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甘肃省2016届高三数学第一次诊断考试(3月)试题 文


2016 年甘肃省第一次高考诊断考试 文科数学
第 I 卷 (选择题,共 60 分) 2016.3.17 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A={0,1},B={ -1,0,a+2},且 A ? B,则实数 a= A.0 2.复数 z= B.-1 C.-2 D.-3

/>
3+5i (i 为虚 数单位)在复平面内对应点的坐标是 1+i
B.(4,-1) C.(4,1) D.(- 1,4)

A.(1,4)

3.设 p:l<x <2,q:2x>1,则 P 是 q 成立的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A.y=x +1
2

B.y=2

|x|

C.y= lnx

D.y=cosx

5.为了了解学生参加体育锻炼的情况,现抽取了 n 名学 生进行调查,结果显示这些学生每月的锻炼时间(单 位:小时)都在[10,50],其中锻炼时间在[30,50]的学 生有 134 人,频率分布直方图如图所示,则 n= A.150 C.180 B.160 D.200

?x ? y ?1 ? 0 ? 6.若变量 x,y,满足约束条件 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,且 z=x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n.则 ? 4 x ? y ? 11 ? 0 ?
m -n = A.5 B.6 C.7 D.8

7.设非零向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|,a+b= 3 c,则向量 a 与向量 c 的夹角为 A. 150° B.120° C.60° D.30° 8.如图三棱锥 A - BCD,则该三棱 锥的俯视图是

9.右图表示的是求首项为 2016,公差为-3 的等差数列{an}前 n 项和的最大值的程序框图,

1

则①和②处可填写 A.①a<0?,②a=a -3 B.①a<0?,②a=a+3 C.①a>0?,②a =a-3 D.①a>0?,②a=a+3 10.若 A(xl,y1) ,B(x2,y2)为平面上两点,则定义 A ? B =x1y1 +x2y2, 已知点 M( 3 ,sinx),N(-1,cosx) ,设函数 f(x)=M ? N,将 f(x) 的图象向左平移 ? ( ? >0)个单位长度后,所得图象关于 y 轴对称 则 ? 的最小值为

? 6 2? C. 3
A.
2

? 3 5? D. 6
B.
2

11.过点 P(l,一 3 )的直线 l 截圆 x +y =5 所得弦长不小于 4,则直线 l 的倾斜角的取值范 围是 A.[

? ? , ] 6 3

B.[

? 2? , ] 3 3

C.[

? 5? , ] 6 2
x

D.[

2? , ? ]) 3

12.设函数 fn'(x)是 fn(x)的导函数,f0(x)=e (cosx+ sinx),f1(x)=

f 0' ( x) f ' ( x) ,f2(x)= 1 ,…, 2 2

f n?1 ( x) ?
x

f n' ( x) (n∈N),则 f2016(x)= 2
x x x

B. e (cosx - sinx) C. -e (cosx+ sinx) D. e (sinx - cosx) 第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

A. e (cosx+ sinx)

? x 2 ? 1, x ? 0, ? 13.函 数 f ( x) ? ? 1 ,则 f[f(一 1)]= ? x ? 1, x ? 0, ? ? 2
14.已知α ,β ∈(0,π ) ,cosa=

12 3 ,cos(α 十β )= ,则 cosβ = 13 5



15.已知双曲线

x2 y 2 ? =l(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 2x+y 一 3=0 垂直,则该双曲线 a 2 b2

的离心率为_______. 16.已知正四面体 ABCD 的棱长为 l,E 是 AB 的中点,过 E 作其外接球的截面,则此截面面积 的最小值为______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在等差数列{an}中,公差 d≠0,a1=2,a1,a3,a7 成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式 an;
2

(Ⅱ)设 bn=

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an an ?1

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P - ABC 中,E、F、G、H 分别是棱 PB、PC、 AB、BC 的中点,PA⊥平面 ABC,AB⊥ AC.PA =AB =AC =2. ( I)证明:FG⊥AH; (Ⅱ)求三棱锥 E - FGH 的体积, 19.(本小题满分 12 分) 某期《我是歌手》中有 7 位歌手(1 至 7 号)参加比赛,由 500 名大众评审现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评审分为五组,各组的人数如下: 组别 人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

( I)为了调查大众评审对 7 位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干 评 审,其中从 B 组抽取了 6 人,请将其余各组抽取的人数填入下表; 组别 人数 抽取人数 A 50 B 100 6 C 150 D 150 E 50

(Ⅱ)在(I)中,若 A,B 两组被抽到的评审中各有 2 人支持 7 号歌手,现从这两组被抽到 的评审中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 7 号歌手的概率. 20.(本小题满分 12 分) 已知 F1,F2 为椭圆

x2 y 2 ? =l(a>b>0)的左、右焦 点,B1,B2 椭圆短轴的端点,四边形 a 2 b2

F1B1,F2B2 为正方形且面积等于 50. (I)求椭圆方程; (Ⅱ)过焦点 Fl 且倾斜角为 30°的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,求△F2MN 内切圆的半径. 21.(本小题满分 12 分) x 2 设函数 f(x)=(a +b)e ,g(x)=一 x +cx+d.若函数 f(x)和 g(x)的图象都过点 P(0,1), 且在点 P 处有相同的切线 y= 2x +1. (I)求 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)当 x ? [0 ,+∞)时,判断函数 h(x)=f(x)一 g(x)的单调性. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,AB 为圆 D 的直径,BC 为圆 O 的切线,过 A 作 OC 的平行线交圆 O 于 D,BD 与 OC 相交于 E. (I)求证:CD 为圆 O 的切线; (Ⅱ)若 OA =AD =4,求 OC 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程是 (x-2) +(y-l) =4,直线 l 经过点 P(3, 3 ),
2 2

倾斜角为

? ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 6

(I)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 Z 的参数方程; (II)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|OA|·|OB|的值 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
3

设函数 f(x)= |x - a|(a∈R). (I)当 a=3 时,解不等式 f(x )≥4 - |x +l|; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤l 的解集为[1,3],且

1 1 ? ? a (m>0,n>0),求 m+2n 的最小值, m 2n

4

5

6

7

8


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