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山东省各地2014届高三上学期期中考试试题分类汇编11:应用题 Word版含答案


山东省各地 2014 届高三上学期期中考试试题分类汇编 应用题
1、 (德州市 2014 高三期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关 于行驶速度 x (千米/小时)的函数为 y ?

1 3 x 3 ? x ? 8(0 ? x ? 120) 。 128000 80

(1)当 x ? 64 千米/小时时,

要行驶 100 千米耗油量多少升? (2)若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶多少千米? 解: (1)当 x ? 64 千米/小时时,要行驶 100 千米需要 要耗油(

100 25 ? 小时 64 16

1 3 25 ? 643 ? ? 64 ? 8) ? ? 11.95(升) 128000 80 16

(2)设 22.5 升油该型号汽车可行驶 a 千米,由题意得

1 3 a ( x3 ? ? x ? 8) ? 22.5 ? 128000 80 x
设 h( x ) ?

?a ?

2 2 . 5 1 8 x2 ? ? 1 2 8 0 0 0x

3 8 0

1 8 3 x2 ? ? 128000 x 80

则当 h( x) 最小时, a 取最大值, 令 h?( x) ? 0 ? x ? 80

由 h?( x) ?

1 8 x3 ? 803 2 x ? 2 ? 64000 x 64000 x 2

当 x ? (0,80) 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? (80,120) 时, h?( x) ? 0 故当 x ? (0,80) 时,函数 h( x) 为减函数,当 x ? (80,120) 时,函数 h( x) 为增函数 所以当 x ? 80 时, h( x) 取得最小值,此时 a 取最大值为

?a ?

22.5 1 8 3 ? 802 ? ? 128000 80 80

? 200

答:若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶 200 千米。 2、 (临沂市 2014 高三期中)某厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求

3? ? 1 ? x ? 10 ) ,每小时可获得的利润是 100 ? 4 x ? 1 ? ? 元. x? ?
(I)要使生产该产品 1 小时获得的利润不低于 1200 元,求 x 的取值范围; (II)要使生产 120 千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此 最大利润.

3、 (青岛市 2014 高三期中)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4 元,并且每件商 品需向总店交 a(1 ? a ? 3) 元的管理费,预计当每件商品的售价为 x(7 ? x ? 9) 元时,一年的 销售量为 (10 ? x)2 万件. (Ⅰ)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L( x) ; (Ⅱ)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值. 解: (Ⅰ)由题得该连锁分店一年的利润 L (万元)与售价 x 的 函数关系式为 L( x) ? ( x ? 4 ? a)(10 ? x)2 , x ?[7,9] .
2

???????????3 分

(Ⅱ) L?( x) ? (10 ? x) ? 2( x ? 4 ? a)(10 ? x) ? (10 ? x)(18 ? 2a ? 3x), ????????????????6 分 令 L ( x) ? 0 ,得 x ? 6 ?
'

2 a 或 x ? 10 3

???????????8 分

20 2 ? 6? a ?8. 3 3 2 3 ①当 6 ? a ? 7 ,即 1 ? a ? 时, 3 2 ? x ? [7,9] 时, L?( x) ? 0 , L( x) 在 x ? [7,9] 上单调递减, 故 L( x)max ? L(7) ? 27 ? 9a ?????10 分 2 3 ②当 6 ? a ? 7 ,即 ? a ? 3 时, 3 2 2 2 ? x ? [7, 6 ? a ] 时, L' ( x) ? 0 ; x ? [6 ? a,9] 时, L?( x) ? 0 3 3 2 2 ? L( x) 在 x ? [7, 6 ? a ] 上单调递增;在 x ? [6 ? a,9] 上单调递减, 3 3 2 a 3 故 L( x) max ? L(6 ? a ) ? 4(2 ? ) ?????12 分 3 3 ?1 ? a ? 3,?

答:当 1 ? a ?

27 ? 9a 万元; 3 2 当 ? a ? 3 每件商品的售价为 6 ? a 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 2 3 a 3 4(2 ? ) 万元. ?????13 分 3
4、 (潍坊市 2014 高三期中)如图,某广场要划定一矩形区域 ABCD,并在该区域内开辟出三 块形状大小相同的矩形绿化区, 这三块绿化区四周和绿化区之间设有 1 米宽的走道。 已知三 块绿化区的总面积为 800 平方米, 求该矩形区域 ABCD 占地面积的最小值。

3 每件商品的售价为 7 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 2

解:设绿化区域小矩形的一边长为 x ,另一边长为 y ,则 3 x y =800,??2 分

800 ????????????????????????3 分 3x 所以矩形区域 ABCD 的面积 S=(3 x +4) y +2)??????5 分 ( 800 3200 =(3 x +4) ( +2)=800+6 x + +8????7 分 3x 3x
所以 y = ≥808+2 6400 =968??????????10 分 当且仅当 6 x =

3200 40 ,即 x = 时取“=” ,∴矩形区域 ABCD 的面积的最小值为 968 平方 3x 3

米。??????????????12 分 5、文登市 2014 高三期中) ( 新晨投资公司拟投资开发某项新产品, 市场评估能获得 10 ? 1000 万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y (单位:万元)随 投资收益 x (单位: 万元) 的增加而增加, 且奖金不低于 1 万元, 同时不超过投资收益的 20% . (Ⅰ)设奖励方案的函数模型为 f ( x) ,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型

f ( x) 的基本要求.
(Ⅱ)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型: ① f ( x) ?

x ?2; 150

② f ( x) ? 4 lg x ? 2.

试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.

解: (Ⅰ)由题意知,公司对奖励方案的函数模型 f ( x) 的基本要求是: 当 x ? ?10,1000? 时,

① f ? x ? 是增函数;② f ? x ? ? 1 恒成立;③ f ? x ? ? (Ⅱ)①对于函数模型 f ? x ? ? 则 f ? x ? ? 1 显然恒成立 而若使函数 f ( x) ?

x 恒成立???3 分 5

x ? 2 :当 x ? ?10,1000? 时, f ? x ? 是增函数, 150
??4 分

(29x)min
求.

x x ? 2 ? 在 ?10,1000? 上恒成立,整理即 29 x ? 300 恒成立,而 150 5 x ? 290 , ∴ f ? x ? ? 不 恒 成 立 . 故 该 函 数 模 型 不 符 合 公 司 要 5
??7 分

②对于函数模型 f ? x ? ? 4 lg x ? 2 : 当 x ? ?10,1000? 时, f ? x ? 是增函数,则 f ? x ? min ? f ?10 ? ? 4 lg10 ? 2 ? 2 ? 1 . ∴ f ? x ? ? 1 恒成立. 设 g ? x ? ? 4 lg x ? 2 ? 当 x ? 10 时, g ? ? x ? ? 是减函数, 从而 g ? x ? ? g ?10 ? ? 4 lg10 ? 2 ? 2 ? 0 . ∴ 4 lg x ? 2 ? ???8 分

x 4 lg e 1 ? . ,则 g ? ? x ? ? 5 x 5
4 lg e 1 2 lg e ? 1 lg e 2 ? 1 ? ? ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ?10,1000? 上 x 5 5 5
??10 分

x x x ? 0 ,即 4 lg x ? 2 ? ,∴ f ? x ? ? 恒成立. 5 5 5
??12 分

故该函数模型符合公司要求.

6、 (淄博一中 2014 高三期中) 如图, 为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱. 污水从 A 孔 流入, 经沉淀后从 B 孔流出. 设箱体 A B 的长度为 a 米, 高度为 b 米. 已知流出的水中该杂质的质量 分数与 a, b 的乘积 ab 成反比. 现有制箱材料 60 平方米. b 问当 a, b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的 a 质量分数最小(A, B 孔的面积忽略不计). 2 解法一:设 y 为流出的水中杂质的质量分数, 则 y= k ,其中 k 为比例系数,且 k>0,依题 ab 30-a ∴ b= (0<a<30) 2+a

意, 即所求的 a,b 值使 y 最小。 据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 30-a 30a-a2 64 ∴ ab=a× = =―a+32― 2+a 2+a 2+a

64 =34―(a+2+ )≤34―2 a+2

(a+2)·

64 =18 a+2 ???????8 分

64 当 a+2= 时取等号,y 达到最小值。 a+2

此时解得 a=6,b=3 答:当 a 为 6 米, b 为 3 米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。???12 分 解法二:设 y 为流出的水中杂质的质量分数, 则 y= k ,其中 k 为比例系数,且 k>0,依题 ab

意,即所求的 a,b 值使 y 最小。据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 即 2b+ab+a=30 ∵ a+2b≥2 2ab ∴ 30―ab=a+2b≥2 2ab ∴ ab+ 2ab―30≤0???????7 分 ∵ (a>0,b>0) ∴ 0<ab≤18 当 a=2b 时取等号,ab 达到最大值 18。???????10 分 此时解得 a=6,b=3 答:当 a 为 6 米, b 为 3 米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 ?????????12 分 7、 (2014 山东实验中学第二次诊断)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万 元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,

1 2 ? ?10.8 ? 30 x , 0 ? x ? 10 ? 每千件的销售收入为 R(x)万元,且 R ? x ? ? ? ?108 ? 1000 , x ? 10 ? x 3x 2 ?
(I)求年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (II)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大.


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