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广州市育才中学2008-2009学年高二上学期中段考数学试题附答案NRDC


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广州市育才中学 2008-2009 学年高二上学期中段考数学试题
满分 150 分. 考试用时 120 分钟.

第一部分

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | ?2 ≤ x ≤ 3 , B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? ,那么集合 A ? (CU B) 等于(

?

?



? ? C. ? x | ?2 ≤ x ? ?1?
A. x | ? 2 ≤ x ? 4 2.双曲线

? ? D. ? x | ?1 ≤ x ≤ 3?
B. x | x ≤ 3或x ≥ 4 ) C. (4 , 0) 和 (?4 , 0) ) D.15 D. ( 7 , 0) 和 (? 7 , 0)

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是( 16 9

A. (5 , 0) 和 (?5 , 0)

B. (3 , 0) 和 (?3 , 0)

3.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( A. 12 4. tan 690° 的值为( A. ?
3 3

B. 13 ) B.
3 3

C. 14

C. 3 ) C. ? 2

D. ? 3

5.函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小值是( A. -2 B. 2

D. 2 )

6.若 l,m,n 是互不重合的直线, ?,? 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( A.若 ? ∥ ?,l ? ?,n ? ? ,则 l ∥ n C.若 l ? n,m ? n ,则 l ∥ m 7.函数 y ? 1 ? x ? lg x 的定义域为( A. (0, ??) B. (??,1] ) C. (??, 0) ? [1, ??) D. (0,1] B.若 ? ? ?,l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ?,l ∥ ? ,则 ? ? ?

8.给出下列四个函数:① f ( x) ? x ? 1 ,② f ( x) ? 的有( ) B.1 个
2 2

1 2 ,③ f ( x) ? x ,④ f ( x) ? sin x ,其中在 (0, ??) 是增函数 x

A.0 个

C.2 个

D.3 个 ) D.± 4

9.设直线过点 (0, a ) ,其斜率为 1 ,且与圆 x ? y ? 2 相切,则 a 的值为( A.± 2 B.± 2 C.± 2 2

10.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随
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中国领先的高端教育连锁集团 机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( A. ) D.

3 10

B.

1 5

C.

1 10

1 12

第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 执行右边的程序框图,若 p ? 3 ,则输出的 S ? . 输入 p 开始

? x ? y ≥ 0, ? 12. 若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为______. ?0 ≤ x ≤ 3, ?
13. 一个单位共有职工 200 人, 其中不超过 45 岁的有 120 人, 超过 45 岁的有 80 人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个 容量为 25 的样本,应抽取超过 45 岁的职工_________人. 14. 抛物线 y ? 4 x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则 点 M 的纵坐标是___________.

n ? 0, S ? 0

n? p




n ? n ?1

输出 S 结束

S?S?

1 2n

三、 解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (?2, 2), b ? (2,1), c ? (2, ?1) , t ? R . (Ⅰ)若( ta ? b )∥ c ,求 t 的值; (Ⅱ)若 a ? tb =3.求 t 的值.

?

?

?

? ?
?

?

?

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中国领先的高端教育连锁集团 16.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

5 3 , cos B ? . 13 5

17(本小题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 ,点 D 是 AB 的中点. (I)求证: AC ? BC1 ; (II)求证: AC1 / / 平面CDB1 .

18.(本小题满分 14 分) 等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,{bn } 为等比数列, b1 ? 1 ,且 b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960 . (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)求和:

1 1 1 ? ?? ? . S1 S2 Sn

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中国领先的高端教育连锁集团 19.(本小题满分 14 分) 【文科】已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 . (Ⅰ)不垂直于 x 轴的直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ) 过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m , 设 m 与 y 轴的交点为 N , 若向量 OQ ? OM ? ON , 求动点 Q 的轨迹方程.

????

???? ? ????

【理科】在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . (Ⅰ)求出 C 的方程及其离心率 e 的大小; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A , B 两点.若 OA ? OB ,求 k 和 AB 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

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中国领先的高端教育连锁集团 20.(本小题满分 14 分) 【文科】已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意实数 x, y ,恒有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y ) 成立.且当 x ? 0 时,满足:

2 f ( x) ? 0 .又已知 f (1) ? ? . 3
(Ⅰ)求证: f ( x ) 为奇函数; (Ⅱ)求证: f ( x ) 在 R 上是减函数; (III)求函数 f ( x ) 在 [?3, 6] 上的最大值和最小值.

【理科】已知函数 f ? x ? 的定义域是 ? 0, ??? ,当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ,且 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? . (Ⅰ)求 f ?1? ; (Ⅱ)证明 f ? x ? 在定义域上是增函数; (III)如果 f ? ? ? ?1 ,求满足不等式 f ? x ? ? f ?

?1? ? 3?

? 1 ? ? ? 2 的 x 的取值范围. ? x?2?

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2008-09 学年广州市育才中学高二上学期中段考答案


一、选择题:共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 A 5 C


6 D 7 D 8 C 9 B 10 A

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题, 每小题 5 分, 满分 20 分. 11.

7 8

12. 9

13. 10

14.

15 16

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? a ? (?2, 2), b ? (2,1), c ? (2, ?1) ,?ta ? b ? (2 ? 2t,1 ? 2t )

?

?

?

? ?

……3 分

? ? ? ? (ta ? b) // c ,? 2(1 ? 2t ) ? (2 ? 2t ) ? 0 ,解得: t ? ?2 .
(II) a ? tb ? (a ? tb)2 ? a ? 2ta ? b ? t 2 b ……8 分 = 8 ? 4t ? 5t 2 ? 3 解得 t ? ?1或t ? ……10 分

……6 分

?

?

?

?

?2

? ?

?2

1 ……12 分 5

16.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 cos A ? ?

5 12 ,得 sin A ? , 13 13

由 cos B ?

3 4 ,得 sin B ? .……4 分 5 5 16 .……6 分 65

所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

4 BC ? sin B 5 ? 13 .……9 分 (Ⅱ)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 5?
所以 △ ABC 的面积 S ?

1 1 13 16 8 ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? ? .……12 分 2 2 3 65 3
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中国领先的高端教育连锁集团 17.(本小题满分 14 分) 解:证明:(I)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,∵底面三边长 AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , ∴ AC ? BC , ……2 分

又直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? CC1 , 且 BC ? CC1 ? C , BC,CC1 ? 平面BCC1B1 ∴ AC ? 平面BCC1B1 ……4 分 而 BC1 ? 平面BCC1B1 ,∴ AC ? BC1 ; ……6 分 (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E ,连结 DE ,……8 分 ∵ D 是 AB 的中点, E 是 BC1 的中点,∴ DE / / AC1 ,……10 分 ∵ DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1 , ∴ AC1 / / 平面CDB1 . 18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数, ……14 分

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1 依题意有 ?
6 ? d ?? ? ?d ? 2 ? 5 解得 ? (舍去) ,或? 40 ?q ? 8 ?q ? ? 3 ?

? S3b3 ? (9 ? 3d )q 2 ? 960 ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64



……2 分

……4 分

故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1 ……6 分 (II) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴ ……8 分

1 1 1 1 1 1 1 ……10 分 ? ??? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 ?
……12 分

?

1 1 1 1 3 2n ? 3 (1 ? ? ? )? ? ……14 分 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)

19.(本小题满分 14 分) 【文科】解:(Ⅰ)因为直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? , 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 ……2 分 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 ……4 分

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中国领先的高端教育连锁集团 ∴1 ?

| ?k ? 2 | k ?1
2

,k ?

3 ,故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 ……6 分 4
……7 分

(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? , Q 点坐标为 ? x, y ? ,则 N 点坐标是 ?0, y0 ? ∵ OQ ? OM ? ON ,∴ ? x, y ? ? ? x0 , 2 y0 ?

??? ?

???? ? ????

即 x0 ? x ,

y0 ?

y ……9 分 2

2 2 又∵ x0 ? y0 ? 4 ,∴ x ?
2

y2 ? 4 ……12 分 4

由已知,直线 m ? x 轴即与 x 轴不能重合,所以, y ? 0 ,……13 分 ∴ Q 点的轨迹方程是

y 2 x2 ? ? 1( y ? 0) .……14 分 16 4

注: Q 点的轨迹方程是

y 2 x2 ? ? 1( x ? ?2) 亦可. 16 4

【理科】解:(Ⅰ)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ? 故曲线 C 的方程为 x ?
2

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1.……4 分 4

易知: a ? 2, b ? 1 , c ? a2 ? b2 ? 3 ,所以离心率 e ? (Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

c 3 .……5 分 ? a 2

? 2 y2 ? 1, ?x ? 消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,……7 分 4 ? ? y ? kx ? 1. ?
故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 .……8 分 k ?4 k ?4
2

??? ? ??? ? OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? ? ? 1 ? ? 0 .……10 分 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

所以 k ? ?

??? ? ??? ? 1 ,此时 OA ? OB .……11 分 2

当k ? ?

1 4 12 时, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? .……12 分 2 17 17
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???? ? ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,
2 2

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???? ? 4 65 42 4 ? 3 43 ?13 ? 而 ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ? 2 ? 4 ? ,所以 .……14 分 AB ? 17 17 17 2 17

20. (本小题满分 14 分) 解: 【文科】(Ⅰ)证明:令 x ? y ? 0 ,可得 f (0) ? f (0) ? f (0 ? 0) ? f (0) ,从而,f(0) = 0. 令 y ? ?x ,可得 f ( x) ? f (? x) ? f ( x ? x) ? f (0) ? 0 , 即 f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数.……4 分 (II)证明:设 x1 , x2 ∈R,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,于是 f ( x1 ? x2 ) ? 0 .……6 分 从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f [( x1 ? x2 ) ? x2 ] ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 0 ……8 分 所以, f ( x) 在 R 上是减函数.……9 分 (III)由(2)知,所求函数的最大值为 f (?3) ,最小值为 f (6) .

f (?3) ? ? f (3) ? ?[ f (2) ? f (1)] ? ?[2 f (1) ? f (1)] ? ?3 f (1) ? 2 ,……11 分 f (6) ? ? f (?6) ? ?[ f (?3) ? f (?3)] ? ?4 ,……13 分
于是, f ( x) 在[-3,6]上的最大值为 2,最小值为 ?4 . ……14 分

【理科】(Ⅰ)令 x ? y ? 1 得 f ?1? ? f ?1? ? f ?1? ? 2 f ?1? (II)令 y ?

? f ?1? ? 0 ……2 分

1 ,则 f ?1? ? f ? x ? ? x

?1? f ? ? ? 0 .故 ? x?

?1? f ? ? ? ? f ? x ? .……3 分 ? x?

设 0 ? x1 ? x2 .则 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?

?1? ? x2 ? ? ? f ? ? . ……5 分 ? x1 ? ? x1 ?
……7 分

由于 0 ? x1 ? x2

?

x2 ? 1 .故 x1

?x ? f ? 2 ? ? 0 ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x1 ?

? f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数. ……8 分
(III) 由于 f ? ? ? ?1 而 f ? ? ? ? f ? 3? 故 f ? 3? ? 1 在 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? 中. 令 x ? y ? 3 . 得 f ?9? ? f ?3? ? f ?3? ? 2 .……10 分 又? f ?

?1? ? 3?

?1? ?3?

? 1 ? ? ? f ? x ? 2 ? ,故所给不等式可化为 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? f ?9? ? x?2?
……12 分

即 f ? ? x ? x ? 2 ?? ? ? f ?9?

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?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ??x ? 2 ? 0 即? x ? 2 ? x ? x ? 2? ? 9 ? ? ? x ? 1 ? 10或x ? 1 ? 10

? x ? 1 ? 10

? x 的取值范围是 ? ?1 ? 10, ?? .……14 分

?

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