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综合学习与测试(一)


综合学习与测试(一)
说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内, 第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共 100 分,考试时间 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.某房间有四个门,甲要进、出这个房间,不同的走法有多少种? ( ) A.12 B.7 C.16 D.64

/>
2.北京 《财富》 全球论坛期间, 某高校有 14 名志愿者参加接待工作.若每天排早、 中、晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为 ( )
12 14 4 12 4 8

A. C C C

B. C A A

12 14

4 12

4 8

12 4 C14 C12C84 C. 3 A3

12 4 3 D. C14 C12C84 A3

3.代数式 (4x2 + 2x + 5)( x2 - 1)5 的展开式中,含 x 4 的项的系数是 ( ) A.-30 B.-20 C.20 D.30

1 4.设两个独立事件A和B都不发生的概率为 ,A发生B不发生的概率与B发生 9 A不发生的概率相同,则事件A发生的概率 P(A)是 ( )

A.

2 9

B.

1 18

C.

1 3

D.

2 3

1 2 3 10 5. 除以 88 的余数是 1- 90C10 + 902 C10 - 903 C10 + ? + 9010 C10





A. -1

B. 1

C.-87

D.87

6.教师想从 52 个学生中抽取 10 名分析期中考试情况,一小孩在旁边随手拿了两 个签,教师没在意,在余下的 50 个签中抽了 10 名学生.则其中的李明被小孩 拿去和被教师抽到的概率分别为 ( )

A.

1 1 , 26 5

B.

1 5 , 26 26

C.

1 ,0 26

D.

1 1 , 25 5

7.有一名同学在书写英文单词“error”时,只是记不清字母的顺序,那么他写错 这个单词的概率为 ( ) 119 9 19 1 A. B. C. D. 120 10 20 2 8.若(1+x)n 的展开式中 x2 项的系数为 an,则

1 1 1 + +?+ 的值 a 2 a3 an
B.小于 2 D.大于
3 2





A.大于 2 C.等于 2

9.计算 1!+2!+3!+?+100!得到的数,其个位数字是 A.2 B.3 C.4 D.5





10. 从编号为 1,2,3,?,10,11 的 11 个球中,取出 5 个球,使这 5 个球的编号之和为 奇数,其取法总数为 ( ) A.236 B.328 C.462 D.2640

第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.某高校从 8 名优秀毕业生中选出 5 名支援中国西部开发建设,其中某人当选的 概率是 __________________ 12.有乒乓球员 9 人,其中男 5 人,女 4 人.从中选出 4 人进行混合双打比赛的不 同选法的种数是__________________(用数字作答) 13.从 0,1,2,3,4 中每次取出不同的三个数字组成三位数,那么这些三位数的
4 3 5 6

0
蜜 蜂

2 1

个位数之和为__________________ 14.假定有一排蜂房,形状如图,一只蜜蜂在左下角,由于受了点伤,只能爬,不 能飞,而且只能永远向右方(包括右上,右下)爬行,从一间蜂房爬到与之相邻的 右蜂房中去,从最初位置爬到 6 号蜂房共有__________________种不同的爬法。

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(本小题满分 10 分) 一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球, (1)从中任取 4 个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种? (2)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少于 7 分的取法有多少种?

16.(本小题满分 10 分)已知 (4 求: ⑴含 x3 的项;⑵系数最大的项.

1 3 2 n ? x ) 展开式中的倒数第三项的系数为 45, x

17. (本小题满分 10 分)有 12 件产品,其中含有 3 件次品,现逐个抽取检查不放 回,求:

(Ⅰ)前 4 次恰好查出 2 件次品的概率; (Ⅱ)直到最后一次才查出全部次品的概率.

18. (本小题满分 12 分)已知: a, b ? R ? , n ? 1, n ? N * 求证:
an ? bn a?b n ?( ) 2 2

19. (本小题满分 12 分)已知数列{an}(n 为正整数)是首项为 a1, 公比为 q 的等比数 列,
0 1 2 0 1 2 3 (1)求和: a1C2 , a1C3 ; ? a2C2 ? a3C2 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3

(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明。

参考答案 1、C 2、A 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 3、A 4、D 5、B 6、B 7、C 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 13.90 14.21 8、B 9、B 10、A

11.

5 8

12.120

15.解(1)将取出 4 个球分成三类情况 1)取 4 个红球,没有白球,有 C 4 种 取 3 个红球 1 个白球,有 C 4 C 6 种;3)取 2 个红球 2 个白球,有 C4 C6 ,
4 3 1 2 2 ? C4 ? C4 C6 ? C 4 C 6 ? 115种
3 1 2 2

4

2)

? x ? y ? 5(0 ? x ? 4) (2)设取x个红球, y个白球, 则? ?2 x ? y ? 7(0 ? y ? 6) ?x ? 2 ?x ? 3 ?x ? 4 ?? 或? 或? y ? 3 y ? 2 ? ? ?y ? 1 2 3 3 2 4 1 ? 符合题意的取法种数有 C4 C6 ? C 4 C6 ? C4 C 6 ? 186种
n?2 2 16.⑴由题设知 Cn ? 45, 即 Cn ? 45 ,得 n ? 10

r r Tr ?1 ? C10 ( x 4 )10?r ( x 3 ) r ? C10 ?x

?

1

2

11r ?30 12

,令

11r ? 30 ? 3, 得 r ? 6 ,含 x 3 的项为 12

6 3 4 3 T7 ? C10 x ? C10 x ? 210x 3 .

⑵系数最大的项为中间项,即 T6 = C x 17.(超几何分布)(1)
12 1 (2) 4 55

5 10

55- 30 12

= 252x .

25 12

18. ? a, b ? R ? , n ? 1, n ? N ?
a ?b a ?b n ? 0, ( ) ?0 2 2 a ?b a ?b n a ?b a ?b n 故a n ? b n ? ( ? ) ?( ? ) 2 2 2 2 a ?b 2 a ?b 4 a?b n 0 a?b n 2 a ? b n?2 4 a ? b n?4 n a ?b n ? 2[Cn ( ) ? Cn ( ) ,( ) ? Cn ( ) ?( ) ? ? ? Cn ( ) ] ? 2( ) 2 2 2 2 2 2 2 an ? bn a?b n ? ?( ) 2 2 不妨设a ? b ? 0, 则
0 1 2 19.(1) a1C2 = a1 ? 2a1q ? a1q 2 = a1 (1 ? q) 2 ? a2C2 ? a3C2

0 1 2 3 = a1 ? 3a1q ? 3a1q 2 ? a1q 3 ? a1 (1 ? q) 3 a1C3 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3

(2)归纳概括的结论: 若数列{an}是首项为 a1,公比为 q 的等比数列,
0 1 2 3 n 则 a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? a4Cn ? ... ? (?1) n an?1Cn ? a1 (1 ? q) n ,n 为正整数.

0 1 2 3 n 证明: a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? a4Cn ? ... ? (?1) n an?1Cn

0 1 2 3 n = a1Cn ? a1qCn ? a1q 2Cn ? a1q 3Cn ? ... ? (?1) n a1q n Cn

0 1 2 3 n = a1[Cn ? qCn ? q 2Cn ? q 3Cn ? ... ? (?1) n q n Cn ]

= a1 (1 ? q) n .

(后注:期中测试的考察范围:第一章和第二章前三节。)


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