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2018届高三数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算课件理


理数
课标版

第一节 平面向量的概念及其线性运算

教材研读

1.向量的有关概念
名称 向量 定义 既有① 大小 又有② 方向 的量;向量的大小叫做向量的③ 长度 (或 ④ 模 ) 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 长度为⑤ 0 的向量;其方向是任意的 长度等于⑦ 1个单位长度 的向量 方向⑧ 相同 或⑨ 相反 的非零向量 ⑩ 方向相同或相反 的非零向量又叫做共线向量 长度? 长度? 相等 且方向? 相等 且方向? 相同 的向量 相反 的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大小 0的相反向量为0 记作⑥ 0 非零向量a的单位向量为± | a | 0与任一向量? 备注 向量由方向和长度确定,不受位置影响

?

a

平行 (或共线)

2.向量的线性运算

3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得? b=λa .

?
判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.?(√) (2)? =? -?OB .?(√) BA OA (3)向量? 与向量? 是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.?(×) AB CD (4)已知a,b是两个非零向量,当a,b共线时,一定有b=λa(λ为常数),反之也 成立.?(√)
? ?

?

?

?

1.下列说法正确的是? (
?

)
?

AB ∥? AB 所在的直线平行于? CD 就是? CD 所在的直线 A.?

?

?

B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量长度等于0 D.共线向量是在同一条直线上的向量
AB ∥? AB 所在的直线与? CD 包含? CD 所在的直线平行和重合两 答案 C ?
?

?

?

?

种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零 向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是 所在直线互相平行的向量,故D错.

? ? ? ? 2.在四边形ABCD中,? = ? , 且 | ? |=| ? AB DC AB BC |,那么四边形ABCD为(

)

A.平行四边形
?

B.菱形
?

C.长方形

D.正方形
?

AB =? AB |=|? DC ,则四边形ABCD为平行四边形.又|? BC |,则四边 答案 B ?

?

形ABCD为菱形,故选B.

? ? 3.已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2? + ? AC CB =0,

OC =? ( 则? OA -? OB A.2?
2 ? 1 ? OA -? OB C.? ? ? 3 3
? ?

?

)
OA +2? OB B.-?
1 ? 2 ? OA +? OB D.-? ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? OC =? OB +? BC =? OB +2? AC =? OB +2(? OC -? OA ),∴? OC =2? OA 解法一:?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

答案 A
OB .故选A. ?
?

AC +? CB =0,得2(? OC -? OA )+(? OB -? OC )=0,整理得? OC =2? OA -? OB .故 解法二:由2?

选A.

? ? ? ? 4.在?ABCD中,? = a , ? = b , ? =3 ? , M 为 BC的中点,则?= AB AD AN NC

MN

?

(用a,b表示).
1 1 答案 -? a+?b 4 4 3 解析 由? =3?NC ,得?=AN ??3 =? AN AC (a+b), 4 4 1 又? =a+? b, AM
?

?

?

?

?

2

1 ? ??a ? 1 所以? =?-AN ?=? (a+3 b)-?=AM MN a? + b b.
? ?
?

4

? ?

? 2 ?

4

1 4

5.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=
. 答案 -?
1 3

解析 由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)],
1 ? k ? , ? ? λ ? ?k , ? 3 所以? 解得 ? ? 1 ? 3 k , ? ?λ ? ? 1 . ? 3 ?

?

考点突破
考点一 向量的有关概念

典例1 给出下列命题:
(1)若|a|=|b|,则a=b;
AB =? DC 是四边形ABCD为平行四 (2)若A、B、C、D是不共线的四点,则?
?

?

边形的充要条件; (3)若a=b,b=c,则a=c; (4)两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b; (5)如果a∥b,b∥c,那么a∥c. 其中假命题的个数为? ( A.2 B.3 C.4 D.5 )

答案 B 解析 (1)不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由
|a|=|b|推不出a=b.
AB AB AB DC DC (2)正确.若? =? ,则|?|=| ?|且 ?∥? .
?

?

?

?

?

DC
?

?

又∵A、B、C、D是不共线的四点,∴四边形ABCD是平行四边形.
DC 反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB DC且AB ?与? 方向相同,因
AB DC 此? =? .
?

?

?

(3)正确.∵a=b,∴a、b的长度相等且方向相同.

∵b=c,∴b、c的长度相等且方向相同.
∴a、c的长度相等且方向相同,∴a=c.
?| a |?| b |, (4)不正确.当a∥b,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故 ? ?a ? b

?

不是a=b的充要条件. (5)不正确.若b=0,则a与c不一定共线.

易错警示
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,不要与线段的共线、平行混为一谈. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它 与函数图象的移动混为一谈. (4)非零向量a与?的关系:?是a方向上的单位向量.
a |a| a |a|

1-1 设a0为单位向量,下述命题中:
①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0; ②若a与a0平行,则a=|a|a0; ③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0. 假命题的个数是? ( A.0 B.1 C.2 ) D.3

答案 D 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不 一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是

同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的
个数是3.

考点二 向量的线性运算
典例2 (1)(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,? BC =3? CD , 则? (
?

?

?

)
1 ? 4 ? AD =? AB -? AC B.? ? ? 3 3 ? 4 ? 1 ? AD =? AB -? AC D.? ? ? 3 3
?

1 ? 4 ? AD =-? AB +? AC A.? ? ? 3 3 ? 4 ? 1 ? AD =? AB +? AC C.? ? ? 3 3

? 1 2 (2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=? AB,BE=? BC.若DE ? = 2 3

λ1? AB +λ2? AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为

?

?

.

答案 (1)A (2)?
解析
? 4 ? 4 ? ? 1 ? AD =? AB +? BD =? AB +? AB +? AB +? AB )=-? AB + (1)? ? (? ? BC +? CD =? BC =? AC -? 3 3 3 ? ? ? ?

1 2

?

?

?

4 ? AC .故选A. ? ? 3 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? DE =? DB +? BE =? AB +? AB +? AB )=-? AB +? BC =? AC -? AC , (2)? ? ? ? (? ? ? 2 3 2 3 6 3 ? ? ? 1 2 DE =λ1? AB +λ2? AC,∴λ1=-? ∵? ,λ2=? , 6 3 1 故λ1+λ2=? . 2
? ? ?

方法技巧
(1)进行向量线性运算时,要尽可能地将其转化到三角形或平行四边形 中,充分利用相等向量,相反向量,三角形中位线的性质及相似三角形对 应边的性质等,把未知向量用已知向量表示出来. (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、 移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样 适用.

2-1 (2016乐山模拟)如图,点M是△ABC的重心,? MA +y? MB ,则x+y= CM =x?
?(

?

?

?

)

?
A.?
?

5 6

B.1
?

C.?
?

3 2

D.2

答案 D 由题意,得点F是AB的中点, 所以? MA +? MB =2? MF , 因为点M是△ABC的重心, 所以? MF =? MA +? MB , CM =2?
MA +y? MB ,所以x=y=1,x+y=2. CM =x? 又?
?
? ?

?

?

?

?

2-2 在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,
BD =b,则? AF 等于? ( AC =a,? AE的延长线与CD交于点F,若?
?
? ?

)

A.? a+? b 答案 B

1 4

1 2

2 1 1 1 C.? a+ ? b 3? 3 ? 2 4 ? AF =? AD +? DF , 如图,?

B.? a+? b

D.? a+? b

1 3

2 3

?
由题意知,△ABE∽△FDE, ∴DE∶BE=1∶3=DF∶AB,
1 ? ∴? ? DF =? AB , 3 ? 1 1 1?1 1 ? 2 1 AF =? a ? b ? =? ∴? a+? b+? ? a+? b. ? 2 2 3?2 2 ? 3 3
?

考点三 共线向量定理的应用 典例3 设两个非零向量a与b不共线.
AB =a+b,? BC =2a+8b,? CD =3(a-b),求证:A,B,D三点共线; (1)若?
?

?

?

(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
AB =a+b,? BC =2a+8b,? CD =3(a-b), 解析 (1)证明:∵? BD =? AB , BC +? CD =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5? ∴? AB ,? BD 共线,又它们有公共点B, ∴?
? ? ? ?

?

?

?

?

?

∴A,B,D三点共线. (2)∵ka+b与a+kb共线,

∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.

方法技巧
1.共线向量定理的应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的 值. (2)若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数 法应用非常广泛. 2.证明三点共线的方法
AB =λ? AC ,则A、B、C三点共线. 若?
?

?

? ? 变式3-1 若将本例(1)中“? =2 a +8 b ”改为“ ? BC BC =a+mb”,则m为何值

时,A、B、D三点共线?
BD =4a+(m-3)b. BC +? CD =(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即? 解析 ? BD =λ? AB, 若A、B、D三点共线,则存在实数λ,使?
? ?

?

?

?

即4a+(m-3)b=λ(a+b),
? 4 ? λ, ∴? 解得m=7. m ? 3 ? λ , ?

?

故当m=7时,A、B、D三点共线.

变式3-2 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
解析 因为ka+b与a+kb反向共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0), 所以? ? 所以k=±1. 又λ<0,k=λ,所以k=-1. 故当k=-1时,两向量反向共线.
? k ? λ, ?kλ ? 1,


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