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用向量方法解立体几何题练习-(老师用)


1.(2009 北京卷)(本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ⊥ 底面ABCD , 点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC ⊥ 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD = 2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小. 【解】如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz , 则 A ( a, 0, 0 ) , B ( a, a, 0 ) , C ( 0, a, 0 ) , D ( 0, 0, 0 ) , P ( 0, 0, h ) , (Ⅰ)∵ AC = ( ?a, a, 0 ) , DP = ( 0, 0, h ) , DB = ( a, a, 0 ) , ∴ AC ? DP = 0, AC ? DB = 0 ,∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC ⊥ 平面PDB . (Ⅱ)当 PD = 设 AB = a, PD = h,

uuur

uuu r

uuu r

uuur uuu r

uuur uuu r

?1 1 2 ? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时, P 0, 0, 2a , E ? a, a, a? , ?2 2 ? 2 ? ?

(

)

设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∵ EA = ?

uuu r

uuu uuu r r EA ? EO 2 ° ° ∴ cos ∠AEO = uuu uuu = , ∠AOE = 45 , AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . ∴ 即 r r 2 EA ? EO
2.(2009 全国卷Ⅱ)(本小题满分 12 分)
.

r ?1 1 2 ? uuu ? 2 ? a, ? a, ? a ? , EO = ? 0, 0, ? a?, ?2 ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ?

如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1,(Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 A—xyz。 【解】 设 B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c), 则 B1 (1,0,2c),E( 于是 DE =(


1 b , ,c). 2 2

→ 1 b , ,0), BC =(-1,b,0). 2 2 → →

由 DE⊥平面 BCC1 知 DE ⊥BC, DE ? BC =0,求得 b=1, 所以 AB=AC。 (Ⅱ)设平面 BCD 的法向量

AN = ( x, y, z ), AN ? BC = 0, AN ? BD = 0.
又 BC =(-1,1, 0), BD =(-1,0,c),故 ?
→ →











?? x + y = 0 ?? x + cz = 0

令 x=1, 则 y=1, z=

1 → 1 , AN =(1,1, ).又平面 ABD 的法向量 AC =(0,1,0) c c

由二面角 A ? BD ? C 为 60°知, AN, =60°,故 AC 求得 c =

AN ? AC = AN ? AC ? cos60 °,

1 2

,于是

AN = 1, 2) CB1 = (1, 1, 2) ( 1, , ?
= 1 , AN, 1 = 60 °所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30 CB 2

cos AN, 1 = CB

AN ? CB1 AN ? CB1

3.(2009 山东卷)(本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 【解】(1)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD, 以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, ,则 D(0,0,0),A( 3 ,-1,0),F( 3 ,1,0),C(0,2,0), A C1(0,2,2),E( D1 A1 z C1 B1

E1

D E M

C

y

B F 3 1 , ? ,0),E1( 3 ,-1,1), x 2 2 uuuu r uuuu r uuur uuu r 3 1 所以 EE1 = ( , ? ,1) , CF = ( 3, ?1, 0) , CC1 = (0, 0, 2) FC1 = (? 3,1, 2) 设平面 CC1F 的 2 2 r uuu r r ? n ? CF = 0 ? ? ? 3x ? y = 0 r 法向量为 n = ( x, y , z ) 则 ? r uuuu 所以 ? 取 n = (1, 3, 0) , r n ? CC1 = 0 ? z=0 ? ? ? r uuur r uuur 3 1 则 n ? EE1 = × 1 ? × 3 + 1× 0 = 0 ,所以 n ⊥ EE1 ,所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . 2 2 ur uuu r ur uuu r ? n1 ? FB = 0 ? (2) FB = (0, 2, 0) ,设平面 BFC1 的法向量为 n1 = ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ur uuuu r ?n1 ? FC1 = 0 ? ur r ur y1 = 0 ? ? 所以 ? ,取 n1 = (2, 0, 3) ,则 n ? n1 = 2 × 1 ? 3 × 0 + 0 × 3 = 2 , ?? 3 x1 + y1 + 2 z1 = 0 ? r ur | n |= 1 + ( 3) 2 = 2 , | n1 |= 22 + 0 + ( 3) 2 = 7 , r ur r ur n ? n1 2 7 所以 cos? n, n1 ? = r uur = = ,由图可知二面角 B-FC 1 -C 为锐角, 7 | n || n1 | 2 × 7 所以二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 . 7

4.(2009 陕西卷)(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB=1, AC = AA1 =

3 ,∠ABC=60 0 .

(Ⅰ)证明: AB ⊥ A1C ; (Ⅱ)求二面角 A— A1C —B 的大小。 A1 C1

B1

A

C

B

cos < m, n >=

mgn 3 × 1 + 1× 0 + 1× 0 15 = = 2 m g n ( 3) + 12 + 12 g 12 + 02 + 02 5
15 5

所以 A-A1C-B 所成角是 arccos

安徽卷(18)(本小题满分 12 分) 5.安徽卷 安徽卷 ( 如 图 , 在 四 棱 锥 O ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 四 边 长 为 1 的 菱 形 , ∠ABC =

π
4

,

OA ⊥ 底面ABCD , OA = 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点 (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;
(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。 【解】作 AP ⊥ CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y , z 轴建立坐标系

A(0, 0, 0), B (1, 0, 0), P (0,
(1) MN = (1 ?

2 2 2 2 2 , 0), D (? , , 0), O (0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) , 2 2 2 4 4
z O

uuu r uuur 2 2 2 2 2 , , ?1), OP = (0, , ?2), OD = (? , , ?2) 4 4 2 2 2 uuu r uuur 设平面 OCD 的法向量为 n = ( x, y , z ) ,则 n OP = 0, n OD = 0

uuuu r

? 2 y ? 2z = 0 ? ? 2 即 ? 取 z = 2 ,解得 n = (0, 4, 2) 2 2 ?? ? 2 x + 2 y ? 2z = 0 ? uuuu r 2 2 x ∵ MN n = (1 ? , , ?1) (0, 4, 2) = 0 4 4 ∴ MN‖ 平面OCD uuu r uuuu r 2 2 , , ?1) (2)设 AB 与 MD 所成的角为 θ ,∵ AB = (1, 0, 0), MD = ( ? 2 2

M

A B N CP

D y

uuu uuuu r r AB MD π 1 π , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴ cos θ = uuu uuuu = ,∴θ = r r 3 3 AB ? MD 2 uuu r (3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n = (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, uuu r OB ? n 2 uuu r 2 由 OB = (1, 0, ?2) , 得 d = = .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 n 3 3
6.山东卷(20)(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ∠ABC = 60° ,E,F 分别 是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为

6 ,求二面角 E—AF 2

—C 的余弦值. 【解】(1)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD. 所以 AE⊥PD. (2):由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的空间直角坐标系,又 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以 A(0,0,0),B( 3 ,-1,0), C(C,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E( 3 ,0,0),F( 所以 AE = ( 3, 0, 0), AF = (

3 1 , ,1 ), 2 2

3 1 , ,1). 设平面 AEF 的一法向量为 m = ( x1 , y1 , z1 ), 2 2 uuu r ? 3x1 = 0, ?m AE = 0, ? ? 则 ? uuur 因此 ? 3 1 x1 + y1 + z1 = 0. ?m AF = 0, ? ? ? 2 2 取 z1 = ?1, 则m = (0, 2, ?1), 因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, uuu r 所以 BD⊥平面 AFC,故 BD 为平面 AFC 的一法向量. uuu r uuu r uuu r m BD 2×3 15 uuu = r 又 BD =(- 3,3, 0 ),所以 cos<m, BD >= = . 5 | m | | BD | 5 × 12
因为二面角 E-AF-C 为锐角,以所求二面角的余弦值为

uuu r

uuur

15 . 5

7.(福建?理?18 题)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点。 (Ⅰ)求证:AB1⊥面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离; 【解】(Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO .Q△ ABC 为正三角形,∴ AO ⊥ BC .

Q 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1 B1 ,∴ AD ⊥ 平面 BCC1 B1 . uuu uuuu uuu r r r 取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间

uuur uuur uuu r ∴ AB1 = (1, ? 3) , BD = (?2,0) , BA1 = (?1, 3) . 2, 1, 2, uuur uuu r uuur uuur Q AB1 BD = ?2 + 2 + 0 = 0 , AB1 BA1 = ?1 + 4 ? 3 = 0 , uuur uuu uuur uuur r ∴ AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .∴ AB1 ⊥ 平面 A1 BD . (Ⅱ)设平面 A1 AD 的法向量为 n = ( x,y,z ) . uuur uuur AD = (?11, 3) , AA1 = (0, 0) . ,? 2, uuur uuur Q n ⊥ AD , n ⊥ AA1 , uuur ?n AD = 0, ?? x + y ? 3 z = 0, ? y = 0, ? ? ? ∴ ? uuur ∴? ∴? ? x = ? 3 z. ?n AA1 = 0, ?2 y = 0, ? ? ?
令 z = 1 得 n = ( ? 3,1) 为平面 A1 AD 的一个法向量. 0,

直角坐标系,则 B (1, 0) , D ( ?11, , A1 (0, 3) , A(0, 3) , B1 (1, 0) , 0, ,0) 2, 0, 2, z A

A1

F C O B D y

C1

B1

x uuur 由(Ⅰ)知 AB1 ⊥ 平面 A1 BD ,∴ AB1 为平面 A1 BD 的法向量. uuur uuur n AB1 ? 3? 3 6 cos < n , AB1 >= =? . uuur = 4 22 2 n AB1

6 ∴ 二面角 A ? A1 D ? B 的大小为 arccos . 4 uuur uuu r uuur (Ⅲ)由(Ⅱ), AB1 为平面 A1 BD 法向量,Q BC = (?2, 0) AB1 = (1, ? 3) . 0,, 2, uuu uuur r BC AB1 ?2 2 ∴ 点 C 到平面 A1 BD 的距离 d = uuur = . = 2 2 2 AB1


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