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几何概型的常见题型


几 何 概 型 的 常 见 题 型
陕西省户县第一中学 杨建萍
几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型, 也是高考的一个新增热点, 但由于试题 设计的背景不同,试题所呈现的方式也不同,本文想通过对几何概型试题的归纳整理,以便 同学们更好地理解和掌握此类问题.

一.几何概型的定义
1.定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 定义: 称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.特点:(1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; 特点: (2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等. 3.计算公式: P ( A) = 计算公式

构成事件A的区域长度(面积或体积) . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

说明:用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几 何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系: 古典概型和几何概型的区别和联系: (1)联系:每个基本事件发生的都是等可能的. (2)区别:①古典概型的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无限的; ②两种概型的概率计算公式的含义不同.

二.常见题型
1.与长度有关的几何概型 长度有关的几何概型
例 1.(2009 山东卷·文理)在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x ,cos 概率为( A. ).

πx
2

的值介于 0 到

1 之间的 2

1 3

B.

2

π

C.

1 2

D.

2 3

分析: 在区间 [ ?1,1] 上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间 [ ?1,1] 的任意一 个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的 概率只与自变量 x 的取值范围的区间长度有关,符合几何概型的条件. 解:在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x ,即 x ∈ [ ?1,1] 时,要使 cos

πx
2

的值介于 0 到

1 之间, 2
1

需使 ?

π
2

2 3 3 2 2 2 2 2 ∴ ?1 ≤ x ≤ ? 或 ≤ x ≤ 1 ,区间长度为 , 3 3 3 πx 1 由几何概型知使 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2



πx

≤?

π



π



πx



π

2 符合条件的区间长度 1 P= = 3 = . 故选 A. 所有结果构成的区间长度 2 3
2.与面积有关的几何概型 面积有关的几何概型 有关的几何概
例 2.(2009 辽宁卷·文) ABCD 为长方形, AB = 2, BC = 1 , O 为 AB 的中点,在长方 形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( A. )

π
4

B. 1 ?

π
4

C.

π
8

D. 1 ?

π
8

分析:由于是随机的取点,点落在长方形内每一个点的机会是等可能的,基本事件是无限多 个,所以符合几何概型. 解:长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 因此取到的点到 O 的距离大于 1 的面积为 2 ? 则取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为

π
2

π
2



D A O

C B

取到的点到O的距离大于1的面积 = P( A) = 长方形ABCD的面积
. 故选 B.

2? 2

π
2 = 1?

π
4

图1

3.与角度有关的几何概型
例 3.在圆心角为 90°的扇形中,以圆心为起点做射线 OC ,求使得 ∠AOC 和 ∠BOC 都不 小于 30°的概率? 分析: 此题关键是搞清过 O 作射线 OC 可以在扇形的任意位置, 而且是等 可能的,因此基本事件的发生是等可能的. 解:记事件 A 是“做射线 OC ,使得 ∠AOC 和 ∠BOC 都不小于 30°”,

B M C N

O

A

图2

∠AON = ∠BOM = ∠MON = 30 0 ,则符合条件的射线 OC 应落在扇形 MON 中,

2

所以 P ( A) =

∠MON的度数 30 0 1 = = . ∠AOB的度数 90 0 3

4.与体积有关的几何概型
例 4.在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的概率是多大? 分析: 病毒在这 5 升水中的分布可以看作是随机的, 取得的 1 升水可以看作构成事件的区域, 5 升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可以用体积比公式计算其概率. 解:“取出 1 升水,其中含有病毒”这一事件记作事件 A, 则 P ( A) =

取出的水的体积 1 . = = 0 .2 . 所有水的体积 5

从而所求的概率为 0.2.

5.与线性规划有关的几何概型
例 5.小明家的晚报在下午 5:30~6:30 之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家在 下午 6: 00~7: 之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的 00 概率是多少? 分析:该题题意明确,但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由 于晚报送到和晚饭开始都是随机的, 设晚报送 到和晚饭开始的时间分别为 x、y ,然后把这 两个变量所满足的条件写成集合的形式, 把问 题转化为线性规划问题进行求解. 解:设晚报送到和晚饭开始的时间分别为

x、y .用 x,y) ( 表示每次试验的结果,则所
有 可 能 结 果 为 :

? = {( x, y ) 5 : 30 ≤ x ≤ 6 : 30,6 ≤ y ≤ 7},
即为图 3 中正方形 ABCD 的面积;记晚报在 晚 餐 开 始 之 前 被 送 到 为 事 件 A , 则 事 件 A 的 结 果 为 :

A = {( x, y ) 5 : 30 ≤ x ≤ 6 : 30,6 ≤ y ≤ 7, x ≤ y} , 即 为 图 2 中 阴 影 部 分 区 域 .
1 1 1 7 S ABCD = 1 × 1 = 1 , S阴影 = 1 ? × × = . 2 2 2 8

3

所以所求概率为: P =

S阴影 S ABCD

7 7 = 8 = . 1 8
7 . 8

故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是

反思:此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系,其求解的步骤为: (1)找设变量.从问题中找出两个随机变量,设为 x, y ; (2) 集合表示.用 ( x, y ) 表示每次试验结果, 则可用相应的集合分别表示出全部结果 ? 和事 件 A 所包含的试验结果.一般来说,两个集合都是几个二元一次不等式的交集. (3)作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出,并求出集合 ?, A 对应的区域的面积. (4)计算求解.由几何概型公式求出概率.

6.与定积分有关的几何概型 与定积分有关的几何概型 有关的几何概
例 6.在区间 [?1,1] 上任取两数 a、b ,求二次方程 x + ax + b = 0 的两根都是实根的概率.
2

分析:可用 (a, b) 表示试验结果.求出所有可能结果的面积和方程有实根的结果的面积,再 利用几何概型来解答. 解:用 (a, b) 表示每次试验结果,则所有可能结果为: ? = ( a, b) ? 1 ≤ a ≤ 1,?1 ≤ b ≤ 1 , 即为图 3 中正方形 ABCD 的面积;由方程有实根得: ? = a ? 4b ≥ 0 ,则方程有实根
2

{

}

的可能结果为 A = (a, b) a ? 4b ≥ 0,?1 ≤ a ≤ 1,?1 ≤ b ≤ 1 ,
2

{

}

b

D
即为图 4 中阴影部分区域.阴影部分面积可用定积分来计算. 所以 S ABCD = 2 × 2 = 4 ,

1
O

?1
1 ?1

C 1 b = a2 4 a 1

S阴影 = ∫

1 2 1 a da + 1 × 2 = a 3 ?1 4 12
1

+2=

1 13 +2= , 6 6

A

?1
图4

B

所以所求概率为:

P=

S阴影 S ABCD

13 13 = 6 = ≈ 0.5417 . 4 24

7.与随机模拟有关的几何概型
例 7. (2007 年海南宁夏· 如图 5, 理) 面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M , 可按下面方法估计 M 的面积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,

4

若 n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的估计值为

为 2, M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目. (I)求 X 的均值 EX ; (II)求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际值 之差在区间 ( ?0.03, ) 内的概率. 0.03 附表: P ( k ) =

m S ,假设正方形 ABCD 的边长 n C D

M

∑C
t =0

k

A
t 10000

× 0.25 × 0.75
t

10000 ? t

图5

B

k
P(k )

2424 0.0403

2425 0.0423

2574 0.9570

2575 0.9590

分析: 本题从表面来看似乎与几何概型无关, 其实它是一个几何概型的逆向问题与 n 次独立 重复实验的综合题,而且本题有别于常规的面积型概率计算,设计新颖,通过随机模拟来求 不规则图形的面积。 解:每个点落入 M 中的概率均为 P = (Ⅰ) EX = 10000 ×

S M的面积 S ABCD

=

1 1? ? .依题意知 X ~ B ? 10000, ? . 4 4? ?

1 = 2500 . 4

(Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ?0.03 <

? ?

X ? × 4 ? 1 < 0.03 ? , 10000 ?

X ? ? P ? ?0.03 < × 4 ? 1 < 0.03 ? = P(2425 < X < 2575) 10000 ? ?
=
2574

t = 2426 2574 t = 2426

∑C ∑

t 10000

× 0.25t × 0.7510000 ?t
2425 t =0

=

t t C10000 × 0.25t × 0.7510000 ?t ? ∑ C10000 × 0.25t × 0.7510000 ?1

= 0.9570 ? 0.0423 = 0.9147 .
总之,几何概型不但是高中数学的新增内容,而且由于它涉及图形的长度、面积、体积 及其他的几何知识,更能考察同学们分析问题的能力,因此越来越受到高考的青睐,所以希 望同学们能很好的掌握.

5


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