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(21)简单的三角恒等变换


课时作业(二十一) [第 21 讲

简单的三角恒等变换]

[时间:35 分钟

分值:80 分]

基础热身 1. 已知 sin10° =a,则 sin70° 等于( ) 2 2 A.1-2a B.1+2a C.1-a2 D.a2-1 α 4 2.若 α 是第二象限角,sin = ,则 sinα

的值为( ) 2 5 9 21 24 24 A. B. C. D.- 25 25 25 25 π ? 3 3. 函数 y=cos?2-x?cos(π+x)+ cos2x 的值域为( ) ? 2 1 1 3 3 A.?-2,2? B.?- , ? ? ? ? 2 2? C.[-1,1] D.[-2,2] sin3α 13 4. 设 α 为第四象限的角,若 = ,则 tan2α=________. sinα 5 能力提升 π 1 5. 已知 sin?4+α?= ,则 sin2α 的值是( ) ? ? 4 7 15 A. B. 8 8 15 7 C.- D.- 8 8 2 6.函数 f(x)=2cos x- 3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为( ) A.2π,3 B.2π,1 C.π,3 D.π,1 1+cos2α+8sin2α 7. 已知 tanα=4,则 的值为( ) sin2α 65 2 3 A.4 3 B. C.4 D. 4 3 8. 已知 θ 为△ABC 的一个内角,且 sinθ+cosθ=m,若 m∈(0,1),则关于△ABC 的 形状的判断,正确的是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.前三种形状都有可能 3tan12° -3 9.计算: =________. 2 4cos 12° sin12° -2sin12° π 10. 已知 tan?4+θ?=3,则 sin2θ-2cos2θ=________. ? ? 1 1 11.已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωx· cosωx,x∈R,又 f(α)=- ,f(β)= ,若|α-β|的 2 2 3π 最小值为 ,则正数 ω 的值为________. 4 x x x 12.(13 分) 已知函数 f(x)=cos ? 3sin2+cos2?. ? 2? (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间;
1

2π (2)若 f(x)=1,求 cos? 3 -2x?的值. ? ?

难点突破 π π π 13.(12 分) 已知函数 f(x)=2cos?x+3??sin?x+3?- 3cos?x+3??. ? ?? ? ? ? ?? (1)求 f(x)的值域和最小正周期; π (2)若对任意 x∈?0,6?,使得 m[f(x)+ 3]+2=0 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? ?

2

课时作业(二十一) 【基础热身】 1.A [解析] sin70° =sin(90° -20° )=cos20° =1-2sin210° =1-2a2,故选 A. π π α π α 4 α 2.C [解析] ∵2kπ+ <α<2kπ+π,∴kπ+ < <kπ+ .又 sin = >0,∴ 在第一象 2 4 2 2 2 5 2 限, α α 3 ∴cos = 1-sin2 = , 2 2 5 α α 24 ∴sinα=2sin · = ,故选 C. cos 2 2 25 π 3 3.C [解析] y=cos?2-x?cos(π+x)+ cos2x ? ? 2 π 3 1 3 =sinx(-cosx)+ cos2x=- sin2x+ cos2x=cos?2x+6?, ? ? 2 2 2 则函数的最大值是 1,最小值是-1,值域为[-1,1],故选 C. 3 sin3α sin?2α+α? 4.- [解析] = 4 sinα sinα sin2αcosα+cos2αsinα 13 = = , sinα 5 13 8 ∴2cos2α+cos2α= ,即 2cos2α-1+cos2α= , 5 5 4 ∴cos2α= . 5 π ∵2kπ- <α<2kπ,k∈Z,∴4kπ-π<2α<4kπ, 2 4 又∵cos2α= >0,∴2α 为第四象限的角. 5 3 3 ∴sin2α=- 1-cos22α=- ,∴tan2α=- . 5 4 【能力提升】 π π 5.D [解析] sin2α=-cos?2+2α?=-cos2?4+α? ? ? ? ? π 1 7 =-?1-2sin2?4+α??=2×?4?2-1=- ,故选 D. ? ? ?? ? ? 8 π 6. [解析] f(x)=2cos2x- 3sin2x=cos2x- 3sin2x+1=2sin?6-2x?+1, C 所以函数 f(x) ? ? 的最小正周期为 T=π,最大值为 3,故选 C. 2cos2α+8sin2α 1+4tan2α 1+4×42 65 7.B [解析] 原式= = = = ,故选 B. 2sinαcosα tanα 4 4 π π 2 8. [解析] m=sinθ+cosθ= 2sin?θ+4?∈(0,1), B 所以 0<sin?θ+4?< .因为 θ 为△ABC ? ? ? ? 2 3π π π 3π 的一个内角,所以 <θ+ <π,即 <θ< ,故选 B. 4 4 2 4 3tan12° -3 3sin12° -3cos12° 9.-4 3 [解析] = sin12° cos12° 4cos212° sin12° -2sin12° 2cos24° 2 3sin?12° -60° ? = =-4 3. 1 sin48° 2 4 10.- [解析] 解法一:sin2θ-2cos2θ=sin2θ-cos2θ-1, 5

3

π 1-tan2?θ+4? ? ? 4 π? sin2θ=-cos2?θ+4?=- = , ? π? 5 1+tan2?θ+4? ? π 3 cos2θ=sin2?θ+4?= = , ? ? π? 5 1+tan2?θ+4? ? 4 3 4 ∴原式= - -1=- . 5 5 5 π ? 1+tanθ 1 解法二:tan?4+θ?=3, =3,解得 tanθ= , ? 2 1-tanθ 2 2sinθcosθ-2cos θ 2tanθ-2 4 sin2θ-2cos2θ= = 2 =- . 2 2 5 sin θ+cos θ tan θ+1 1-cos2ωx π 1 1 3 3 1 1 11. [解析] f(x)= + sin2ωx= sin2ωx- cos2ωx+ =sin?2ωx-6?+ . ? ? 2 3 2 2 2 2 2 1 1 3π 1 又由 f(α)=- ,f(β)= ,且|α-β|的最小值为 ,可知 T=3π,于是 ω= . 2 2 4 3 x x? x? 12.[解答] (1)f(x)=cos ? 3sin2+cos2? 2 π 1 3 1 = sinx+ (1+cosx)=sin?x+6?+ , ? ? 2 2 2 所以函数 f(x)的最小正周期为 T=2π. π π π 令 2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 2π π 得 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z, 3 3 2π π 函数 y=f(x)的单调递增区间为?2kπ- 3 ,2kπ+3?(k∈Z). ? ? π? 1 π? 1 (2)f(x)=sin?x+6?+ =1,即 sin?x+6?= , ? ? 2 2 2π 2?π cos? 3 -2x?=2cos ?3-x?-1 ? ? ? π? 1 =2sin2?x+6?-1=- . ? 2 【难点突破】 π π π 13.[解答] (1)f(x)=2sin?x+3?cos?x+3?-2 3cos2?x+3? ? ? ? ? ? ? 2π? 2π? ? =sin?2x+ 3 ?- 3?cos?2x+ 3 ?+1? ? ? ? 2π? 2π =sin?2x+ 3 ?- 3cos?2x+ 3 ?- 3 ? ? ? π? =2sin?2x+3?- 3. ? π ∵-1≤sin?2x+3?≤1. ? ? π 2π ∴-2- 3≤2sin?2x+3?- 3≤2- 3,T= =π, ? ? 2 即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π. π π π 2π (2)当 x∈?0,6?时,2x+ ∈?3, 3 ?, ? ? ? 3 ? π? ? 3 ? 故 sin?2x+3?∈ , ? ? 2 ,1?
4

π 2tan?θ+4? ? ?

π 此时 f(x)+ 3=2sin?2x+3?∈[ 3,2]. ? ? 2 由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,∴f(x)+ 3=- , m 2 即 3≤- ≤2, m 2 + 3≤0, m 即 2 +2≥0, m

? ? ?

2 3 解得- ≤m≤-1. 3 2 3 ?. 即实数 m 的取值范围是?- ? 3 ,-1?

5


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