题考查的判断充要条件的方法,我们可以根据充要条件的定义进行逐一判断即可. 解:见表

对于第一个:平行四边形不一定是矩形,是矩形一定是平行四边形,故答案为:必要条件; 对于第二个:a=3 则|a|=3,但|a|=3 则 a=± 3,故答案为:充分条件; 对于第三个:θ=150°则 sinθ= ,但 sinθ= 则 θ 可能为 30° ,故答案为:充分条件;

点评:

对于第四个: 点在圆上, 则点的坐标适合圆的方程, 反之, 点的坐标适合圆的方程则点在圆上, 故答案为:充要条件 判断充要条件的方法是: ① p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; 若 ② p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; 若 ③ p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; 若

④ p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. 若 ⑤ 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 4. (10 分)写出余弦定理(只写一个公式即可) ,并加以证明.

考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

余弦定理. 证明题. 建立坐标系,用解析法证明余弦定理. 解:a2=b2+c2﹣2bccosA. 下用解析法证明证: 以 A 为原点,射线 AB 为 x 轴正向,建立直角坐标系,则得 A(0,0) ,B(c,0) ,C(bcosA, bsinA) . 由两点距离公式得: a2=|BC|2=(c﹣bcosA)2+(﹣bsinA)2 =b2+c2﹣2bccosA. 解析法证明代数几何中的某些定理与公式是一个很有效的武器. 答题者应好好体会在本证明中 的作用,并以所得的心得体会来证明余弦定理的其它形式.

5. (10 分)解不等式(x 为未知数) :



考点: 专题: 分析:

三阶矩阵. 计算题. 根据三阶矩阵的计算法则 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32﹣a13a22a31﹣a12a21a33﹣

a11a23a32 化简不等式的左边,求出不等式的解集即可. 解答: 解:不等式的左边= =(x﹣a) (x﹣b) (x﹣c)﹣abc﹣abc﹣ac(x﹣b)﹣ab(x﹣c)﹣bc(x﹣a)=x3﹣ax2﹣bx2 ﹣cx2=x2(x﹣a﹣b﹣c) , 2 所以不等式变形为:x (x﹣a﹣b﹣c)>0, 当 x≠0 时,x2>0 得到 x﹣a﹣b﹣c>0 即 x>a+b+c 则原不等式解是 x>a+b+c 且 x≠0. 此题是一道以三阶矩阵为平台,利用它的计算法则对不等式进行变形并会求不等式解集.

点评:

6. (10 分)用数学归纳法证明等式

对一切自然数 n 都成立.

考点: 专题: 分析:

数学归纳法. 证明题. 要证明等式

对一切自然数 n 都成立,则我们要先证明

n=1 时成立,再假设 n=k 时成立,进而 n=k+1 时等式也成立. 解答: 解:① n=1 时, 当

② 假设当 n=k 时,等式成立,即 则当 n=k+1 时,

=

?

= 即此时等式也成立, 故等式 点评:

?

=

对一切自然数 n 都成立.

数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 N 相关的性质,其步骤为:设 P(n)是关于自然数 n 的命题,若 1) (奠基) P(n)在 n=1 时成立;2) (归纳) 在 P(k) 为任意自然数)成 (k 立的假设下可以推出 P(k+1)成立,则 P(n)对一切自然数 n 都成立.

7. (16 分)设 1980 年底我国人口以 10 亿计算. (1)如果我国人口每年比上年平均递增 2%,那么到 2000 年底将达到多少? (2)要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?

考点: 专题: 分析:

数列的应用. 应用题. (1)由题意知所求人口数 x(亿)x=10× (1.02)20,两边取对数可的答案.

解答:

20 20 (2) 设人口每年比上年平均递增率最高是 y%, 按题意得 10× (1+y%) ≤12, (1+y%) ≤1.2. 由 此解可得答案. 解: (1)所求人口数 x(亿)是等比数列 10,10× 1.02,10× (1.02)2,的第 21 项,即 x=10× (1.02)20, 两边取对数,得 lgx=1+20lg1.02=1.17200, ∴ x=14.859(亿)

点评:

(2)设人口每年比上年平均递增率最高是 y%,按题意得 10× (1+y%)20≤12, (1+y%)20≤1.2. 根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得 20lg(1+y%)≤lg1.2, 即 lg(1+y%)≤0.00396, ∴ 1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 本题考查数列性质的综合应用,解题时要注意公式的灵活运用.

8. (17 分)在 120° 的二面角 P﹣a﹣Q 的两个面 P 和 Q 内,分别有点 A 和点 B 已知点 A 和点 B 到棱 a 的距离分别为 2 和 4,且线段 AB=10, (1)求直线 AB 和棱 a 所成的角; (2)求直线 AB 和平面 Q 所成的角. 考点: 专题: 分析:

解答:

直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角. 空间角. (1)如图所示,在平面 P 内作直线 AD⊥ 于点 D,在平面 Q 内,作直线 BE⊥ 于点 E,过点 a a D 作 DC⊥ a,与从点 B 作 CB∥ 相交于点 C.∠ a ABC 等于 AB 和 a 所成的角,∠ ADC 为两面角 P﹣a﹣Q 的平面角, 利用余弦定理即可得到 AC,由 a⊥ 平面 ACD,BC∥ 即可得到 BC⊥ a 平面 ACD,在直角△ABC 中求出 sin∠ ABC 即可; (2)在△ACD 所在的平面内,作 AF⊥ 交 CD 的延长线于点 F,利用面面垂直的性质即可 CD 证明 AF⊥ 平面 Q,从而得到∠ ABF 是直线 AB 和平面 Q 所成的角. 解: (1)在平面 P 内作直线 AD⊥ 于点 D,在平面 Q 内,作直线 BE⊥ 于点 E, a a 从点 D 作 a 的垂线与从点 B 作 a 的平行线相交于点 C. ∴ ABC 等于 AB 和 a 所成的角, ∠ ∠ ADC 为两面角 P﹣a﹣Q 的平面角, ∴ ADC=120° ∠ , 又 AD=2,BCDE 为矩形,∴ CD=BE=4. 2 连接 AC,由余弦定理得 AC =AD2+CD2﹣2AD?CDcos∠ ADC=22+42﹣2× 4× 2× cos120° =28. ∴ . 又∵ AD⊥ a,CD⊥ a,∴ 平面 ACD, a⊥ ∵ BC∥ a,∴ BC⊥ 平面 ACD, ∴ BC⊥ AC. 在直角△ABC 中, ∴ . ,

(2)在△ACD 所在的平面内,作 AF⊥ 交 CD 的延长线于点 F. CD ∵ 平面 ACD⊥ 平面 Q,∴ AF⊥ 平面 Q. 在△ADF 中,∠ ADF=60° ,AD=2,∴ AF= .

连接 BF,于是∠ ABF 是 AB 和平面 Q 所成的角, 在△ABF 为直角三角形, ∴ .

点评:

熟练掌握线面与面面垂直的判定和性质定理、线面角、异面直线所成的角、余弦定理及常作的 辅助线是解题的关键.

9. (17 分)给定双曲线



(1)过点 A(2,1)的直线 L 与所给的双曲线交于两点 P1 及 P2,求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方程. (2)过点 B(1,1)能否作直线 m,使 m 与所给双曲线交于两点 Q1 及 Q2,且点 B 是线段 Q1Q2 的 中点?这样的直线 m 如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. 考点: 专题: 分析: 双曲线的应用;轨迹方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题. (1)设直线 L 的方程代入双曲线方程,设 P1(x1,y1) 2(x2,y2) ,P , 定理求得 x1+x2 的表达式,表示出 x,把 x 代入直线方程求得 y 的表达式,再由

,根据韦达

的表达式

解答:

相除后消去 k 而得所求轨迹的普通方程即是所求的轨迹方程. (2)设所求直线方程为 y=k(x﹣1)+1,代入双曲线方程,设 Q1(x1,y1) 2(x2,y2)根 ,Q 据韦达定理表示出 x1+x2 求得 k,代入判别式结果小于 0,进而断定满足题设中条件的直线不 存在. 解:设直线 L 的方程为 y=k(x﹣2)+1, (1) 2 将(1)式代入双曲线方程,得: (2﹣k )x2+(4k2﹣2k)x﹣4k2+4k﹣3=0, (2) 又设 P1(x1,y1) 2(x2,y2) ,P , 则 x1,x2 必须是(2)的两个实根,所以有 , .

按题意,

,∴



因为

在直线(1)上,所以



再由

的表达式相除后消去 k 而得所求轨迹的普通方程为



这就是所求的轨迹方程.

(2)设所求直线方程为 y=k(x﹣1)+1,代入双曲线方程,整理得(2﹣k2)x2+(2k2﹣2k)x ﹣k2+2k﹣3=0, (3) 设 即 如果 B 是 Q1Q2 的中点, 必须是(3)的两个实根,

就有 (x1+x2)=1,

,所以有



综合起来,k 应满足



点评:

由第二式解出 k=2,但 k=2 不满足第一式,所以(I)无解. 故满足题设中条件的直线不存在. 本题主要考查了双曲线的应用.解题的结果一定注意放到判别式中进行验证.

10. (20 分)已知以 AB 为直径的半圆有一个内接正方形 CDEF,其边长为 1(如图)设 AC=a,BC=b, 作数列 u1=a﹣b,u2=a2﹣ab+b2,u3=a3﹣a2b+ab2﹣b3,…,uk=ak﹣ak﹣1b+ak﹣2b2﹣…+(﹣1)kbk; 求证:un=un﹣1+un﹣2(n≥3) .

考点: 专题: 分析: 解答:

数列递推式. 证明题. 要证 un=un﹣1+un﹣2(n≥3) ,利用题目中给出的信息先求出通项 un,然后利用圆中直角三角形的 几何性质建立 un,un﹣1,un﹣2 三者的关系,即可得证. 证明:通项公式可写成 uk=ak﹣ak﹣1b+ak﹣2b2﹣+(﹣1)kbk= 因 a﹣b=AC﹣BC=AC﹣AF=FC=1, ab=AC?BC=CD2=1. 故得 ,n≥3

=

=



=

于是有 点评:

.n≥3

本题是个中档题,主要考查了由数列递推式求数列的通项,以及证明等式的方法,在证明过程 中注意几何图形的几何性质的应用.


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