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北京市西城区2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


A卷

本卷满分:50 分

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样 三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率依次为 P 1, P 2, P 3 ,则( A. P 1 =P 2 <P 3 【答案】D 【解析】 试题分析:简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三大抽样都是等概率抽样,因此对一个容量 为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,不管用哪种抽样,总体中每个个体被抽中的概率都相等 考点:三大抽样; 2.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机选取两个数,所取两个数之和为 5 的概率是( A. ) B. P 2 =P 3 <P 1 C. P 1 =P 3 <P 2 )

D. P 1 =P 2 =P 3

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

【答案】C 【解析】 试题分析:从 1,2,3,4 这四个数中一次随机选取两个数,可能抽取到的数字有: 12,13,14,23,24,34 共六种,满足所取两个数之和为 5 的 14,23,因此所取两个数之和为 5 的 概率为

2 1 = 6 3

考点:古典概型; 3. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

-1-

A. 2 【答案】C

B.

3 2

C.

5 3

D.

8 5

考 点:循环结构; 4. 某校对高一年级学生的数学成绩进行统计,全年级同学的成绩全部介于 60 分与 100 分之 间,将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图。现从全体学生中,采用分层抽样 的方法抽取 60 名同学的试卷进行分析,则从成绩在内的学生中抽取的人数为( )

-2-

A. 24 【答案】B 【解析】

B. 18

C. 15

D. 12

试题分析:根据学生成绩的频率分布直方图可以计算出,学生成绩在内的学生占所有学生的

0.03? 10 0.3 ,因此采用分层抽样的方法抽取 60 名学生时,应从成绩在内的学生中抽取 60 ? 0.3 18 人
考点:分层抽样; 5. 投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本事件空间是 ? ={1,2,3,4,5,6}。设事件 A={1, 3},B={3,5,6},C={2,4,6},则下列结论中正确的是( A. A,C 为对立事件 C. A,C 为互斥事件,但不是对立事件 【答案】C 【解析】 )

B. A,B 为对立事件 D. A,B 为互斥事件,但不是对立事件

C 试题分析: 根据对立事件与互斥事件的定义进行判断, 由于 A 裙

W, A裙 B 因此 A 错;

W,

C 因此 B 错; A 裙

W, A ? C ? ,因此 C 对; A ? B

{3} ,因此 D 错;

考点:对立事件;互斥事件; 6. 下图是 1,2 两组各 7 名同学体重(单位:千克)数据的茎叶图。设 1,2 两组数据的平均 数依次为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( )

-3-

(注: 标准差 s = 数) A. x1 < x2 , s1 < s2 C. x1 > x2 , s1 > s2 【答案】A 【解析】

1 [( x1 - x)2 + ( x2 - x)2 +? + ( xn - x)2 ,其中 x1 为 x1 , x2 ,?, xn 的平均 n

B. x1 < x2 , s1 > s2 D. x1 > x2 , s1 < s2

试题分析:根据茎叶图可知,第 1 组 7 名同学的题做好分别为 53,56,57,58,61,70,72,因此 第一组同学体重的平均数为 x1 = 方差为 s1 =
2

1 ( 53 + 56 + 57 + 58 + 61 + 70 + 72) = 61kg , 7

1轾 2 2 2 53 - 61) +( 56 - 61) +? +( 72 - 61) = 43.00kg 2 ( 犏 臌 7 1 同理第 2 组的平均体重为 x2 = ( 54 + 56 + 58 + 60 + 61 + 72 + 73) = 62kg , 7 1 2 2 2 2 54 - 62) +( 56 - 62) +? + ( 73 - 62) = 63.14kg 2 ,因此 x1 < x2 , s1 < s2 方差为 s2 = 轾 ( 犏 7臌
考点:样本数据的平均数和方差;茎叶图; 7. 下图给出的是计算 不等式为( )

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 的一个程序框图,则判断框内应填入关于 i 的 2 4 6 8 100

-4-

A. i < 50 【答案】B 【解析】

B. i > 50

C. i < 51

D. i > 51

试题分析:根据题意,依次执行程序框图,当 i = 1,S =

1 1 1 ;当 i = 2,S = + ;当 2 2 4

1 1 1 i = 3,S = + + , ? , 2 4 6 1 1 1 1 当 i = 50,S = + + +? + ,因此判断框内应填入 i > 50 2 4 6 100
考点:循环结构; 8. 袋中装有 5 个小球,颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色,现从袋中随机抽取 3 个 小球。设每个小球被抽到的机会均等,则抽到白球或黑球的概率为( A. )

2 5

B.

3 5

C.

2 3

D.

9 10

【答案】D 【解析】 试题分析:从袋中随机抽取 3 个球可能发生的事件有:红黄白,红黄黑,红黄紫,红白黑, 红白紫,红黑紫,黄白黑,黄白紫,白黑紫,黄黑紫共十种,其中白球或黑球被抽到的有九 种,因此所求概率为

9 10

-5-

考点:古典概型;和事件; 二、解答题:本大题共 2 小题,共 18 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 9. (本小题满分 9 分) 从某校高一年级随机抽取 n 名学生,获得了他们日平均睡眠时间(单位:小时)的数据, 整理得到数据分组及频数分布表: 组号 1 2 3 4 5 分组 [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10) (I)求 n 的值; (Ⅱ)若 a = 10 ,补全表中数据,并绘制频率分布直方图; (Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替。若上述数据的平均值为 7.84,求 a , b 的值,并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于 8 小时的概率。 【答案】 (I) n = 50 (Ⅱ)图略(Ⅲ) a = 15, b = 15,0.46 【解析】 试题分析: (I)在 1 组中,频数为 2,频率为 0.04,可求得 n 值; (Ⅱ)当 a = 10 时,根据随 机抽样时等概率的特点可以补全表格中数据,然后根据表格中的数据绘制频率分布直方图; (Ⅲ)根据样本数据的平均值为 7.84,样本容量为 50,列出关于 a , b 的方程组解出 a , b ,然 后将 本卷满分:100 分 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的
* 1. 数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = an - 3 n ? N ,则 a4 = (

频数 2

频率 0.04 0.20

a b 0.16

(

)

) D. -10

A. 10 【答案】C 【解析】

B. 8

C. -8

* 试题分析:由题意可得 an +1 - an = - 3 n ? N ,因此数列 {an } 是一个以 1 为首项,-3 为公差

(

)

-6-

的等差数列,因此 a4 =1 +3?

( 3) = - 8
) D. a > b
3 3

考点:等差数列的定义与通项公式; 2. 设 a, b ? R ,且 a > b ,则下列结论中正确的是( A.

a >1 b

B.

1 1 < a b

C. a >| b |

【答案】D 【解析】 试题分析:用排除法对选项进行,对于 A,当 a = - 2, b = - 3 时不满足,因此不对;B 中当

a = 2, b = - 3 时不满足,因此不对;C 中当 a = - 2, b = - 3 时不满足,因此不对;因此选 D
考点:不等式的性质; 3. 在等比数列 {an } 中, a1 = 2, a4 = A. 17 【答案】A B. 16

1 ,若 am = 2- 15 ,则 m = ( 4
D. 13



C. 14

考 点:等比数列的通项公式;

í x? y ? ? 4. 若实数 x , y 满足 ì y ? 0 ,则 z = x + 3 y 的最大值是( ? ? ? 2x + y - 3 ? 0
A. 6 【答案】B 【解析】 试题分析:作出不等式组所对应的可行域: B. 4 C.



3 2

D. 0

-7-

当直线 z = x + 3 y 即 y = -

1 z x + 经过点 A 时, 截距最大, 此时 z 取得最大值, 而直线 y = x 与 3 3

2 x + y - 3 = 0 的交点坐标为 A(1,1) ,因此 z 的最大值为 z = 1 + 3? 1 4
考点:一元二次不等式的线性规划; 5. 在△ABC 中,若 a sin A = b sin B ,则△ABC 的形状一定是( A. 等边三角形 【答案】B 【解析】 试题分析:由题意 a sin A = b sin B ,根据正弦定理有 sin A = sin B ,A,B 为三角形内角, 因此 sin A = sin B ,所以 A = B 或 A + B = p (舍去) ,故△ABC 是等腰三角形 考点:正弦定理;三角形形状的判断; 6. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2k +1 > 0 ,则一定有( A. ak > 0 【答案】C 【解析】 试题分析:根据等差数列的前 n 项和公式有: S2 k +1 = 因此 C 正确 考点:等差数列的前 n 项和公式;等差中项; 7. 已知数列 {an } 的前 n 项的乘积为 Tn = 2n - c ,其中 c 为常数, n ? N ,若 a4 = 3 ,则 c=
*



B. 等腰三角形

C. 直角三角形

D. 钝角三角形

2

2

) D. Sk +1 > 0

B. Sk > 0

C. ak +1 > 0

( 2k +1) ( a + a ) = ( 2k +1) a 2
1 2 k +1

k +1

>0,

( A. 4

) B. 3 C. 2 D. 1

【答案】A

-8-

【解析】 试题分析:由于数列 {an } 的前 n 项的乘积为 Tn = 2n - c ,因此 a4 =

T4 24 - c = = 3 ,即 T3 23 - c

24 = 3? 23 2c ,解得 c = 4
考点:数列的性质;

í 2x - 3y ? 0 ? ? 8. 设不等式组 ì 3 x - 4 y ? 0 表示的平面区域是 W,则 W 中的整点(横、纵坐标均为整 ? ? ? 5 x - 7 y - 20 ? 0
数的点)个数是( A. 231 【答案】A 【解析】 试题分析:根据不等式组画出不等式组所表示的区域,如图阴影部分: ) C. 219 D. 218

B. 230

直线 2 x - 3 y = 0 与 5 x - 7 y - 20 = 0 的交点 A 60, 40 ,直线 3x - 4 y = 0 与 5 x - 7 y - 20 = 0 的交点 B - 80, - 60 ,因此阴影区域中的点有:当 y = 40 , x = 60 ,有一个点在区域内;当

(

)

(

)

y = 39 时,点 ( 58.5,39) 在直线 2 x - 3 y = 0 上, ( 58.6,39) 在直线 5x - 7 y - 20 = 0 上,因此 y = 39 时没有点在区域内;当 y = 38 时,点 ( 57,38) 在直线 2 x - 3 y = 0 上,点 ( 57.2,38) 在
直线 5 x - 7 y - 20 = 0 上,因此 y = 38 时有一个点在区域内;??当 y = - 60 , x = - 80 ,有 一个点在区域内,累加得到 231 考点:一元二次不等式组所表示的区域;

-9-

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在题中横线上 9. 不等式 x < 2 x 的解集为_____________ 【答案】 {x | 0 < x < 2} 【解析】 试题分析:一元二次方程 x - 2 x = 0 的根为 x1 = 0, x2 = 2 ,对应的一元二次函数 y = x2 - 2x 开口向上,因此不等式 x < 2 x 的解集为 {x | 0 < x < 2}
2 2

2

考点:一元二次不等式的解法; 10. 在△ABC 中,若 a = 1, b = 2, cos C = 【答案】2 【解析】 试题分析:根据余弦定理可得: c = a + b - 2ab cos C = 1 + 4 - 4? 考点:余弦定理; 11. 已知等差数列 {an } 的各项均为正整数,且 a8 = 2015 ,则 a1 的最小值是_________ 【答案】6 【解析】 试题分析: 设等差数列 {an } 的公差为 d , 则 d 为整数,a1 = a8 - 7d = 2015 - 7d , 当 d = 287 时, a1 取最小值,最小值为 6 考点:等差数列的通项公式; 12. 函数 f x = x + 【答案】3,2 【解析】 试题分析:函数 f x = x +
2 2 2

1 ,则 c =_____________ 4

1 4

4 ,因此 c = 2

( )

1 ( x > 1) 的最小值是_____________;此时 x = ____________ x- 1

( )

1 1 = x - 1+ +1 ? 2 x- 1 x- 1

( x 1) ? x - 1

1

1 = 3 ,当且仅当

x- 1=

1 , 即 x = 2 或 x = 0 (舍去)时,等号成立 x- 1

考点:基本不等式的应用; 13. 设 a 挝 R, n

N * ,求和: 1 + a + a2 + a3 +? + an = ____________
- 10 -

í n +1, a = 1 ? 【答案】 ì 1 - a n +1 ? ,a? 1 ? 1- a ?
【解析】 试题分析:当 a = 0 时,数列的和为 1,;当 a ?

0 时,数列 1, a, a2 , a3 ,?an 是一个以 1 为首 0 ,数列的和为

项,以 a 为公比的等比数列,若 a = 1 ,数列的和为 n +1 ,若 a ? 1 且 a ?

í n +1, a = 1 1 - a n +1 1 - a n +1 ? = 1 ,所以数列的和为 ì 1 - a n +1 ,当 a = 0 时 1- a 1- a ? ,a? 1 ? 1- a ?
考点:等比数列的前 n 项和公式;
* * 14. 设数列 {an } 的通项公式为 an = 3n n ? N ,数列 {bn } 定义如下:对任意 m ? N ,bm 是

(

)

数列 {an } 中不大于 3

2m

的项的个数,则 b3 = _____________;数列 {bm } 的前 m 项和

Sm = _____________
【答案】243, (9 ? 1)
m

3 8

【解析】 试题分析: 3
2? 3

= 729 ,而 an = 3n ? 729 ,解得 n ? 243 ,因此 b3 = 243 ;根据数列 {bm } 的
* 2m

定义,对任意 m ? N ,bm 是数列 {an } 中不大于 3 以 bm = 32m- 1 ,因此

的项的个数,3n ? 3

2m

解得 n ? 3

2 m- 1

,所

Sm =

3 1 - 9m 1- 9

(

) = 3 (9
8

m

? 1)

考点:等比数列的前 n 项和公式; 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 10 分) 已知数列 {an } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列。 (I)证明:当 0 < q < 1 时, {an } 是递减数列; (II)若对任意 k ? N ,都有 ak , ak +2 , ak +1 成等差数列,求 q 的值 【答案】 (I)证明略; (II) q = 1 或 q = *

1 2
- 11 -

【解析】 试题分析: (I) 要证明 {an } 是递减数列,只需证明 an+1 - an = qn - qn- 1 = qn- 1 q - 1 < 0 即可;

(

)

(II)ak , ak +2 , ak +1 成等差数列, 根据等差中项的性质有 2ak +2 - ak + ak +1 = 0 , 列出关于 q 的 等式 2q
k +1

(

)

- q k - 1 + q k = 0 ,然后提公因式,求解出 q 的值即可

(

)

试题解析: (I)因为数列 {an } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列,所以 an = qn- 1 , n ? N * ,所 以 an+1 - an = qn - qn- 1 = qn- 1 q - 1 ,当 0 < q < 1 时,有 q n- 1 > 0, q - 1 > 0 ,所以

(

)

an+1 - an < 0, n ? N * ,所以 {an } 是递减数列
(II)因为 ak , ak +2 , ak +1 成等差数列,所以 2ak +2 - ak + ak +1 = 0 , 其中 k ? N ,即

(

)

*

2q k +1 - q k - 1 + q k = 0 ,整理得 q k - 1 2q 2 - q - 1 = 0 ,因为 q ? 0 ,所以 2q2 - q - 1 = 0 ,
解得 q = 1 或 q = -

(

)

(

)

1 2

考点:递减数列;等差中项; 16. (本小题满分 10 分) 已知△ABC 为锐角三角形,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3a = 2c sin A 。 (I)求角 C; (II)当 c = 2 3 时,求△ABC 面积的最大值 【答案】 (I) C =

p ; (II) 3 3 3

( II ) 由 余 弦 定 理 得 c = a + b - 2ab cos C , 即 12 = a + b - ab , 又

2

2

2

2

2

a 2 + b2 - ab ? 2ab ab = ab

, 所 以

ab ? 12

, 所 以 △ ABC

的 面 积

1 3 S = ab sin C = ab ? 3 3 ,当且仅当 a = b ,即△ABC 为等边三角形时,△ABC 的面积 2 4
- 12 -

取到 3 3 ,所以△ABC 面积的最大值为 3 3 考点:正弦定理;余弦定理;三角形的面积公式; 17. (本小题满分 12 分) 设 m ? R ,不等式 mx2 - 3m +1 x + 2 m +1 > 0 的解集记为集合 P 。 (I)若 P = {x | - 1 < x < 2} ,求 m 的值; (Ⅱ)当 m > 0 时,求集合 P ; (III)若 {x | - 3 < x < 2} ? P ,求 m 的取值范围 【答案】 (I) m = -

(

)

(

)

禳 1 m +1 镲 ; (II 当 0 < m < 1 时, P = 睚 ;当 m = 1 时, x | x < 2或x > 2 镲 m 铪

P = {x | x 喂 R, x
轾1 犏 臌4

禳 m +1 镲 x | x > 2或x < 2};当 m > 1 时, P = 睚 镲 m 铪

; (III) 犏 - ,1 【解析】 试题分析: (I)由不等式 mx2 - 3m +1 x + 2 m +1 > 0 的解集为 P = {x | - 1 < x < 2} ,可知

(

)

(

)

-1 和 2 为方程 mx - 3m +1 x + 2 m +1 = 0 的两根,将 x = - 1 代入方程解出 m 的值即可; (II)不等式 mx - 3m +1 x + 2 m +1 > 0 ?
2

2

(

)

(

)

(

)

(

)

mx - ( m +1) ( x - 2) 轾 臌

> 0 ,因此方程

mx2 - ( 3m +1) x + 2( m +1) = 0 的两根为

m +1 m +1 和 2, 然后分三种情况讨论 和 2 的大小关 m m

系,分别得出解集即可; (III)由已知 {x | - 3 < x < 2} ? P 可得,当 x ?

(

3, 2) 时,不等式

mx2 - ( 3m +1) x + 2( m +1) > 0 恒成立,然后分 m = 0 , m > 0 , m < 0 三种情况分别讨论
试题解析: (I)因为 P = {x | - 1 < x < 2} ,所以方程 mx - 3m +1 x + 2 m +1 = 0 的两根为
2

(

)

(

)

-1 和 2,将 x = - 1 代入上述方程,得 m - 1

( ) - ( 3m +1) ( - 1) + 2 ( m +1) = 0 ,解得 m = - 2

2

1

2 mx - m +1 (II)不等式 mx - 3m +1 x + 2 m +1 > 0 可化为 x - 2 轾 臌

(

)

(

)

(

)

(

)

> 0 ,当 m > 0 时,

方程 mx - 3m +1 x + 2 m +1 = 0 的两根为 ①当

2

(

)

(

)

m +1 和2 m

m +1 = 2 ,即 m = 1 时,解得 x ? 2 m

- 13 -

②当

m +1 m +1 > 2 ,即 0 < m < 1 时,解得 x < 2 或 x > m m m +1 m +1 < 2 ,即 m > 1 时,解得 x < 或x >2 m m

③当

综上,当 0 < m < 1 时, P = 睚 x | x < 2或x >

禳 镲 镲 铪

m +1 ;当 m = 1 时,P = {x | x 喂 R, x m

2};

当 m > 1 时, P = 睚 x | x > 2或x < (III)依题意,当 x ?

禳 镲 镲 铪

m +1 m

(

3, 2) 时,不等式 mx2 - ( 3m +1) x + 2( m +1) > 0 恒成立

当 m = 0 时,原不等式化为 - x + 2 > 0 ,即 P = {x | x < 2},适合题意 当 m > 0 时,由(II)可得 0 < m ? 1时,适合题意 当 m < 0 时,因为 成立,解得 ?

禳 m +1 1 m +1 镲 m +1 = 1+ < 2 ,所以 P = 睚 ? 3 x| < x < 2 ,此时必有 m m m 镲 铪 m

1 ?m?0 4

综上,若 {x | - 3 < x < 2} ? P ,则 m 的取值范围是 犏 - ,1 考点:一元二次不等式的解集;子集;分类讨论思想; 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的通项公式为 an = 2n + - 1 (I)当 a2 = - 1时,求 ? 的值; (Ⅱ)数列 {an } 是否可能为等差数列?证明你的结论; (Ⅲ)若对于任意 n ? N ,都有 an > 0 ,求 ? 的取值范围
*

轾1 犏4 臌

( )

n +1

?( 1 l n) ,其中是常数, n ? N * 。

【答案】 (I) l = 2 (Ⅱ)不可能,证明略(Ⅲ) ê- 2, ÷ ÷

é ê ?

3? 2?

【解析】 试题分析: (I)根据 an = 2n + - 1

( )

n +1

?( 1 l n) ,得出 a2 ,列出关于 ? 的等式,求解出 ? 的值

即可; (Ⅱ)先假设存在 ? ,使得数列 {an } 是等差数列,因此有 2a2 = a1 + a3 ,列出关于 ? 的 等式,求解出 ? 的值,然后验证 a2 - a1 , a4 - a3 两个数是否相等,得出矛盾,得到对任意实数

- 14 -

? , {an } 都不可能是等差数列; (Ⅲ)由 an > 0 ,得

2n +( - 1)

n +1

?( 1 l n) > 0 ?

( - 1) ?l
( )
n +1

n

2+

(- 1) n +1 ,然后分 n 为正偶数和 n 为正奇数两类, n

利用函数单调性分情况讨论即可 试题解析: (I)因为 an = 2n + - 1 解得 l = 2 (II)数列 {an } 不可能为等差数列,证明如下: 由 an = 2n + - 1

?( 1 l n) ,所以 n = 2 时,a2 = 3 - 2l ,由 3-2 ? =-1,

( )

n +1

?( 1 l n) ,得 a1 = 3 + l , a2 = 3 - 2l , a3 = 7 +3l , a4 = 7 - 4l ,若存在 ? ,

使 {an } 为等差数列,则 2a2 = a1 + a3 ,即 2 3 - 2l

(

) = ( 3 +l ) +( 7 +3l ) ,解得 l

=-

1 于是 2

3 a2 - a1 = - 3l = , 2 7 a4 - a3 = - 7 l = ,这与 {an } 为等差数列矛盾,所以对任意实数 ? , {an } 都不可能是等差数 2
列 (III)由 an > 0 ,得 2n + - 1

( )

n +1

?(1 l n) > 0 ,将上式变形为 ( - 1) ?l

n

2+

(- 1) n +1 ,其中 n

n? N*
(i)当 n 为正偶数时,①式化简为 l < 2 欲使上式对于任意正偶数恒成立,则 l < 2 -

1 1 。因为 2 - 随着正偶数 n 的增大而增大, n n

1 3 = 2 2 1 1 。因为 - 2 - 随着正奇数 n 的增大而增 n n

(ii)当 n 为正奇数时,①式化简为 l > - 2 大,欲使上式对于任意正奇数恒成立,则 ? ? ?2

综上,若对于任意 n ? N ,都有 an > 0 ,则 ? 的取值范围是 ê- 2, ÷ ÷
*

é ê ?

3? 2?

考点:等差数列;函数单调性与数列的综合问题;

- 15 -


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