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一个问题的简证及探究


62

( 2010 年第 8 期

高中版 )

数学探究

一个问题的简证及探究
233600 安徽省涡阳县第四中学
文 [ 1 ]给出三角形中的一个共点性质如下: 性质 点M 是 ABC 内一 点, 直 线 BM 交 边 AC 于 点 E, 直 线 CM 交 边 AB 于 点

F, 过点 M 的直 线 分 别交 AB, AC 于点 P, Q, 且AF = m AB, AE = n AC, AP = x AB, AQ = y AC, 则 1- m 1- n 1 - mn + = . my nx mn

孙浩盛

由此文 [ 1 ]给出的两个推论可简述如下 ( 1 )当 M 为 此时 ( 2 )当 M 为 此时 ABC 的重心时, m = 1 1 + = 3 x y ABC 的内心时 m = b c + = a + b + c. x y ( 2010年武汉市 4月调考文科数学题 )M 为 1 1 + = 3则 M 为 x y b c , n= , a+ b a+ c 1 1 , n= , 2 2

此结论非常 优美, 可见 作者 的发 现能 力. 但是 文中 所给的证明 不能 令读 者支 持. 作者 抓住 共线 向量 定理、 共面向量基本定理不放, 略显 繁琐 事 实上利用 共线向 量定理的推论及定比分点的 向量表示 易于解 决. 另外还 要提及的是文中推论 2出现 了小小的 错误. 下面 笔者给 出此结论的简证并对两个推论作出探究. 证法 1 可 令 AM = AF + AC AE + AB = ,则 1+ 1+ m AB + AM = 1+ n AC + = 1+ AC AB ,

下面给出这两个推论的逆命题. 探究 1 ABC 内一点, 过点 M 的任一直 线交 AB, AC 于点 P, Q, AP = x AB, AQ = y AC, 若 心. 证明 连接 AM 并延长交 BC 于点 F, AF = (x 0 AB + y0 AC ) )AP + AQ, 可令AF = x 0 AB + y 0 AC, 则 AM = ABC 的 重

图1

= ( 所以 因为

所以

m = , 1+ 1+ 1+ = n , 1+

x0 y0 AP + AQ ) = ( 1x y



=

mn - n , n- 1

y0 + 1 1 1+ = + = x y x0 y0 1 1 + , , x0, y 0 均为常数, x y

(x 0 - y0 ) , x0 y 0 为变量, ABC 的重心.

mn - m mn - n 所以AM = AB + AC mn - 1 mn - 1 mn - m mn - n = AP + AQ x (mn - 1) (mn - 1 )y 所以 即 mn - m mn - n + = 1, x (mn - 1 ) (mn - 1 )y 1- m 1 - n 1- mn + = . my nx mn

所以 x 0 = y 0 = 探究 2 M 为

1 2 , = , 即 M 点是 2 3

ABC 内一点, 过 点 M 的任一 直线交

AB 边于点 P, 交 AC 边于 点 Q, AP = x AB, AQ = y AC, 若 b c + = a + b + c, 则点 M 是 x y 证明 可令AF = x 0 AB + y 0 AC, 则 AM = AF = (x 0 AB + y0 AC ) )AP + AQ, ( cx 0 - by 0 ) ; x 0 y0 x0 y0 AP + AQ ) = ( 1x y ABC 的内心.

连接 AM 并延长交 BC 于点 F,

证法 2 由条件知 AM = x 1 AB + ( 1- x 1 ) n AC = x 2 AC + ( 1- x 2 )m AB = x 3 x AB + ( 1- x 3 )y AC, 由 得 所以 x 1 = m ( 1- x2 ) = x 3x, x 2 = n ( 1- x1 ) = y ( 1 - x 3 ), x1 = m - mn x 1 ( 1- x1 ) n , + = 1, 1- mn x y

= ( 所以 因为

by 0 + b c b( 1- ) c + = + = x y x0 y0 b c + , , x0, y 0 均为常数, x y

为变量,

1 - m 1- n 1- mn + = . my nx mn

所以 cx 0 = by 0,

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( 2010 年第 8 期

高 中版 )

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这道题应该这样理解
118100 辽宁省凤城市第一中学
在文 [ 1 ] 中胡老 师系统 研究 了福 建省 2009年 高考 理科数学第 20 题, 对于 文中所给 的第 ( ! ) 问的 第 ( ? ) 小问的解答, 笔者 对文 [ 1 ] 中 # 观察 图形可 知 m, n 首先 必须满足 - 1?n < 0 < m ?3% , 其中 m, n 的分界点 0是怎 样观察出来的? 以及 # 因为是存在性问题, 所以只 需 2m - 3m > [ n - 3n ] m in + mn % 等问题进行了进一步的研究
2 2

宫伟东

综上有 - 1?n < 1 < m ?3 方法 2 (几何法 ) n + 2m - 3> 0, 由 m + 2n - 3< 0, n )- 1 , m ?3, 得点 (m, n ) 的区 域 如下图 由图立得 - 1?n < 1 < m ?3 实际上, 本题的关键是得到 n < 1 < m, 而这个 1是怎 么来的呢? 只需令 f ? (x ) = 0, 得 x = 1 至 此, 该问 题的 背景就 非常明显 了 + + + 找拐点, 即函 数 f ( x ) 的二阶导的 零点 由此也可以领 会命 题人 的苦 心与 匠心 苦心 表现 在题 目中 # 请仔细观察曲线 f ( x )在 点 P 处的 切线与 线段 M P 的位置变 化 趋势, 并 解答 以 下问 题 % , 而 匠 心则 表 现在 # 请直接写出 m 的 取值范围 ( 不必给 出求解 过程 ) % 笔 者认为, 这就是在 # 多考些想的, 少考些算的 %
参考文献 1 胡达清 直击福建省 2009 年高考数学压轴题 湖北 : 中学

事实上, 第 ( ! ) 问的 第 ( & ) 小问 的解 答 已经 为第 ( ? )小问的分析与解答指明了方向: 解 由题意有 kP Q < f ? (m ), kP Q < f ? ( n ),

因为 kPQ =

f (m ) - f (n ) 1 2 2 = (m + mn+ n ) - (m + n ) - 3 , m-n 3
2

而f ? (x ) = x - 2x - 3 , 1 2 2 2 (m + mn + n ) - (m + n) - 3< m - 2 m- 3 , 3 1 2 2 2 (n + nm + m ) - (n + m) - 3< n - 2n- 3 , 3 整理得 n + 2m - 3> 0, m + 2n - 3< 0 (代数法 ) 1 ( 3- n ) > 1 2

所以有

此时至少有两种方法可求 m, n 的范围 方法 1 由 m + 2n - 3< 0得 n < m < 3- 2n, (- 1?n < 1 又由 n + 2m - 3> 0得 3) m>

数学 , 2010, 1 ( 收稿日期 : 20100301 )

AB AC 所以AF = cx 0 ( + ), 即 AF 为 ABC 的角平分线. c b xc AP + AQ yb xyb AB + xyc AC b AB + c AC 又AM = = = , xc xc + yb a + b+ c 1+ yb 由文 [ 2 ]推论 2 结论知 M 点是 综合以上可得以下两个结论 结论 1 M 是平面 ABC 内不同 于 A 的一点, 过 点 M 的任一直线 交直 线 AB 于 P, 交 直线 AC 边 于 Q, AP = x AB, AQ = y AC, 1 1 + 为定值的充要条件 是点 M 在 x y ABC 的内心.

结论 2 M 是平面 ABC 内不同 于 A 的一点, 过 点 M 的任一直线 交直 线 AB 于 P, 交 直线 AC 于 点 Q, AP = x AB, AQ = y AC, b c + 为 定值 的充 要条 件是 点 M 在 , A x y

的平分线所直线上. 有兴趣的读者可以给出以 上两结论的证 明. (致谢: 此文写作过程得到彭翕成老师的指导 )
参考文献 1 王伯龙 2 岳昌庆 2009, 3 ( 收稿日期 : 20100525 ) 三角形中的一个共点性质 [ J] 数学通讯 , 2010, 4 平 面 向 量 教 学与 三 角 形 内 心 [ J] 数 学 通 报,

ABC 的中线 AD 所在的直线上.


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