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高二第二学期理科数学总结(选修2-2,2-3知识点)


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高二第二学期理科数学总结
一、导数
1、导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作
y?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x ;

2、几何意义:切线斜率;物理意义:瞬时速度; 3、常见函数的导数公式:
' ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx

n '

n?1

;③ (sin x) ? cos x ;④ (cosx) ? ? sin x ;⑤ (a ) ? a ln a ;
' ' x ' x

? 1 ?1? 1 1 ' ? ? ?? 2 (log a x) ? (ln x ) ? x ' x x ;⑩ x ln a ;⑧ x 。⑨ ? x ? ⑥ (e ) ? e ;⑦
'

? x ?? ? 2 1 x

u u ?v ? uv ? (u ? v)? ? u ? ? v ?; (uv )? ? u ?v ? uv ?; ( )? ? ; v v2 4、导数的四则运算法则:
5、复合函数的导数: 6、导数的应用: (1)利用导数求切线:

? x y ? ? yu ? u ? ; x

k ? f ?( x0 ) ;利用点斜式( y ? y0 ? k ( x ? x 0 ) )求得切线方程。

注意ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线?

? ? (2)利用导数判断函数单调性:① f ( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数;② f ( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数; ? ? ③ f (x) 是增函数 ? f ( x) ? 0 ;④ f (x) 是减函数 ? f ( x) ? 0 ? ? (3)利用导数求极值:ⅰ)求导数 f (x) ;ⅱ)求方程 f ( x) ? 0 的根;ⅲ)列表得极值。
(4)利用导数最大值与最小值:ⅰ)求得极值;ⅱ)求区间端点值(如果有) ;ⅲ得最值。 (5)求解实际优化问题: ①设未知数 x 和

y ,并由题意找出两者的函数关系式,同时给出 x 的范围;

②求导,令其为 0,解得 x 值。③根据该值两侧的单调性,判断出最值情况(最大还是最小?) ; ④求最值(题目需要时) ;回归题意,给出结论; 7、定积分

?定积分的定义:

?

b

a

f ( x)dx ? lim?
n ?? i ?1

n

b?a f (? i ) n (注意整体思想)

kf ( x)dx ? k ? ?定积分的性质:① ?
a

b

b

a

f ( x)dx

( k 常数) ;

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[ f ( x) ? f ②?
a 1

b

2

( x)]dx ? ? f 1( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a c b a c

b

b



③?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
b a

(其中 a ? c ? b) 。 (分步累加)

?微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式) ? :
n

f ( x)dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a) a

? ? ? x n?1 ? ? ax ? x 1 ? x ?? ? ?ln x ? ? ? a ? ? ln a ? ? n ? 1? ? ? ? sin x ? ?? cos x ? , cos x ? ?sin x ? , ? ? ( n ? ?1 ) x ? ? , (熟记 , , ? e x ? ?e x ? )
?定积分的应用: ①求曲边梯形的面积:

S ? ? ( f ( x) ? g ( x))dx
a

b

(两曲线所围面积) ;

注意:若是单曲线 y ? f (x) 与 x 轴所围面积,位于 x 轴下方的需在定积分式子前加“—” ②求变速直线运动的路程:
b

S ? ? v(t )dt
a

b



③求变力做功:

W ? ? F ( s)ds
a



二、复数
1.概念: ?z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z2≥0; ?z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); ?z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z2<0; ?a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: ?z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;? z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;

(a ? bi)(c ? di) ? ac ? bd ? bc ? ad i (c ? di)(c ? di) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2 (z2≠0) (分母实数化); ?z1÷z2 =
3.几个重要的结论:
1? i 1? i

(1) (1 ? i) 2 ? ?2i ; ( 2) 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i; (3) i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ;

??? ?
(4)

1 2

3 i 0 2 3 2 以 3 为周期,且 ? ? 1, ? ? ?,? ? 1 ; 1 ? ? ? ? 2 =0;
1 z。

z ? 1 ? zz ? 1 ? z ?
(5)

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4.复数的几何意义 (1)复平面、实轴、虚轴

? (2)复数 z ? a ? bi ? 点Z(a, b) 向量OZ ? (a, b)

三、推理与证明
(一) .推理: ?合情推理:①归纳推理:由部分到整体,由个别到一般的推理。②类比推理:特殊到特殊的推理。 ?演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 “三段论” :?大前提;?小前提;?结 论。 (二)证明 ⒈直接证明:?综合法:利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,推导出所要证明的结论成立 ?分析法:从结论出发,推出一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) 2.间接证明------反证法 (三)数学归纳法 一般的证明一个与正整数 n 有关的一个命题,可按以下步骤进行: ?证明当 n 取第一个值 ?假设当

n0 是命题成立;

n ? k (k ? n0 , k ? N ? ) 命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立。
n0 开始所有的正整数都成立。 n0 的取值视题目而定,可能是 1,也可能是 2 等。

那么由??就可以判定命题对从

注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可。②

四、排列、组合和二项式定理
?排列数公式:
m An =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= ( n?m)! (m≤n,m、n∈N*),当 m=n 时为全排列

n!

n 0 An =n(n-1)(n-2)?3.2.1=n!, An ? 1 ;
m An m Am

?组合数公式: ?组合数性质: ?二项式定理: ①通项:

m Cn ?

?

n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) 0 n m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ?1 (m≤n), Cn ? Cn ? 1 ;

m n m m m 1 2 n Cn ? Cn ?m ; Cn ? Cn ?1 ? Cn?1 ; Cn ? 2Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 ;
0 1 k n (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b1 ? ? ? Cn a n?k b k ? ? ? Cn b n (n ? N ? )

r Tr ?1 ? Cn a n?r b r (r ? 0,1,2,...,n); ②注意二项式系数与系数的区别;

?二项式系数的性质: http://www.1beike.com 第一备课网 教案 试题 课件 大全

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①与首末两端等距离的二项式系数相等(

m n Cn ? Cn ?m ) ;

n ?1 n n n ?1 C 2 )最大;若 n 为奇数,第 2 +1 和 2 +1 项二项式系 ②若 n 为偶数,第 2 +1 项二项式系数( n
数( ③

C

n ?1 2 n



C

n ?1 2 n

)最大;

0 1 2 n 0 2 1 3 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ; Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1 ;

(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用代入法(取 x ? ?1,0,1 ) 。

五. 概率与统计
?随机变量的分布列: (求解过程:直接假设随机变量,找其可能取值,求对应概率,列表) ①随机变量分布列的性质: ②离散型随机变量:

0 ? pi ? 1 ,i=1,2,?;

p1+p2+?=1;

X 1 P 1

x 2 P 2

X

? n

x

?

P

? n

P

?

期望:EX=x1p1 + x2p2 + ? + xnpn +? ; 方差:DX=

( x1 ? EX ) 2 p1 ? ( x2 ? EX ) 2 p2 ? ? ? ? ? ( xn ? EX ) 2 pn ? ? ? ? ;
2 2 2

注: E(aX ? b) ? aEX ? b; D(aX ? b) ? a DX ; DX ? EX ? (EX ) ③两点分布(0—1 分布) : X P ④超几何分布: 0 1-p 1 p

期望:EX=p;方差:DX=p(1-p).

一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则

P( X ? k ) ?
称分布列

k n CM C N?kM ? , k ? 0,1,?m, m ? min{M , n}, n CN 其中, n ? N , M ? N 。

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X

0
0 n C M C N?0M ? n CN

1
1 n C M C N?1M ? n CN

?

m
m n C M C N?m ?M n CN

P

?

为超几何分布列

⑤二项分布(n 次独立重复试验) : 若 X~B(n,p),则 EX=np, DX=np(1- p);注: ?条件概率:
k P( X ? k ) ? Cn p k (1 ? p) n?k 。

P( B | A) ?

n( AB) P( AB) ? n( A) P( A) ,称为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率。

注:①0 ? P(B|A) ? 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ?独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B) 。
2 ? , ? 分别表示平均数(期望值)与标准差; (4)正态曲线的性质: X ~ N (? ,? ) ,

①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交;②曲线关于直线 x=

? 对称;③曲线在 x= ? 处达到峰值

1

? 2? ;④曲线与 x 轴之间的面积为 1;⑤ ? 越大,曲线越“矮胖” 反之,曲线越“高瘦” , ;
1 ?2 f ( x) ? e , x ? R, 2? (5)标准正态分布 X ~ N (0,1) ,其中
x2

注: 3? 原则) (

? ? ? (6)线性回归方程 y ? bx ? a ,其中

x?

1 n 1 n xi , y ? ? yi ? n i ?1 n i ?1 ,

? b?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx 2

?x
i ?1

2

i

? ? , a ? y ? bx

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